测电源的电动势及内阻方法及例题

测电源的电动势及内阻一、伏安法（U-I法）这是课本上提供的常规方法，基本原理是利用全电路欧姆定律，即U=E-Ir，测出路端电压及电路中的总电流，用解方程组的办法求出电动势和内阻．原理图如图1所示，实验基本器材为电压表和电流表．改变不同的R值，即可测出两组不同的U和I的数据，有E=U1+I1r①，E=U2+I2r②由①②式得：E=211221IIUIUI，r=2112IIUU．多测几组U、I数据，分别求出每组测量数据对应的E，r值，最后求出平均值．还可以用图象确定电池的电动势和内电阻．由U=E-Ir知，对于确定的电池，E，r为定值，U是I的一次函数，U与I的对应关系图象是一条直线．其图象持点有：①当I=0时，U=E，这就是说，当外电路断路时，路端电压等于电源电动势．所以反映在U-I图线上是图线在纵轴U上的截距(等于电源的电动势E)．如图2．②当R=0时，U=0，这时I=I短=rE．即是，当电源短路时，路端电压为零．这时电路中的电流并不是无穷大，而是等于短路电路I短．反映在U-I图线上是图线在横轴I上的截距(等于I短)，如图2所示．根据I短=rE，可知r=短IE．这样，从图中求出E和I短，就能计算出r．对于r=短IE，对比图线可以看出，短IE实际上就是U-I图线斜率的大小(斜率取绝对值)．所以求电源内阻r变成了求图线斜率的大小．由于实际实验中数据采集范围的限制以及作图的规范，使得这个实验的U-I图线的纵轴起点一般并不是零，因为若不这样取法将会使全图的下半部变为空白，图线只集中在图的上面的31部分，它既不符合作图要求，又难找出图线与横轴的关系．一般说来纵轴的起点要视电压的实验值(最小值)而定，但图线与横轴的交点不再是短路电流了．常在这里设考点，值得引起注意．这样一来就不能从图线上得到短路电流I短．在这种情况下一般是从图线上任取两点A、B，利用A、B两点的数值求得图线的斜率以获得电源电阻r的值．如图3所示．r的数值应是r=ABBAIIUU当然，也可以是r=00IUE其中U0是纵轴的起点值，I0是此时横轴的截距．注意，这里的I0并不是短路电流I短．如图8所示，这是由于电压表的分流IV，使电流表示值I小于电池的输出电流I真，I真=I+IV，而IV=VRU，显见U越大IV越大，只有短路时U=0才有I真=I=I短，即B点，它们的关系可用图9表示，实测的图线为AB，经过IV修正后的图线为A′B，即实测的r和E都小于真实值．实验室中J0408型电压表0~3V挡内阻为3kR的取值一般不超过30压表的分流影响不大，利用欧姆定律可导出r=V1Rrr真真，=V1RrE真真，可知rr真，真,为减小系统误差，图8电路要求RVr真，这在中学实验室中是容易达到的，所以课本上采取这种电路图．这种接法引起误差的原因都是由于电压表的分流影响．图8图9另一种电路是将电流表外接，如图10所示，其等效电路图如图11所示．图10图11由于电流表的分压UA的影响，使电压表的测量值小于电池的端电压U端=U真，而有U真=U测+UA的关系．且UA=IRA，故电流I越大，UA也越大，当电路断开时，U测=U真，即图12中的A点．实测的图线为AB，当将电流表内阻看成内电路的一部分时(如图11所示)，r测=r真+RA，这样处理后，图线可修正为AB′但此时图线与横轴的交点并不为电池的短路电流，由图线可知：E测=E真，r测r真．只有当RAr真时，才有r测=r真．然而中学的实验设备很难达到这一点，故此法不可取．二、伏欧法（U-R法）如图17所示，改变电阻箱R的阻值，多测几组路端电压及对应的外电阻阻值．则有U1=E-11RUr，U2=E-22RUr，结合两式解得E＝21122121)(RURUUURR，r=21122121)(RURURRRU图1图2图3图12图17显然，实验时电阻箱接入电路的初始值应足够大，再由大到小逐渐调节，可多测几组数据，最后求E，r的平均值．