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分形蕨草混沌蝴蝶第一部分：分形蕨草1985年的某一天，世界上第一棵巴恩斯利蕨（Barnsleyfern）从美国佐治亚理工学院的巴恩斯利教授手中诞生了。与此同时，他成为了第一个提出迭代函数系统(IFS，简称迭代函数系)的人，他实际上研究的是如何利用自相似性把描绘自然景观的信息进行大幅压缩。基本思路是以一些运算规则为基础，把原始图形(生成元)进行收缩、旋转、平移等收敛性的仿射变换（affinetransformations），最终形成具有自相似的分形结构的极限图形,该集就被称为IFS。为了生成植物的形状，巴恩斯利教授把两种运算规则相结合：确定性算法与随机性算法。一方面他规定了一组N个确定的仿射变换(记为R-1，R-2，R-3……R-N)，每次迭代的规则都必定来源于组内。另一方面，具体每次迭代哪一个规则是随机决定的。运算时，每个规则R-i被选中的可能性记为P-i。每次随机地从R-i(i=1,…，N)中挑选一个迭代规则迭代一次，然后再随机地在R-i(i=1,…，N)中选一个规则迭代一次，不断重复，最后生成一张类似植物形态的极限图形。巴恩斯利蕨就是依此规则生成的。它的仿射变换组内含有四个公式，形式如下——a、b、c、d、e、f都是参数，参数对应的数值表格如下，p是该运算规则R被选中的概率。Rabcdefp10000.16000.0120.850.04－0.040.8501.60.8530.2－0.260.230.2201.60.074－0.150.280.260.2400.440.07这就是计算机按照图中的公式9为规则生成的巴恩斯利蕨。如图，这是在网上找的标准图样。按照以上思路，我编写了如下程序：clearall;globalabxyr;x=1;y=1;fori=1:1:10000r=rand(1,1);ifr=0&r0.25a=0.5*x;b=0.16*y+0.01;x=a;y=b;elseifr=0.25&r0.5a=0.85*x+0.06*y+1.2;b=-0.06*x+0.85*y+0.85;x=a;y=b;elseifr=0.5&r0.75a=0.22*x-0.36*y+1.6;b=0.24*x+0.4*y+0.47;x=a;y=b;elsea=-0.15*x+0.32*y+0.64;b=0.24*x+0.17;x=a;y=b;endplot(x,y,'g.');holdon;drawnow;end按照运行结果，一万个点组成的图像如下：可以发现蕨叶已经具体而微了，进一步增加到50万个点，所得图像如下：另一方面，改变x,y对应的变换公式中的参数，可以得到形态各异的分形树。当然也有可能得到的不是树。IFS是什么？使用随机算法有什么优势？IFS:迭代函数系统（IteratedFunctionSystem)。IFS是构造分形图形的重要方法之一，为计算机模拟一些自然景物提供了一个有力的工具。特别是利用带有概率的IFS绘制分形图形，与单纯递归算法相比，不仅实现代码简单，而且降低了对计算机硬件的要求。1985年美国佐治亚学院的M.FBaransley首先应用一组变换族模拟自然景物IFS,基本思想是,分形具有局部与整体的自相似性，也就是说局部是整体的一个复制品，只是在大小、位置和方向上有所不同而已；而数学中的变换是一种线性变换，正好具有把图形放大、缩小、旋转和平移和性质。因此，产生一个复制品的过程相当于对图形做一次压缩变换。于是从原则上说，任何图形都可以用一组压缩变换来描述或生成。什么是分形？分形难下确切的定义．分形的原意是“不规则的，分数的，支离破碎的”，故又可称为“碎形”．分形是研究自然和社会中广泛存在的零碎而复杂,无序,不规则,非线性,不光滑,具有自相似,自仿射和标度不变性的复杂系统,图形,构造,功能,性质和复杂现象,及隐藏在这些复杂现象背后的,具有精细结构,内在随机性,局部与整体本质联系的,被传统线性科学(物理,欧氏几何学)排斥在外的不规则“病态”,不可微的事体,形体.