高考数学限时规范检测：第八章-第八节-曲线与方程

高中数学资料共享群：284110736，每天都有更新，无限下载数学教学资料关注公众号“品数学”，专供学习干货的公众号。限时规范训练(限时练·夯基练·提能练)A级基础夯实练1．(2018·云南质量检测)已知M(－2，0)，N(2，0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程为()A．x2＋y2＝2B．x2＋y2＝4C．x2＋y2＝2(x≠±2)D．x2＋y2＝4(x≠±2)解析：选D.MN的中点为原点O，易知|OP|＝12|MN|＝2，∴P的轨迹是以原点O为圆心，2为半径的圆，除去与x轴的两个交点，即P的轨迹方程为x2＋y2＝4(x≠±2)，故选D.2．(2018·湖北荆门调考)已知θ是△ABC的一个内角，且sinθ＋cosθ＝34，则方程x2sinθ－y2cosθ＝1表示()A．焦点在x轴上的双曲线B．焦点在y轴上的双曲线C．焦点在x轴上的椭圆D．焦点在y轴上的椭圆解析：选D.因为(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ＝916，所以sinθcosθ＝－732＜0，又sinθ＋cosθ＝34＞0，所以sinθ＞－cosθ＞0，故1－cosθ＞1sinθ＞0，而x2sinθ－y2cosθ＝1可化为y2－1cosθ＋x21sinθ＝1，故方程x2sinθ－y2cosθ＝1表示焦点在y轴上的椭圆．高中数学资料共享群：284110736，每天都有更新，无限下载数学教学资料关注公众号“品数学”，专供学习干货的公众号。3．(2018·浙江杭州七校质量检测)已知F1，F2是双曲线的两个焦点，Q是双曲线上任意一点，从焦点F1引∠F1QF2的平分线的垂线，垂足为P，则点P的轨迹为()A．直线B．圆C．椭圆D．双曲线解析：选B.不妨设点Q在双曲线的右支上，延长F1P交直线QF2于点S，∵QP是∠F1QF2的平分线，且QP⊥F1S，∴P是F1S的中点．∵O是F1F2的中点，∴PO是△F1SF2的中位线，∴|PO|＝12|F2S|＝12(|QS|－|QF2|)＝12(|QF1|－|QF2|)＝a，∴点P的轨迹为圆．4．(2018·湖北武汉调研)已知不等式3x2－y2＞0所表示的平面区域内一点P(x，y)到直线y＝3x和直线y＝－3x的垂线段分别为PA，PB，若△PAB的面积为3316，则点P的轨迹的一个焦点坐标可以是()A．(2，0)B．(3，0)C．(0，2)D．(0，3)解析：选A.不等式3x2－y2＞0⇒(3x－y)(3x＋y)＞0⇒3x－y＞0，3x＋y＞0或3x－y＜0，3x＋y＜0，其表示的平面区域如图中阴影部分所示．点P(x，y)到直线y＝3x和直线y＝－3x的距离分别为|PA|＝|3x－y|3＋1＝|3x－y|2，|PB|＝|3x＋y|3＋1＝|3x＋y|2，∵∠AOB＝120°，∴∠APB＝60°，∴S△PAB＝12×|PA|×|PB|sin60°＝34×3x2－y24，又S△PAB＝3316，高中数学资料共享群：284110736，每天都有更新，无限下载数学教学资料关注公众号“品数学”，专供学习干货的公众号。∴34×3x2－y24＝3316，∴3x2－y2＝3，即x2－y23＝1，∴P点的轨迹是双曲线，其焦点为(±2，0)，故选A.5．已知A，B为平面内两定点，过该平面内动点M作直线AB的垂线，垂足为N.若MN2→＝λAN→·NB→，其中λ为常数，则动点M的轨迹不可能是()A．圆B．椭圆C．抛物线D．双曲线解析：选C.以AB所在直线为x轴，AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，设M(x，y)，A(－a，0)，B(a，0)，则N(x，0)．因为MN2→＝λAN→·NB→，所以y2＝λ(x＋a)(a－x)，即λx2＋y2＝λa2，当λ＝1时，轨迹是圆；当λ＞0且λ≠1时，轨迹是椭圆；当λ＜0时，轨迹是双曲线；当λ＝0时，轨迹是直线．综上，动点M的轨迹不可能是抛物线．6．设线段AB的两个端点A，B分别在x轴、y轴上滑动，且|AB|＝5，OM→＝35OA→＋25OB→，则点M的轨迹方程为()高中数学资料共享群：284110736，每天都有更新，无限下载数学教学资料关注公众号“品数学”，专供学习干货的公众号。