也可以由I=RU把变量R转换成I，通过U-I图象求E和r．本方法的基本器材为电压表和电阻箱．由于实验中电压表内阻RV的存在，具有分流作用，故测量值均小于真实值．其关系为：E测＝真真ErRRVV，r测＝真真rrRRVV．实际测量电路中往往接有保护电阻，选择保护电阻，不仅要看电阻的大小，还要看允许通过的电流．本题采用U-R法的测量电路测量电源电动势和内阻，在处理数据时采用U-I法的处理方法．U-I图线上各坐标点的电流值是由)(0RRU得到的．三、欧安法（R-I法）如图22所示电路图，测出总电流及外电阻，由全电路的欧姆定律知有E＝I1（R1+r），E=I2(R2+r)则E＝122121)(IIIIRR，r=122211IIRIRI．显然，理论上只需两组I，R值即可，但实际这样的误差太大，应多测几组已便求平均值．也可由U=IR把变量R转换成U，再对U-I图线进行数据的处理．由于电流表内阻RA的分压作用，经分析可知电动势的测量值与真实值相等，即E测＝E真，而内值偏大，即r测＝RA+r真．本实验的基本器材为电流表和电阻箱．四、双伏法（U-U法）如图25所示，两只电压表V1和V2，其量程已知，V1的内阻RV1已知，V2内阻不知为多少，电源内能不可忽略，且未知，电源电动势不超过电压表的量程．先合上开关S，记下V1的示数U1；再断开开关S，记下V1和V2的示数U1′和U2′，有E＝U1+,1V1rRUE=U2′+U1′+,1V1rRU联立方式有E=)(1121UUUU，r=)()(11V1211UURUUU五、U1－R法如图27所示电路图中，多次改变电阻箱的阻值，记下电阻箱的阻值R及相应的电压表的读数U．设电源电动势为E，电压表的内阻为Rv，由分压原理有图27图28U=VVRRRE，化得ERERU111V，作出RU1图象如图28所示，为一条直线．其截距a=1/E，斜率为V1ER＝ba，则RV=b．这是一种测电源电动势和电压表内阻的巧妙办法．伏安法【例1】在做测量干电池的电动势和内电阻的实验时，备有下列器材供选用：A．干电池一节(电动势约1.5V)B．直流电流表(量程0~0.6~3A，0.6A挡内阻0.10，3A挡内阻0.025)C．直流电压表(量程0~3~15V，3V挡内阻5k，15V挡内阻25k)D．滑动变阻器(阻值范围0~15，允许最大电流1A)E．滑动变阻器(阻值范围0~1000，允许最大电流0.5A)F．开关G．导线若干根H．电池夹(1)将按本实验要求选定的器材(系统误差较小)，在下图4所示的实物图上连线．图4(2)如图5所示，电流表指针停止在下图(1)所示位置，量程取0.6A挡时读数为______；量程取3A挡时读数为_______．电压表指针停在图(2)所示位置，量程取3V挡时读数为______；取量程为15V挡时读数为______．图5(3)根据实验记录，画出的U-I图象如图6所示，可得待测电池的内电阻r为_______．【解析】本例是典型的U-I法测电源电动势和内电阻，且运用图象处理数据．图22图25图6(1)连接图如图7所示．图7由于电路中的电压为1.5V，电路中的电流不超过0.6A，因此，电压表应选0~3V量程，电流表应选择0~0.6A量程．为了使电流值可调范围大一些，滑动变阻器应选择0~15(2)电流表读数在0.6A挡时，I=0.280A，在3A挡时，I=1.40A，电压表读数在3V挡时，U=1.30V，在15V挡时，U=6.50V．(3)r=IU=13.045.018.140.1Ω=0.69Ω【例2】用电流表和电压表测定电池的电动势E和内电阻r，所用的电路如下图13所示．一位同学测得的数据组如下表中所示．(1)试根据这些数据在图中作出U-I图象．(2)根据图象得出电池的电动势E=______V，电池的内电阻r=______W．(3)若不作出图象，只选用其中两组U和I数据，可利用公式E=U1+I1r和E=U2+I2r算出E和r，这样做可能得出误差很大的结果，选用第_____组和第_____组的数据，求得的E和r误差最大．