轴对称复习知识点

北京市朝阳外国语学校教案初中数学教研组2011级1轴对称考点复习（2012.12）考点一、关于“轴对称图形”与“轴对称”的认识⑴对称图形：如果__一个___个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够_完全重合_______，那么这个图形叫轴对称图形，这条直线叫做___对称轴_________。⑵对称：对于_两个___个图形，如果沿着一条直线对折后，它们能完全重合，那么称这两个图形成_轴对称_______，这条直线就是对称轴。两个图形中的对应点叫做__对称点_____典例1．下列几何图形中，○1线段○2角○3直角三角形○4半圆，其中一定是轴对称图形的有（C）A．1个B．2个C．3个D．4个2．下列图中，轴对称图形的个数是（B）A．4个B．3个C．2个D．1个北京市朝阳外国语学校教案初中数学教研组2011级2xy5-542-2-41-5-1-4432-3-3-2-1513BAC3．正n边形有____N_______条对称轴，圆有____无数_________条对称轴考点二、轴对称变换及用坐标表示轴对称（1）经过轴对称变换得到的图形与原图形的__大小______、__形状______完全一样（2）经过轴对称变换得到的图形上的每一点都是原图形上的某一点关于_对称轴_____的对称点．（3）连接任意一对对应点的线段被对称轴___垂直平分___________．[关于坐标轴对称]点P（x，y）关于x轴对称的点的坐标是（x，-y）点P（x，y）关于y轴对称的点的坐标是（-x，y）[关于原点对称]点P（x，y）关于原点对称的点的坐标是（-x，-y）典例：1、已知：△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示.（1）把△ABC向下平移2个单位长度得到△DEF；（2）请画出△DEF关于y轴对称的△GHI，并写出其坐标.略。2、已知：点P（-1,2），点P关于x轴对称后再关于直线y=-1对称，求所得点坐标（-1,0）考点三、作一个图形关于某条直线的轴对称图形-最值问题（1）作出一些关键点或特殊点的对称点．（2）按原图形的连接方式连接所得到的对称点，即得到原图形的轴对称图形典例：1、如图，Rt△ABC，∠C=90°,∠B=30°,BC=8，D为AB中点，P为BC上一动点，连接AP、DP,则AP+DP的最小值是82、已知等边ABC，E在BC的延长线上，CF平分∠ACE，P为射线BC上一点，Q为CF上一点，连接AP、PQ.若AP=PQ，求证：∠APQ是多少度。（60°）DACBP北京市朝阳外国语学校教案初中数学教研组2011级3EDCBA3、如图点A、B、C在直线l的同侧，在直线l上，求作一点P，使得四边形APBC的周长最小；（分析：作A关于直线l的对称点A’，连结A’B交直线l于点P）4、一条河两岸有A、B两地，要设计一条道路，并在河上垂直于河岸架一座桥，用来连接A、B两地，问路线怎样走，桥应架在什么地方，才能使从A到B所走的路线最短？画图：记河的两岸为l，l'，将直线l平移到l'的位置，则点A平移到A'，连接A'B交l'与D，过D作DC⊥l与C，则桥架在CD处就可以了．考点四、线段垂直平分线的性质⑴段是轴对称图形，它的对称轴是____线段的垂直平分线______________⑵段的垂直平分线上的点到___线段两端距离___________________相等典例1、如图，△ABC中，∠A=90°，BD为∠ABC平分线，DE⊥BC，E是BC的中点，求∠C的度数。分析：AB=BE=EC，∠C=30°2、如图,DE是ABC中AC边的垂直平分线，若BC=8厘米，AB=10厘米，则EBC的周长为18CEBDA北京市朝阳外国语学校教案初中数学教研组2011级43、如图：已知∠AOB和C、D两点，求作一点P，使PC=PD，且P到∠AOB两边的距离相等．解：作CD的中垂线和∠AOB的平分线，两线的交点即为所作的点P．