圆中常见辅助线的添加方法

黔西南州博融兴仁中学考试卷第1页（本试卷共4页）第2页（本试卷共4页）圆中常用辅助线的添加方法圆中辅助线的添加口诀：半径与弦长计算，弦心距来中间站.圆上若有一切线，切点圆心半径连.切线长度的计算，勾股定理最方便.要想证明是切线，半径垂线仔细辨.是直径，成半圆，想成直角径连弦.弧有中点圆心连，垂径定理要记全.圆周角边两条弦，直径和弦端点连.弦切角边切线弦，同弧对角等找完.要想作个外接圆，各边作出中垂线.还要作个内接圆，内角平分线梦圆.如果遇到相交圆，不要忘作公共弦.内外相切的两圆，经过切点公切线.若是添上连心线，切点肯定在上面.要作等角添个圆，证明题目少困难.1．遇到弦时（解决有关弦的问题时）常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径.作用：①利用垂径定理；②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量.例1如图1，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点.求证：ACBD.证明过O作OEAB于E∵O为圆心，OEAB∴,AEBECEDE∴ACBD练习如图2，AB为⊙O的弦，P是AB上的一点，10ABcm，4APcm.求⊙O的半径.2.有等弧或证弧等时常连等弧所对的弦或作等弧所对的圆心角.例2如图，已知AB是⊙O的直径，M、N分别是AO、BO的中点，CMAB,DNAB.求证：ACBD证明：（一）连结OC、OD∵M、N分别是AO、BO的中点,∴12OMAO、12ONBO.∵OAOB,∴OMON.∵CMAB,DNAB、OCOD,∴Rt△COM≌Rt△DON.∴COADOB.∴ACBD.3.有弦中点时常连弦心距例3如图4，已知M、N分别是⊙O的弦AB、CD的中点,ABCD，求证：AMNCNM.证明连结OM、ON.(其余证明过程略，请自己补充完整)4.有弧中点（或证明是弧中点）时，常有以下几种引辅助线的方法：⑴连结过弧中点的半径；⑵连结等弧所对的弦；⑶连结等弧所对的圆心角例4如图5，已知D、E分别是⊙O的半径OA、OB的中点，C为弧AB的中点，求证：CDCE.证明连结OC∵C为弧AB的中点∴ABBC∴∠AOC=∠BOC∵D、E分别为OA、OB的中点，且AO=BO,∴1122ODOEAOBO.∴△ODC≌△OEC.∴CD=CE.5.有直径．．时常作直径所对的圆周角．．．．．．．．，再利用直径所对的圆周角为直角证题.例5如图6，AB为⊙O的直径，AC为弦，P为AC延长线上一点，且ACPC,PB的延长线交⊙O于D，求证：ACDC.证明连结AD.∵AB为⊙O的直径,∴∠ADP=90o.∵AC=PC,∴AC=CD=12AP.例6如图7，P是⊙O的弦CB延长线上一点，点A在⊙O上，且BAPC.求证：PA是⊙O的切线.证明作⊙O的直径AD，连BD，则CDABD,90，即DBAD90.所以CBAD90.因为CPAB，所以BADPAB90，即APAD.所以PA为⊙O的切线.6.有等弧时常作辅助线有以下几种：⑴作等弧所对的弦；⑵作等弧所对的圆心角；⑶作等弧所对的圆周角.练习：1.如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，交点为E，F为DC延长线上一点，连结AF交⊙O于M.求证：∠AMD=∠FMC(提示：连结BM)2.如图，△ABC内接于⊙O，D、E在BC边上，且BD=CE，∠1=∠2，求证：AB=AC.7.有弦中点时，常构造三角形中位线.2题图GOFEDCBA211题图FMOEDCBAEDCOAB图1OBAP图2BOACMDN图3（二）连结AC、OC、OD、BD（如图3）.请自己完成证明过程.NMOABCD图4EDOABC图5DBOACP图6图7黔西南州博融兴仁中学考试卷第3页（本试卷共4页）第4页（本试卷共4页）例7已知如图8，在⊙O中，AB⊥CD，OE⊥BC于E，求证：OE=12AD.证明作直径CF，连结DF、BF.∵CF为⊙O的直径,∴CD⊥FD.又∵CD⊥AB,∴AB∥DF.∴ADBF.∴AD=BF∵OE⊥BC,O为圆心,CO=FO.∴CE=BE.∴OE=12BF.∴OE=12AD.8.