【解析】如图14所示，作图象时应把个别不合理的数据排除．由直线与纵轴的交点可读出电动势E=1．45V，再读出直线与横I)，连同得出的E值代入E=U+Ir中，得r=IUE=A65.0V)00.145.1(=0．69轴的交点的坐标(U，图14选用第3组和第4组数据求得的E和r误差最大，不需要利用所给的6组数据分别进行计算，利用作图就可看出这一点．选用这两组数据求E和r，相当于过图中3和4两点作一直线，利用此直线求出E和r，而此直线与所画直线偏离最大．实际上，第4组数据不合理，已经排除．【点评】用图象法处理数据是该实验的一个重点，在高考中经常出现．需要注意两点，如果U-I图象的坐标原点是U轴、I轴的零点，那么图象与U轴交点表示电源的电动势E，与I轴交点表示电源短路的电流，内阻r=E/I短，当然，电源内阻也可以用r=U/I求得；如果U-I图象的坐标原点是I轴零点，而非U轴零点，那么图象与U轴交点仍表示电源的电动势E，而图象与I轴交点不表示电源短路时的电流，内阻只能用r=U/I求解．伏阻法【例3】一种供实验使用的小型电池标称电压为9V，电池允许最大输出电流为50mA，为了测定这个电池的电动势和内阻，用图18所示电路进行测量（图中电压表内阻很大，可不考虑它对测量的影响），R为电阻箱，阻值范围为0~9999,R0是保护电阻．(1)实验室里备用的定值电阻有以下几种规格：A．10，5WB．150，0.5WC．200，0.25WD．1.2k，1W实验时，R0应选用______较好．(2)在实验中当电阻箱调到图19所示位置后，闭合开关S，电压表示数9.0V，变阻箱此时电阻为____，电路中流过电阻箱的电流为____mA．图19图20(3)断开开关，调整电阻箱阻值，再闭合开关，读取电压表示数，多次测量后，做出如上图20所示图线，则该电池电动势E=_____V，内阻r=____．【解析】(1)保护电阻R0的选择关系到能否控制电源的输出电流在50mA以下，取电阻箱电阻R＝0，则R0+r=,180105093maxIE实验室里备用的定值电阻150200C)均接近180图13组别I(A)U(V)10.121.3720.201.3230.311.2440.321.1850.501.1060.571.05图18B=,A058.01505.0maxIRPB故应选电阻B作为保护电阻，即R0=150B．(2)电阻箱的读数为750I0=.mA10A01.075015090RRU(3)延长U-I图线，与纵轴的交点即电流电动势，E＝9．5V，电源内阻r=.5010)2030(0.85.83IU【点评】实际测量电路中往往接有保护电阻，选择保护电阻，不仅要看电阻的大小，还要看允许通过的电流．本题采用U-R法的测量电路测量电源电动势和内阻，在处理数据时采用U-I法的处理方法．U-I图线上各坐标点的电流值是由)(0RRU得到的．【例4】现有一阻值为10W的定值电阻、一只开关、导线若干及一只电压表，该电压表表面上有刻度但无刻度值．要求设计一个能测定某电源内阻的实验方案(已知电压表内阻很大，电压表量程大于电源电动势，电源内阻约为几欧)．要求：(1)画出实验电路图．(2)简要写出完成接线后的实验步骤．(3)写出用测得的量计算电源内阻的表达式r=_____．【解析】(1)实验电路如图21所示．(2)实验步骤如下：①断开开关，记下电压表偏转格数N1；r=)10(221RRNNN②合上开关，记下电压表偏转格数N2；③电源内阻按下列公式计算：(3)由于电压表内阻很大，因此当断开开关S时测得的路端电压U1等于电源电动势．设电压表每格的电压值为U0，则有E＝U1＝N1U0①同样，由于电压表的内阻很大，在合上开关S后，外电路的总电阻可以认为等于R＝10E＝U2+0222UrRNNrRU②联立①、②两式得r=RN