在尺度变换(放大,缩小)下具有“自相似性”和“标度不变性(无特征长度)”的,从有限认识无限的特殊规律的科学.即其组成部分(局部)以某种方式(结构,信息,功能等广义分形)与整体相似的形体,事物,或现象；或在多个层次上,适当地放大或缩小其几何尺寸，其局部与整体的整个精细结构，形态，性质等不因此而发生改变(统计)的形体，体系、分形是整体与局部在某种意义下：大小尺度之间的对称性与统一性的集合，是非线性变换下的不变性,是整体观(统一观),共性观，非二分法的产物，是有规则的不规则性．分形是没有特征长度，但具有一定意义(广义)下的自相似图形，结构，性质和形态的总称．分形是一种具有自相似特性的现象、图象或者物理过程．也就是说，在分形中，每一组成部分都在特征上和整体相似．分形特征大自然中的山、树、云、海岸线都可以看成是分形．一般地说，分形具有以下一些特征：该集合具有精细的结构，即有任意小比例的细节（无限可分性）；该集合整体与局部间有某种自相似性；分形集合的分形维数一般不是整数，而是分数，且一般大于它的拓扑维数；分形集合是如此的不规则，以至它的整体与局部都不能用传统的几何语言来描述；在大多数情况下，分形集合可以以非常简单的方法来定义，可能由迭代产生；通常有某种自相似的形式,可能是近似的或是统计的.．具体的说有下面几个特征．（1）自相似性是复杂系统的总体与部分,这部分与那部分之间的精细结构或性质所具有的相似性,或者说从整体中取出的局部(局域)能够体现整体的基本特征.即几何或非线性变换下的不变性:在不同放大倍数上的性状相似.包括几何结构与形态,过程,信息,功能,性质,能量,物质(组份),时间,空间等特征上,具有自相似性的广义分形．自相似性的数学表示为:f(λr)=λαf(r),或f(r)～rα.其中λ称为标度因子,α称为标度指数(分维),它描述了结构的空间性质.函数f(r)是面积,体积,质量等占有数,量等性质的测度．一个系统的自相似性是指某种结构或过程的特征从不同的空间尺度或时间尺度来看都是相似的,或者某系统或结构的局域性质或局域结构与整体类似.另外,在整体与整体之间或部分与部分之间,也会存在自相似性.一般情况下自相似性有比较复杂的表现形式,而不是局域放大一定倍数以后简单地和整体完全重合.但是,表征自相似系统或结构的定量性质如分形维数,并不会因为放大或缩小等操作而变化[这一点被称为伸缩对称性],所改变的只是其外部的表现形式.自相似性通常只和非线性复杂系统的动力学特征有关．人们在观察和研究自然的过程中,认识到自相似性可以存在于物理,化学,天文学,生物学,(中医,针灸,经络)材料科学,经济学,以及社会科学等众多学科中,可以存在于物质系统的多个层次上,他是物质运动,发展的一种普遍的表现形式,即是自然界的普遍规律之一.但是科学工作者真正把自相似性作为自然界的本质特性来进行研究还只是近一,二十年的事．在第三部分，我们将会看到自相似性是如何取悦我们的审美的。（2）标度不变性(无特征长度)具有自相似性的系统,物体,事物必定满足标度不变性,或者说这类形体没有特征长度——没长短，面积,体积等．特征长度是指所考虑的对象中最具代表性的尺度,如空间的长,宽,高,及时间的分,秒,时等.标度不变性是指在分形上任选一局部区域,不论将其放大还是缩小,它的结构,形态,性质(功能),复杂程度,不规则性等各种特性均不会发生变化(或是统计性的),故标度不变性又称为伸缩对称性.此空间称无标度空间，其内是分形,范围以外就不是分形了,它有有限与无限之分．对于实际的分形体来说,这种标度不变性只在一定的范围内适用．人们通常把标度不变性适用的空间称为该分形体的无标度空间.在此范围以外，就不是分形了．（3）层次性,递归性自相似性是不同尺度上的对称,是跨层次的共性观(分形元,不变性)--同样形态在不同尺度,不同层次上的相同,或相似结构的重复构建与变换,其结构套着结构,特征或结构隐含嵌套,具有多层次性和递归性．