两圆相交时，常连结两圆的公共弦例8如图9，⊙1O与⊙2O相交于A、B，过A的直线分别交⊙1O、⊙2O于C、D，过B的直线分别交⊙1O、⊙2O于E、F.求证：//CEDF.证明连结AB,∵四边形为圆内接四边形∴∠ABF=∠C,同理可证：∠ABE=∠D.∵∠ABF＋∠ABE=180o∴∠C＋∠D=180o∴CE∥DF.9.在证明直线和圆相切时，常有以下两种引辅助线方法：⑴当已知直线经过圆上的一点，那么连结这点和圆心，得到辅助半径，再证明所作半径与这条直线垂直即可;⑵如果不知直线与圆是否有交点时，那么过圆心作直线的垂线段，再证明垂线段的长度等于半径的长即可.例9如图10，P为⊙O外一点，以OP为直径作圆交⊙O于A、B两点，连结PA、PB.求证：PA、PB为⊙O的切线.证明连结OA.∵PO为直径，∴∠PAO=90o∴OA⊥PA.∵OA为⊙O的半径，∴PA为⊙O的切线.同理：PB也为⊙O的切线.例10如图11，同心圆O，大圆的弦AB=CD，且AB是小圆的切线，切点为E，求证：CD是小圆的切线.（提示：连结OE,过O点作OF⊥CD.证明略，请自己完成证明）练习：如图12，等腰△ABC，以腰AB为直径作⊙O交底边BC于P，PEAC于E,求证：PE是⊙O的切线.10．遇到两相交切线时（切线长）常常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连结两切点.作用：据切线长及其它性质，可得到：①角、线段的等量关系；②垂直关系；③全等、相似三角形.11．遇到三角形的内切圆时连结内心到各三角形顶点，或过内心作三角形各边的垂线段.作用：利用内心的性质，可得：①内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线；②内心到三角形三条边的距离相等.在处理内心的问题时，常需连结顶点与内心，以便利用内切圆的圆心是三角形内角平分线交点这一性质.12．遇到三角形的外接圆时，连结外心和各顶点作用：外心到三角形各顶点的距离相等.13．遇到两圆外离时（解决有关两圆的外、内公切线的问题）常常作出过切点的半径、连心线、平移公切线，或平移连心线.作用：①利用切线的性质；②利用解直角三角形的有关知识.14．遇到两圆相交时两个相交圆不离公共弦常常作公共弦、两圆连心线、连结交点和圆心等.作用：①利用连心线的性质、解直角三角形有关知识；②利用圆内接四边形的性质；③利用两圆公共的圆周的性质；④垂径定理.15．遇到两圆相切时两个相切圆不离公切线,常常作连心线、公切线.作用：①利用连心线性质；②弦切角性质；③切线性质等.例11如图13，⊙1O和⊙2O外切于点P，A是⊙1O上的一点，直线AC切⊙2O于C，交⊙1O于B，直线AP交⊙2O于D.求证:PC平分.分析：要证PC平分，即证.而BPC的边分布在两个圆中，难以直接证明.若过P作两圆的公切线PT，与AC交于T,易知BPCTPBTPC.由弦切角定理，得TPBA.又DPC是的一个外角,所以DPCAACP.又TPCACP,从而有,即PC平分.动物中的数学“天才”蜜蜂蜂房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱锥形的底，由三个相同的菱形组成。组成底盘的菱形的钝角为109度28分，所有的锐角为70度32分，这样既坚固又省料。蜂房的巢壁厚0.073毫米，误差极小。丹顶鹤总是成群结队迁飞，而且排成“人”字形。“人”字形的角度是110度。更精确地计算还表明“人”字形夹角的一半——即每边与鹤群前进方向的夹角为54度44分8秒！而金刚石结晶体的角度正好也是54度44分8秒！是巧合还是某种大自然的“默契”？蜘蛛结的“八卦”形网，是既复杂又美丽的八角形几何图案，人们即使用直尺的圆规也很难画出像蜘蛛网那样匀称的图案。冬天，猫睡觉时总是把身体抱成一个球形，这其间也有数学，因为球形使身体的表面积最小，从而散发的热量也最少。真正的数学“天才”是珊瑚虫。珊瑚虫在自己的身上记下“日历”，它们每年在自己的体壁上“刻画”出365条斑纹，显然是一天“画”一条。奇怪的是，古生物学家发现3亿5千万年前的珊瑚虫每年“画”出400幅“水彩画”。天文学家告诉我们，当时地球一天仅21.9小时，一年不是365天，而是400天。FEOCDAB图8FDBAO2O1CE图9PBAO图10OCDABFE图11EPOCAB图12TBO1O2PADC图13