考点五、等腰三角形的性质与判定（1）等腰三角形的两个_____底角________相等（简写成“___等腰对等角_”）（2）等腰三角形的_顶点角平分线__、__底边中线__、__底边高线_互相重合（简称为“_三线合一____”）特别的：（1）等腰三角形是__轴对称_________图形.（2）等腰三角形两腰上的中线、角平分线、高线对应_相等_________.⑶如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的__边______也相等（简称为“__等角对等边____”）特别的（需要证明）：（1）有一边上的角平分线、中线、高线互相重合的三角形是等腰三角形．（2）有两边上的角平分线对应相等的三角形是等腰三角形．（3）有两边上的中线对应相等的三角形是等腰三角形．（4）有两边上的高线对应相等的三角形是等腰三角形．典例1、如图，△ABC中，AB=AC=8，D在BC上，过D作DE∥AB交AC于E，DF∥AC，交AB于F，则四边形AFDE的周长为___16___。2、如图，△ABC中，BD、CD分别平分∠ABC与∠ACB，EF过D且EF∥BC，若AB=7，BC=8，AC=6，则△AEF周长为(C)A.15B.14C.13D.18FEDABC北京市朝阳外国语学校教案初中数学教研组2011级5ABCDGFE3、（1）已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则它的一个底角的度数是__65度或25度___________（3）已知等腰三角形的两边长分别是8，10，求它的周长。（26或28）4、△ABC中，DF是AB的垂直平分线，交BC于D，EG是AC的垂直平分线，交BC于E，若∠DAE=20°，则∠BAC等于60°分析：在△ABC中，利用三角形内角定理易求∠B+∠C，再根据线段垂直平分线的性质易求∠1=∠B，同理可得∠2=∠C，再结合三角形内角和定理进而可得2（∠B+∠C）+∠EAG=180°，从而可求∠EAG．∴∠EAG=60°．5、从一个等腰三角形纸片的底角顶点出发，能将其剪成两个等腰三角形纸片，则原等腰三角形纸片的底角等于70度6、如图,E在△ABC的AC边的延长线上，D点在AB边上，DE交BC于点G，DG=EG，BD=CE.求证：△ABC是等腰三角形.分析：过E作EF∥AB交BC延长线于F，根据等腰三角形的性质及平行线的性质可推出∠F=∠FCE，从而可得到BD=CE=EF，再根据AAS判定△BDG≌△FEG，根据全等三角形的性质即可证得结论．7、已知：如图，△ABC中，∠ACB的平分线交AB于E，EF∥BC交AC于点F，交∠ACB的外角平分线于点G．试判断△EFC的形状，并说明你的理由．分析：根据角平分线性质得出∠BCE=∠ECF，∠DCG=∠GCF，根据平行线性质得出∠FEC=∠BCE，∠G=∠DCG，推出∠FEC=∠ECF，∠G=∠FCG，根据等角对等边得出EF=CF=FG，即△FEC为直角三角形．GEDCBA北京市朝阳外国语学校教案初中数学教研组2011级68、如图，△ABC中，AB∥DC，AD＝DC＝CB，AD、BC的延长线相交于G，CE⊥AG于E，CF⊥AB于F.（1）请写出图中4组相等的线段（已知的相等线段除外）；（2）选择（1）中你所写出的一组相等线段，说明它们相等的理由.分析：首先可得梯形ABCD是等腰梯形，从而判断出∠B=∠DAB=∠EDC，从而可得△ECD≌△FBC，然后判断出AC是∠GAB的角平分线，从而可判断△ACE≌△ACF．考点六、等边三角形的性质与判定⑴边三角形的各_边___相等，各_角___相等并且每一个角都等于__60°______⑵个角相等的三角形是__等边________三角形⑶一个角是60°的__等腰三角形__________三角形是等边三角形特别的：等边三角形的中线、高线、角平分线____重合____________________典例1、下列推理中，错误的是(B)A．∵∠A＝∠B＝∠C，∴△ABC是等边三角形B．∵AB＝AC，且∠B＝∠C，∴△ABC是等边三角形C．∵∠A＝60°，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形D．