（4）自仿射性自相似系统是局部与整体在不同方向上的缩放,拉伸的拷贝,其比例都是同一的,是常数.而自仿射系统,其在各方向上的伸缩,拉放拷贝的比例不同．（5）分数维性分形图形一般都比较复杂，其复杂程度可用分形维数去定量描述．现在有不少维数的定义，其中最容易理解的且与分形维数有密切关系的是相似维数．一般地说，如果某图形是由把全体缩小为1／a的aD个相似图形构成的，那么此指数D就具有维数的意义．此维数被称之为相似维数．相似维数只对具有严格自相似性的有规分形才适用，使用范围有限．所以定义对所有集都适用的维数是很有必要的．Hausdorff维数就是这样一个最有代表性的维数，它适用于包括随机图形在内的任意图形．如测定某集的测度的单位半径为r,则测定的结果N（r）将满足下式：N（r）＝Cr-DH∝r-DH式中的C为常数，则该集的维数为DH,该维数称为Hausdorff维数．不过，Hausdorff维数在许多情况下难以用计算的方法来计算或估计．因此，在实际应用中较少采用Hausdorff维数，而采用便于计算的相似维数等．为什么会分形？一般认为非线性,随机性,以及耗散性是出现分形结构的必要物理条件.非线性是指运动方程中含有非线性项(迭代),状态演化(相空间轨迹)发生分支,是混沌的根本原因.随机性分为两大类,即噪声热运动和混沌,它们反映了系统的内在随机性.而随机性系统未必就是完全无序的.耗散性强调开放性,研究熵变的过程和机制,即传统的无序熵增过程,及未来的有序熵减过程,宇宙的“有序与无序,物质与能量与信息的相互转换的两大循环”．系统产生分形结构的充分条件是“吸引子(Attractor)”,不严格地说,一个吸引子就是一个集合,并且使得附近的所有轨道都收敛到这个集合上.非线性耗散系统能产生无规运动,耗散系统的无规运动,最终会成为趋向吸引子的无规运动,而无规运动的吸引子(结果)便是相间的分形结构.奇怪吸引子的产生必须以系统发生的失稳为前提,如对称破缺等.涨落形成波动,具有周期性的波动,单个周期是简单有序,周期3便是混乱(混沌)．分形学看上去很美，但它真的有用吗？分形的应用：1.模拟模仿自己运用广泛法国巴黎高师信息学研究生方文杰说，分形这个理论，可以让我们能更好地描述自然中的很多现象。因为自然中的现象很多都有“自相似”的现象。在这种情况下，用一般的、连续的数学是难以描述的。这个时候，分形作为一种处理自相似性的工具就能起到作用了。分形的应用是很广泛的，比如说在计算机领域，有一种图像压缩算法就叫“分形压缩”。所谓分形压缩是一种有损耗的图像压缩方法，这种方法最适合具有特定质感和自然的图像。这种压缩的思想是自然的图像通常都会以某种规律“自己模仿自己”。比如说，一块石头质感是由无数个小石纹组成的，如果每一个小石纹都用一组数字表示的话，会占用很多存储空间。但是这些小石纹不是完全无规律的，经过放大，会发现那些小的石纹很像大的石纹的“仿制品”，这就是自然界的“分形规律”的体现。“分形压缩”的思路就是抹去那些小石纹的图像，代之以通过分形计算得到的“人工石纹”，它虽然不如天然石纹自然，但也可以骗过人的眼睛。因为这些人工石纹是由数学运算得到的，占用的空间较少，而且可以无限放大。用JPEG、GIF和MPEG等格式压缩过的石纹放大之后会“糊”，但“分形压缩”的石纹从理论上说可以无限放大。另外，分形的数学方法可以模拟很多表面的复杂形状，在高分子化学和材料领域有广泛应用；它还可以用来模拟金融交易中复杂的涨落现象。2美色图画软件流行天下分形学最明显的应用，还是在艺术方面。上世纪80年代，以德国布来梅大学的数学家和计算机专家佩欧根（H.Peotgen）与雷切特（P.Richter）等为代表，在当时最先进的计算机图形工作站上制作了大量的分形图案；胡巴德（J.Hubbard）等人还完成了一部名为《混沌》的计算机动画。接着，印刷着分形的画册、挂历、明信片甚至T恤衫纷纷出笼。“巴恩斯利蕨”就是分形学和艺术相结合的完美例子。很多人喜欢“分形学”，是因为倾心于分形之美。数学上的审美