分形在数字全息显示中的应用

2019/11/161---分形在数字全息显示中的应用2019/11/162要目混沌和分形的概念的引入分形理论的数学基础知识分形所描述的自然现象分形图形的产生分形图形在数字全息显示中的应用.2019/11/163混沌与分形Chaos&Fractal什么是混沌?混沌是一种非周期性的动力学过程,混沌是研究无序中的有序。一些杂乱无章,表面看似无序的现象,其实却隐藏着丰富多彩的内涵和一定的规律性。20世纪永远被铭记的三大科学成就是：相对论、量子论和混沌理论。相对论消除了关于绝对空间和时间的幻象;量子论消除了关于可控测量过程的牛顿式的迷梦，质疑了微观世界的物理因果律;混沌理论则否定了包括巨观世界拉普拉斯﹙Laplace﹚式的决定型因果律,即关于决定论的可预测性。2019/11/164混沌的故事英文混沌一词chaos来源于希蜡词χαος,它含有模糊，笼统，混乱的意思。在我国古代有许多有关混沌的故事：《山海经》——“有神鸟，其状如黄囊，赤如丹火，六足四翼，混沌无面目，只识歌舞，实惟帝江也。”混沌便是中华民族的始祖——黄帝。《庄子》——南海之帝为倏，北海之帝为忽，中央之帝为混沌。倏与忽时相遇于混沌之地，混沌待之甚善。倏与忽谋报混沌之德，曰：“人皆有七窍，以视听食息，此独无有，尝试凿之。”日凿一窍，七日而混沌死。混沌是初度和谐，是原始无知无识。混沌是宇宙的生成，哲学构架的开始。混沌是由确定性的规律生成，它是一种对初始条件非常敏感并有依赖性和回复性的非周期运动。2019/11/165混沌现象的例子---Sierpinski三角形二十世纪初，人们发现了Sierpinski三角形，它是根据一个很简单的规则，作一些简单的计算，所绘出的一幅奇妙的三角形图案。考虑一个填满东西的三角形，从其中间挖掉一块，使原三角形剩下三个相等的部分，且每一部分的面积是原来的1/4，对这三个三角形再类似于上述作法各从其中挖去一块，于是便得到了九个三角形，依此类推以至无穷。2019/11/166Sierpinski三角形Sierpinski三角形2019/11/167Sierpinski三角形的两个重要特性1，一个非常复杂且具有精细结构的图形可以用很少的，非常简单的规则产生。2，取Sierpinski三角形结构的任何一部分，并且放大至足够倍数，就会出现与原三角形一样的结构。这种特性称为自相似性。具有上述两个特性的图形被称为分形图形。2019/11/168Sierpinski三角形Sierpinski三角形2019/11/169分形图形分形“Fractal“这个名词出自拉丁语”Fractus”其意为“碎化，分裂”。1975年美国IBM公司的B.Mandelbrot创造出分形这一名词。2019/11/1610分形几何的概念的提出B.Mandelbrot揭示了分形的本质和特征。他把1，数学中分数维的概念，2，客观事物中一种固有的自相似与无限可分的特征，3，计算机强大的迭代运算功能，结合起来，从而形成了分形几何的概念。分形概念的提出，为准确地描述客观世界和自然景观提供了一个有效的数学模型和工具。B.Mandelbrot2019/11/1611分形图形的自相似性分形图形可看成是一种与整体有相似性的若干局部所构成的图形。它的任何一局部都与整体有严格的几何相似性，即比例的自相似性，并且在任意尺度上有无穷细节的精细结构和无限可分。2019/11/1612Koch雪花曲线---分形的自相似性1904年瑞典数学家科赫(H.vonKoch1870-1924)提出一种描述雪花的方法:先画一个等边三角形，把边长为原来三角形边长的三分之一的小等边三角形选放在原来三角形的三条边上，由此得到一个六角星；再将这个六角星的每个角上的小等边三角形按上述同样方法变成一个小六角星……如此一直进行下去，就得到了雪花的形状。雪花的每一部分经过放大都可以与它的整体一模一样。这个被称作数学怪物科赫曲线恰是分形图形自相似的例子。2019/11/1613Koch雪花曲线Koch雪花曲线VonKoch(1870-1924)2019/11/1614欧氏几何与分形几何Koch曲线处处连续，但处处不可导，其长度为无穷大。欧氏几何是建立在公理之上的逻辑体系。其研究的是在旋转、平移、对称变换下各种不变的量，如角度、长度、面积、体积，其适用范围主要是人造的物体。分形几何由递归、迭代生成，主要适用于自然界中形态复杂的物体。分形几何不再以分离的眼光看待分形中的点、线、面，而是把它看成一个整体。2019/11/1615Koch=ProgrammeBASICKoch=ProgrammeBASIC=DIMx(4096),y(4096)'nombredepoints.Au-delà,onnedistingueplusrienn=1co=.5:si=SQR(3)/2'cosinusetsinusdelarotationx(0)=100:y(0)=350:x(1)=500:y(1)=350'côtéinitialWHILE1CLSMOVETOx(0),y(0)'pointdedépart,puis1,4,16,...,...,4npointsFORi=1TOnLINETOx(i),y(i)NEXTiWHILEINKEY$=:WENDFORi=nTO1STEP-1'onboucleendécroissantx(4*i)=x(i):y(4*i)=y(i)'sinononécraselesvaleursNEXTin=4*n'onsubdiviseFORi=0TOn-4STEP4dx=(x(i+4)-x(i))/3:dy=(y(i+4)-y(i))/3'oncoupeen3x(i+1)=x(i)+dx:x(i+3)=x(i)+2*dx'onpartdu1/3etontermineaux