微分方程

第六章微分方程6.1微分方程的基本概念6.2一阶微分方程6.3可降阶的二阶微分方程6.4二阶线性微分方程6.5微分方程的应用举例6.1微分方程的基本概念定义导数或微分的方程数、未知函数的把联系自变量、未知函.称为微分方程例,xyy,0)(2xdxdtxt,32xeyyy.2yxyxz自变量的个数只有一个如果在微分方程中,偏微分方程.为两个以上的微分方程称自变量的个数为两个或一般形式为0),,,,()(nyyyxF,数是一元函数）（即未知函常微分方程.则称这种微分方程为微分方程的阶:微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称之为微分方程的阶.,0),,(yyxF一阶微分方程:);,(yxfy或高阶微分方程:).,,,,()1()(nnyyyxfy0),,,,()(nyyyxF或),2(Nnn.必须出现在一阶微分方程中，y注意:,)(必须出现阶微分方程中，在nyn注意:.,,,,,)1(等变量可以不出现而nyyyyx中，阶微分方程例如01)(nyn,)(外除ny.其他变量都没有出现线性与非线性微分方程：的左端为如果方程0),,,,()(nyyyxF有理整式，的及)(,,,nyyyy一次则称此方程.微分方程阶为n线性.为非线性微分方程不是线性方程的方程称例如)()(xQyxPy.是一阶线性微分方程,02)(2xyyyx.0sin7yy.都是非线性微分方程微分方程的解:等式的函数称之为微分方程的解.代入微分方程能使方程成为恒,)(阶的导数上有直到在区间设nIxy上为恒等式，使其在代入方程如果把IyyyxFxn0),,,,()()(即)(.0))(,),(),(,()(IxxxxxFn.0),,,,()()(上的一个解在为方程则称IyyyxFxyn微分方程的解的分类：(1)通解:微分方程的解中含有任意常数,且独立任意常数的个数与微分方程的阶数相同.独立指的是：个常数nCCCn,,,21它们不能.得常数的个数减少通过四则运算合并而使例如,21xCCxCxCcossin21.,21是独立的中CCxCC21而,xC.,21就不是独立的任意常数此处CCxCC21,xC,yy例;xCey通解,0yy.cossin21xCxCy通解(2)特解:不包含任何任意常数的解.初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题.过定点的积分曲线;.)(),,(00yxyyxfy一阶:二阶:.)(,)(),,,(0000yxyyxyyyxfy过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线..)(,,)(,)(,0),,,(:)1(00)1(0000)(nnnyxyyxyyxyyyyxfn阶初始条件:用来确定任意常数的条件.通解的图象:微分方程的积分曲线族.解的图象:微分方程的积分曲线..1,,,,)1(0000个已知常数是其中nyyyxn例1验证:函数ktCktCxsincos21是微分方程0222xkdtxd的解.并求满足初始条件0,00ttdtdxAx的特解.解,cossin21ktkCktkCdtdx,sincos221222ktCkktCkdtxd,22的表达式代入原方程和将xdtxd.0)sincos()sincos(212212ktCktCkktCktCk.sincos21是原方程的解故ktCktCx,0,00ttdtdxAx,1AC,cossin21ktkCktkCdtdx而.02C所求特解为.cosktAx注意：..1有些方程可能无解.01)(22无实函数解yy..3的解通解不一定能包含所有,0)(22CCxyyyxy有通解.42解得到）不在通解内（不能由通另一方面解xy..2方程可能有解而无通解.00)(22yyy只有特解思考题解答,62xey,122xeyyy4,0341222xxeexey23中不含任意常数,故为微分方程的特解.函数xey23是微分方程04yy的什么解?思考题6.2一阶微分方程式是一阶微分方程的一般形0),,(yyxF则可写为如果一阶导数可解出，),,(yxfdxdy0),(),(dyyxQdxyxP或一.可分离变量的微分方程如果一个一阶微分方程0),,(yyxF),(yxfdxdy0),(),(dyyxQdxyxP或或:能写成,(*))()(的形式dxxfdyyg则称原微分方程为可分离变量的微分方程.5422yxdxdy例如,2254dxxdyy可分离变量的微分方程解法：，得两边求不定积分对(*)dxxfdyyg)()((*))()(dxxfdyyg则设,)()(),()(tftFtgtG,)()(21CxFCyGCxFyG)()(即称为所给可分离变量微分方程的隐函数形式的通解.为任意常数）（C例1求微分方程.2的通解xydxdy解分离变量,2xdxydy)0(y两端积分,2xdxydy,ln12Cxy,21xCeey,21xCeey,1CeC令,2xeCy也是原方程的解，由于0y,0C允许为任意常数）（故CeCyx2.