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第十九讲追及问题【知识概述】追及问题也是行程问题中的一类。这类问题的特点是：两个物体同时向同一方向运动，出发的地点不同（或者从同一地点不同时出发，向同一方向运动），慢者在前，快者在后，因而快者离慢者越来越近，最后终于追上。解答这类问题时，要理解速度差的含义（即单位时间内快者追上慢者的路程，也就是快者速度减去慢者速度）。要解决追及问题，要掌握以下几个基本公式：路程差＝速度差×追及时间追及时间＝路程差÷速度差速度差＝路程差÷追及时间快者速度＝速度差＋慢者速度慢者速度＝快者速度－速度差【典型例题】例1甲、乙两人在相距16千米的A、B两地同时出发，同向而行。甲步行每小时行4千米，乙骑车在后，每小时速度是甲的3倍。几小时后乙能追上甲？【学大名师】此题是两人同向运动问题，乙追甲，利用追及问题的关系式，就可以解决问题。解：16÷（3×4-4）=2（小时）答：2小时后乙能追上甲。例2名士小学一条环形跑道长400米，甲骑自行车平均每分钟骑300米，乙跑步平均每分钟跑250米，两人同时同地同向出发，经过多少分钟两人相遇?【学大名师】当甲、乙同时同地出发后，距离渐渐拉大再缩小，最终甲又追上乙，这时甲比乙要多跑1圈，即甲乙的距离差为400米，而甲乙两人的速度已经知道，用环形跑道长除以速度差就是要求的时间。解：甲乙的速度差：300－250＝50（米）甲追上乙所用的时间：400÷50＝8（分钟）答：经过8分钟两人相遇。例3甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，4小时可以相遇。如果两人每小时都少行1.8千米，那么要6小时才能相遇，问AB两地的距离？【学大名师】按原速行走，4小时相遇，如果每小时都减少1.8千米，就要6小时，多用了2小时，假如两人减速后先行4小时，则不可能相遇，这时两人应该相距（1.8×2×4）千米，这段路两人再共行2小时，这样就可以求出减速后的速度和，再乘以减速后的时间，就可以求出两地路程。解：每小时少步行1.8千米，4小时少步行路程：1.8×2×4＝14.4（千米）两人减速后的速度和是：14.4÷（6－4）＝7.2（千米/时）7.2×6＝43.2（千米）答：两地相距43.2千米。例4小晶8时整出门，步行去10千米远的天河城购物中心，他每小时步行3千米，可是他每走40分钟就要休息10分钟，问小晶什么时间到达天河城购物中心？【学大名师】小晶50分钟里行40分钟，能行3×32＝2千米，10千米中共有5个2千米，而最后2千米，不需要休息。解：40分钟共行路程3×32＝2（千米）10÷2＝5（5－1）×50＋40＝240（分钟）8＋240÷60＝12时答：小晶12时到达天河城购物中心。例5某校202名学生排成两路纵队，以每秒3米的速度去春游，前后相邻两个人之间的距离为0.5米。李老师从队尾骑自行车以每秒5米的速度到队头，然后又返回到队尾，一共要用多少秒？【学大名师】要求一共要用多少分钟，首先必须求出队伍的长度，然后可以参照例2解题。解：这支路队伍长度：（202÷2-1）×0.5=50(米)赶上队头所需要时间：50÷（5-3）=25（秒）返回队尾所需时间：50÷（5+3）=6.25（秒）一共用的时间：25+6.25=31.25（秒）答：一共要用31.25秒。例6甲、乙、丙三人都从A地出发到B地。乙比丙晚出发10分钟，40分钟后追上丙；甲比乙晚出发20分钟，100分钟追上乙；甲出发多少分钟后追上丙？【学大名师】可以假设丙的速度为1米/分钟.解：(1)当乙追上丙时，丙共行了1×（40+10）=50(米)由此可知乙行50米用了40分钟乙的速度为50÷40=1.25（米/分钟）(2)当甲追乙时，乙已经先出发走了20分钟，此时甲乙的距离差为1.25×20=25（米）甲、乙的速度差为25÷100=0.25（米/分钟）甲的速度为1.25＋0.25=1.5（米/分钟）(3)当甲追丙时，丙已经先出发走了10+20=30（分钟）此时甲丙的距离差为1×(10+20)=30（米）速度差为1.5-1=0.5（米/分钟）追及时间为30÷0.5=60(分钟)答：甲出发60分钟后追上丙【我能行】1．两辆汽车相距1500千米，甲车在乙车前面，甲车每分钟行610米，乙车每分钟660米，乙车追上甲车需几分钟？2．老王和老张从甲地到乙地开会，老张骑自行车的速度是15千米/小时，先出发2小时后，老王老出发，老王用了3小时追上老张，求老王骑车速度。3．上午10点，从一个港口开出一只货船，下午2点钟，又从这个港口开出一只客船，客船开出12小时追上货船，客船速度20千米/小时，求货船速度。4．两地相距900千米，甲车行全程需15小时，乙车行全程需12小时，甲车先出发2小时后，乙去追甲，问乙车要走多少千米才能追上甲车？5.小张从家到公园,原打算每分钟走50米,为了提早10分钟到,他把速度加快,每分钟走75米.小张家到公园有多少米.【我试试】1．甲、乙两辆汽车同时从东西两地相向开出，甲车每小时行56千米，乙车每小时行48千米，两车在离中点32千米处相遇，求东西两地的距离是多少千米？2．甲、乙两辆汽车同时从东站开往西站。甲车每小时比乙车多行12千米，甲车行驶四个半小时到达西站后，没有停留，立即从原路返回，在距离西站31.5千米的地方和乙车相遇，甲车每小时行多少千米？3．甲、乙两城之间的铁路长240千米，快车从甲城、慢车从乙城同时相向开出，3小时相遇，如果两车分别从两城向同一方向开出，慢车在前、快车在后，15小时快车就可以追上慢车，求快车与慢车每小时各行多少千米？4.一只猎狗正在追赶前方20米处的兔子,已知狗一跳前进3米.兔子一跳前进2.1米,狗跳3次的时间兔子可以跳4次.问:兔子跑多少米后被猎狗追上?5.上午8时8分,小明骑自行车从家里出发.8分后,爸爸骑摩托车去追他,在离家4千米的地方追上了他,然后爸爸立刻回家,到家后又立刻回头去追小明,再追上他的时候,离家恰是8千米,这时是什么时间？