振型参与系数之和为1的证明

一、首先证明：11niii(1)即：振型向量关于振型参与系数的加权平均值为单位向量。首先，由振型向量的线性无关性，有下式成立：11niiia(2)其中，ia为待定系数，将(2)式两边同乘TjM，得：11nTjijiiMaM(3)利用振型正交性，式(3)右边可化简为：1nijijjjiaMaM(4)由式(3)和式(4)，可得：1TjjjjjMaM(5)上式说明，ja恰恰等于振型参与系数j。这个证明过程一般的结构动力学或工程抗震书上都会有。二、再证明：11nii(6)由式(1)可改写为：1122221(7)即：振型向量关于振型参与系数的加权平均为单位向量。进一步将式(7)改写为：112111231211nnnnn(8)也可以写成：11niiji(9)其中，ij——第i振型第j质点处的振型位移；再由振型的无量纲性，总能归一化取1ij，故：11nii(10)即：振型参与系数之和等于1。