2/3y(i+1)=y(i)+dy:y(i+3)=y(i)+2*dyx(i+2)=co*dx-si*dy+x(i+1)'onobtientlenouveaupoint,y(i+2)=si*dx+co*dy+y(i+1)'sommetdutriangleéquiltéralNEXTi'parrotationde60°.WEND2019/11/1616Koch曲线---分形的自相似性koch2019/11/1617Koch曲线之VisualBasic源程序ConstPI=3.14159PrivateSubKoch_Click()ScaleTop=50ScaleLeft=0ScaleWidth=100ScaleHeight=-50CallFractal(0,10,100,10)EndSubSubFractal(aXAsSingle,aYAsSingle,bXAsSingle,bYAsSingle)If(bX-aX)*(bX-aX)+(bY-aY)*(bY-aY)10ThenLine(aX,aY)-(bX,bY)ElseDimcXAsSingle,cYAsSingleDimdXAsSingle,dYAsSingleDimeXAsSingle,eYAsSingleDimlAsSingleDimalphaAsSinglecX=aX+(bX-aX)/3cY=aY+(bY-aY)/3eX=bX-(bX-aX)/3eY=bY-(bY-aY)/3CallFractal(aX,aY,cX,cY)CallFractal(eX,eY,bX,bY)l=Sqr((eX-cX)*(eX-cX)+(eY-cY)*(eY-cY))alpha=Atn((eY-cY)/(eX-cX))If(alpha=0And(eX-cX)0)Or(alpha=0And(eX-cX)0)Thenalpha=alpha+PIEndIfdY=cY+Sin(alpha+PI/3)*ldX=cX+Cos(alpha+PI/3)*lCallFractal(cX,cY,dX,dY)CallFractal(dX,dY,eX,eY)EndIfEndSub2019/11/1618分形艺术《分形艺术》是属于计算机绘画范畴。分形计算机绘画与一般手工绘画或者一般的计算机绘画的不同之处在于，它充分利用数学公式，通过数学计算求得每一个象素的“数值”,众多象素组合起来构成奇妙的图形。因而这种绘画表现的是美妙的数学结构，展现了数学世界的瑰丽图景。芒德勃罗特(B.B.Mandelbrot,1924-)提出的“分形”概念，对当代科学和艺术都产生了深刻的影响。特别是对复平面上芒德勃罗特集合和朱丽亚集合的研究，产生了大批同时具有深刻科学内涵和强烈美学感召力的分形图片。2019/11/1619分形艺术分形艺术是代表着“数字化”时代的一种新型艺术.尼葛洛庞帝(N.Negroponte)声称的“数字化生存”也包括了数字化艺术，它巧妙而自然地把科学和艺术结合在一起，为科学与艺术的沟通提供了一个活生生的实例。分形图形在建筑装饰、纺织印染、广告设计、全息显示防伪等方面都有许多实际的应用价值，引起了科学界和艺术界重视。2019/11/1620混沌游戏的分形图形的数学模型Sierprinski三角形是一个著名的混沌游戏的分形图形，可用迭代函数系统(IteratedFunctionSystemsIFS)模型来描述。仿射变换(AffineTransform)w(x1,x2)=(ax1+bx2+e,cx1+dx2+f)其中a,b,c,d,e,f均为实数，则称w为二维仿射变换.在直角坐标中其形式为：feyxcdabyxw2019/11/1621Sierprinski三角形的IFSIFSwabcdef10.5000.51120.5000.550130.5000.550502019/11/1622IFS的吸引子(Attractor)吸引子是指相空间的一个点集或一个子空间，随着时间的流逝，在暂态消亡之后，所有轨迹线都趋向于它。吸引子是稳定的不动点。给定了一个IFS，也即是确定了其中仿射变换的个数及每个变换的六个参数，我们就可以在计算机上绘出其直观的吸引子的形状。2019/11/1623Sierprinski三角形一个程序：#include“Draw.h”voidDrawPoint(HWND);HWNDhWnd;HDChdc;Intx[3]={360,25,693};Inty[3]={10,490,490};Intvertex,px,py;VoidDrawPoint(HWNDhWnd){HDChDC;hDC=GetDC(hWnd);Vertex=random(3);px=px+(x[vertex]-px)/2;px=py+(x[vertex]-px)/2;SetPixe(hDC,px,px,RGB(200,0,0));ReleaseDC(hWnd,hDC);2019/11/1624分形图形的维数对于复杂的几何形体，普通维数的概念可能随尺度不同而改变。例如，直径10厘米的球用1毫米粗的细线做成。从远处看，球是一点。离10厘米远，线球是三维的。在10毫米处，它是一维线团。在1毫米处，每根线变成了圆柱体，整体又一次变成一维，如此等等，维数“交叉”反复从一个值到另一个值。当球用有限数目像原子那么小的微物代表时，它变成零维。对于分形，和普通维数（0，1，2，3）相对应的维数称为分形维数。2019/11/1625分形图形的维数我们生活在一个具有长度、宽度和深度的三维世界里：一个平面是二维的，一条直线是一维的，一个点是零维.2019/11/1626分形图形的维数1，Koch曲线则是1.2618维；2，Sierpinski三角形的维数大约是1.5850.2019/11/1627分形图形的维数上面所演示的Koch曲线