∵AB＝AC，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形2、如图，等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC延长线上一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M。求证：M是BE的中点。分析：）∵△ABC是等边三角形，BD是中线，∴∠DBE=30度．∵CE=CD，∴∠E=∠CDE．ABCDEM北京市朝阳外国语学校教案初中数学教研组2011级7∵∠E+∠CDE=∠ACB=60°，∴∠E=30°，∴∠DBE=∠E，∴△BDE是等腰三角形．∵DM⊥BE，∴BM=EM．3、如图，点P是等边△ABC内一点，点P到三边的距离分别为PE、PF、PG，等边△ABC的高为AD，求证：PE+PF+PG=AD分析：过A作AM垂直于BC，由三角形ABC为等边三角形，根据三线合一得到M为BC中点，在直角三角形ABM中，由AB及BM的长，利用勾股定理求出AM的长，利用底BC与高AM乘积的一半求出等边三角形的面积，又三角形ABC的面积=三角形ABP的面积+三角形CBP的面积+三角形ACP的面积，利用三角形的面积公式分别表示出三个三角形的面积，相加等于求出的三角形ABC的面积，根据等边三角形的三边长相等，等量代换后提取AB，可得出PD+PE+PF的值．【变式】：已知等边三角形△ABC和点P，过点P作三边AB、AC、BC的平行线分别交AC、BC、AB于F、G、E，如图①，点P在BC边上可得PE+PF+PG=BC．当点P在△ABC内部时（如图②），点P在△ABC外部时如图③，这两种情况下是否还存在PE+PF+PG=BC的结论？若成立请给予证明，若不成立，那么PE、PF、PG与BC又有怎样的关系，请写出你的猜想，不需证明．GFEDABPC北京市朝阳外国语学校教案初中数学教研组2011级8分析：（1）如图②，延长FP，与BC交于点D，即FD∥AB，由等边三角形△ABC，同时PE∥BC，PG∥AC，PF∥AB，即可推出∠A=∠B=∠C=∠PGD=∠PDG=∠AEP=∠CFP=60°，即可确定PG=DG，PE=BD，PF=CG，由BC=BD+DG+CG，即可推出BC=PE+PF+PG；（2）如图③，作EH∥AC，交BG于点H，由等边三角形的性质和平行线的性质，以及等腰梯形的性质即可推出PE=HG，PG=EH=BH，PF=CG，即可推出PE+PG=BG，BG=BC+PF，通过等量代换即可推出PE+PG-PF=BC．4、已知△ABC是等边三角形，分别在AC、BC上取点E、F，且AE=CF，BE、AF交于点D，则∠BDF＝____60°_____度5．如图，B、C、D在一直线上，ΔABC、ΔADE是等边三角形，若CE＝15cm，CD＝6cm，则AC＝__9___，∠ECD＝__60°___．第4题图第5题图6、如图，C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下六个结论：①AD=BE;②PQ∥AE;③AP=BQ;④DE=DP;⑤∠AOB=60°;⑥CO平分∠AOE.其中不正确的有（C）个A．3B．4C．5D．6考点七、30°所对的直角边是斜边的一半（1）在直角三角形中，30°角所对直角边等于斜边的一半。（2）在直角三角形中，直角边等于斜边一半，则直角边所对角为30°（3）在直角三角形中，斜边上中线等于斜边的一半。典例：1、如图，是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB=8m，∠A=30°，则DE等于（B）A．1mB．2mC．3mD．4mEDCBA北京市朝阳外国语学校教案初中数学教研组2011级9FECBA2、如图：△ADC中，∠A=15°，∠D=90°，B在AC的垂直平分线上，AB=34，则CD=(B)A.15B.17C.16D.以上全不对ABDC3、如图，AB=AC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∠BAC=120o，BC=6，则DE+DF=34、如图，已知：在△ABC中，AB=AC，