为所求通解例2.0)0(0)21()1(的特解满足求微分方程ydxedyxy解先求通解，方程可改写为,112xdxedyy两边积分,112xdxedyy,12xdxedyeyy,1)1(2)2(xxdeedyy,1ln2ln1Cxey,)1)(2(ln2Cxey.)1)(2(Cxey得通解：,1,0)0(Cy得由故该初值问题的解为.1)1)(2(xey二.齐次方程,0),,(),(成立如果tyxFttytxFk则.),(次齐次函数称为kyxF),,(),(0yxFtytxFk时，当则称),(yxF.0次齐次函数为，取xt1),(0yxF次齐次函数对),1(xyF.)(xyf定义)(xyfdxdy形如的微分方程称为齐次方程.解法:,)(xyfdxdy对齐次方程令,xyu,xuy即,dxduxudxdy代入原方程，得),(ufdxduxuuufdxdux)(即可分离变量的微分方程..代入即得原方程的通解求出解后，以xyu例3求解微分方程.0cos)cos(dyxyxdxxyyx，令xyu，则udxxdudy,0)(cos)cos(xduudxuxdxuuxx,cosxdxudu,lnsinCxu.lnsinCxxy微分方程的解为解,xuy即.2222xyydyyxyxdx例4求解微分方程2222yxyxxyydxdy解,1222xyxyxyxy,xyu令,xuy即,dxduxudxdy则,1222uuuudxduxu,)2)(1()1(2xdxuuuduuu,]1122)121(21[xdxduuuuu,lnlnln212)2ln(231lnCxuuuu.)2(123Cxuuu微分方程的解为.)2()(32xyCyxy三.一阶线性微分方程)1()()(xQyxPdxdy一阶线性微分方程的标准形式:,0)(xQ当(1)称为齐次方程.(1)称为非齐次方程.,0)(xQ当)2(0)(yxPdxdy方程.)1(的齐次方程称为对应于方程例如,2xydxdy,sin2ttxdtdx,32xyyy,1cosyy线性的;非线性的.0)(yxPdxdy1.先求线性齐次方程的通解：一阶线性微分方程的解法,)(dxxPydy,)(dxxPydy,)(ln1CdxxPy齐次方程的通解为.)(dxxPCey用分离变量法)(1CeC2.再求线性非齐次方程的通解：)()(xQyxPdxdy讨论,)()(dxxPdxyxQydy的函数，是由于xy),()(xyxQ可令,)()(1Cxdxx并设对上式积分，得,)()(ln1dxxPCxydxxPCxeey)()(1即)(xC.)(dxxPe非齐次方程通解形式与齐次方程通解dxxPCey)(相比，不难看出：只要在齐次方程的通解中，dxxPCey)(C把常数，待定函数变易成)(xCx就可得非齐次方程的解的形式：.)()(dxxPexCy.)(的通解，便可求出非齐次方程进而定出函数xC,)]()[()()()(dxxPdxxPexPxCexCy代入原方程得和将yy),()()(xQexCdxxP积分得,)()()(CdxexQxCdxxP,)()()(CdxexQxCdxxP故一阶线性非齐次微分方程的通解为:dxxPdxxPeCdxexQ)()(])([dxexQeCedxxPdxxPdxxP)()()()(ydxxPexC)()(称为常数变易法.把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法，对应齐次方程通解非齐次方程特解.sin1的通解求方程xxyxy,xdxydy,)()(2xxCxxCy解例1,01的通解求齐次方程先yxy,lnlnlnCxy,Cyx.xCy即,)(xxCy令代入原方程，得,sin)(xxC,cos)(CxxC.cos)(xCxxxCy故例2如图所示，平行于轴的动直线被曲线y)(xfy)0(3xxy)(xfyPQ与截下的线段之长数值上等于阴影部分的面积,求曲线.xyoxPQ3xy)(xfy解由题意),()(30xfxdxxfx两边求导得,32xyy,0yy,dxydy,ln1Cxy.xCey，令xexCy)(.0|0xy则,)()(xxexCexCy代入方程，得23xyy，令xexCy)(,3)(2xexxC,)22(3)(2CexxxCx,6632xxCex,0|0xy由,6C得xexCy)(故所求曲线为).222(32xxeyx伯努里(Bernoulli)方程的标准形式nyxQyxPdxdy)()()1,0(n方程为线性微分方程.方程为非线性微分方程.,1,0时当n,1,0时当n解法:需经过变量代换化为线性微分方程.四.伯努里方程（Bernoulli，1654-1705，瑞士）,1nyz令，则dxdyyndxdzn)1(),()(1xQyxPdxdyynn),()1()()1(xQnzxPndxdz得两端除以,ny代入上式,得(*))()(nyxQyxPdxdy方程，为未知函数的一阶线性此方程是以z.(*)的通解即得方程后代入变换关系解出znyz1.42的通解求方程yxyxdxdy,412xyxdxdyy,yz令,422xzxdxdz,22Cxxz解得.224为所求的通解故Cxxy解，得两端除以y例3,121dxdyydxdz例4用适当的变量代换解下列微分方程:;)()12yxdxdy解,uyx令,xuy,1dxdudxdy代入原方程，得,12udxdu，即21udxdu，dxudu21,arctanCxu得代回,yxu,)arctan(Cx