指数函数典型例题解析

指数函数·例题解析【例1】求下列函数的定义域与值域：(1)y3(2)y(3)y12x＝＝＝213321xx解(1)定义域为x∈R且x≠2．值域y＞0且y≠1．(2)由2x+2－1≥0，得定义域{x|x≥－2}，值域为y≥0．(3)由3－3x-1≥0，得定义域是{x|x≤2}，∵0≤3－3x－1＜3，∴值域是≤＜．0y3【例2】指数函数y＝ax，y＝bx，y＝cx，y＝dx的图像如图2．6－2所示，则a、b、c、d、1之间的大小关系是[]A．a＜b＜1＜c＜dB．a＜b＜1＜d＜cC．b＜a＜1＜d＜cD．c＜d＜1＜a＜b解选(c)，在x轴上任取一点(x，0)，则得b＜a＜1＜d＜c．【例3】比较大小：(1)2(2)0.6、、、、的大小关系是：．248163235894512()(3)4.54.1________3.73.6解(1)y221()x∵，，，，，函数＝，＞，该函数在－∞，＋∞上是增函数，又＜＜＜＜，∴＜＜＜＜．222242821621338254912284162123135258389493859解(2)0.6110.6∵＞，＞，∴＞．451245123232()()解(3)借助数4.53.6打桥，利用指数函数的单调性，4.54.1＞4.53.6，作函数y1＝4.5x，y2＝3.7x的图像如图2．6－3，取x＝3.6，得4.53.6＞3.73.6∴4.54.1＞3.73.6．说明如何比较两个幂的大小：若不同底先化为同底的幂，再利用指数函数的单调性进行比较，如例2中的(1)．若是两个不同底且指数也不同的幂比较大小时，有两个技巧，其一借助1作桥梁，如例2中的(2)．其二构造一个新的幂作桥梁，这个新的幂具有与4.54.1同底与3.73.6同指数的特点，即为4.53.6(或3.74.1)，如例2中的(3)．【例4】解比较大小与＞且≠，＞．当＜＜，∵＞，＞，aaaaannnnnnnnnnnn11111111(a0a1n1)0a1n10()()∴＜，∴＜当＞时，∵＞，＞，∴＞，＞aaannaaannnnnnnnnnnn1111111111()()()1a1n101【例5】作出下列函数的图像：(1)y(2)y22x＝＝－，()121x(3)y＝2|x-1|(4)y＝|1－3x|解(1)y(264)(0)(11)y1＝的图像如图．－，过点，及－，．是把函数＝的图像向左平移个单位得到的．()()1212121xx解(2)y＝2x－2的图像(如图2．6－5)是把函数y＝2x的图像向下平移2个单位得到的．解(3)利用翻折变换，先作y＝2|x|的图像，再把y＝2|x|的图像向右平移1个单位，就得y＝2|x-1|的图像(如图2．6－6)．解(4)作函数y＝3x的图像关于x轴的对称图像得y＝－3x的图像，再把y＝－3x的图像向上平移1个单位，保留其在x轴及x轴上方部分不变，把x轴下方的图像以x轴为对称轴翻折到x轴上方而得到．(如图2．6－7)【例6】解求函数＝的单调区间及值域．令＝－＋，则＝是关于的减函数，而＝－－＋yux5x6yuux5xx25x622()()3434u＋在∈∞，上是减函数，在∈，∞上是增函数．∴函数＝的单调增区间是∞，，单调减区间是，∞．－＋6xxyx25x6(][)()(][)5252345252又∵＝－＋＝≥，函数＝，在∈，∞上是减函数，所以函数＝的值域是，．－＋ux5x6yuy2x25x6()()[)()(]xu5214143414340108324【例7】解求函数＝＋≥的单调区间及它的最大值．＝，令＝，∵≥，∴＜≤，又∵＝是∈，＋∞上的减函数，函数＝y1(x0)yux00u1ux0)y()()[()]()[()]()()[()141212121121234121212222xxxxxxxu3401212121212121412在∈，上为减函数，在，上是增函数．但由＜≤得≥，由≤≤，得≤≤，∴函数＝＋单调增区间是，＋∞，单调减区间，u1)0x110x1y11)[01](][()()()()[xxxx当x＝0时，函数y有最大值为1．【例8】已知＝＞f(x)(a1)aaxx11(1)判断f(x)的奇偶性；(2)求f(x)的值域；(3)证明f(x)在区间(－∞，＋∞)上是增函数．解(1)定义域是R．f(x)f(x)－＝＝－，aaaaxxxx1111∴函数f(x)为奇函数．(2)yy1a1y1x函数＝，∵≠，∴有＝＞－＜＜，aayyyyxx1111110即f(x)的值域为(－1，1)．(3)设任意取两个值x1、x2∈(－∞，＋∞)且x1＜x2．f(x1)－f(x2)＝＝，∵＞，＜，＜，＋＋＞，∴＜，故在上为增函数．aaaaaaaaaaaaxlxlxxxlxxlxxxxx112121221212211()()()a1xx(1)(1)0f(x)f(x)f(x)R1212