A.x29＋y24＝1B．y29＋x24＝1C.x225＋y29＝1D．y225＋x29＝1解析：选A.设M(x，y)，A(x0，0)，B(0，y0)，由OM→＝35OA→＋25OB→，得(x，y)＝35(x0，0)＋25(0，y0)，则x＝35x0，y＝25y0，解得x0＝53x，y0＝52y，由|AB|＝5，得53x2＋52y2＝25，化简得x29＋y24＝1.7．在平面直角坐标系xOy中，若定点A(1，2)与动点P(x，y)满足向量OP→在向量OA→上的投影为－5，则点P的轨迹方程是________．解析：由OP→·OA→|OA→|＝－5，知x＋2y＝－5，即x＋2y＋5＝0.答案：x＋2y＋5＝08．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A(1，0)，B(2，2)，若点C满足OC→＝OA→＋t(OB→－OA→)，其中t∈R，则点C的轨迹方程是________．解析：设C(x，y)，则OC→＝(x，y)，OA→＋t(OB→－OA→)＝(1＋t，2t)，所以x＝t＋1，y＝2t，消去参数t得点C的轨迹方程为y＝2x－2.答案：y＝2x－2高中数学资料共享群：284110736，每天都有更新，无限下载数学教学资料关注公众号“品数学”，专供学习干货的公众号。9．已知圆的方程为x2＋y2＝4，若抛物线过点A(－1，0)，B(1，0)且以圆的切线为准线，则抛物线焦点的轨迹方程是________．解析：设抛物线焦点为F，过A，B，O作准线的垂线AA1，BB1，OO1，则|AA1|＋|BB1|＝2|OO1|＝4，由抛物线定义得|AA1|＋|BB1|＝|FA|＋|FB|，所以|FA|＋|FB|＝4，故F点的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)．所以抛物线焦点的轨迹方程为x24＋y23＝1(y≠0)．答案：x24＋y23＝1(y≠0)10．(2018·郑州市第一次质量预测)已知坐标平面上动点M(x，y)与两个定点P(26，1)，Q(2，1)，且|MP|＝5|MQ|.(1)求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；(2)记(1)中轨迹为C，过点N(－2，3)的直线l被C所截得的线段长度为8，求直线l的方程．解：(1)由题意，得|MP||MQ|＝5，即（x－26）2＋（y－1）2（x－2）2＋（y－1）2＝5，化简，得x2＋y2－2x－2y－23＝0，所以点M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－1)2＝25.轨迹是以(1，1)为圆心，以5为半径的圆．(2)当直线l的斜率不存在时，l：x＝－2，此时所截得的线段长度为252－32＝8，所以l：x＝－2符合题意．当直线l的斜率存在时，设l的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0，圆心(1，1)到直线l的距离高中数学资料共享群：284110736，每天都有更新，无限下载数学教学资料关注公众号“品数学”，专供学习干货的公众号。d＝|3k＋2|k2＋1，由题意，得|3k＋2|k2＋12＋42＝52，解得k＝512.所以直线l的方程为512x－y＋236＝0，即5x－12y＋46＝0.综上，直线l的方程为x＝－2或5x－12y＋46＝0.B级能力提升练11．若曲线C上存在点M，使M到平面内两点A(－5，0)，B(5，0)，距离之差的绝对值为8，则称曲线C为“好曲线”．以下曲线不是“好曲线”的是()A．x＋y＝5B．x2＋y2＝9C.x225＋y29＝1D．x2＝16y解析：选B.因为M到平面内两点A(－5，0)，B(5，0)距离之差的绝对值为8，所以M的轨迹是以A(－5，0)，B(5，0)为焦点的双曲线，方程为x216－y29＝1.A项，直线x＋y＝5过点(5，0)，满足题意，为“好曲线”；B项，x2＋y2＝9的圆心为(0，0)，半径为3，与M的轨迹没有交点，不满足题意；C项，x225＋y29＝1的右顶点为(5，0)，满足题意，为“好曲线”；D项，方程代入x216－y29＝1，可得y－y29＝1，即y2－9y＋9＝0，所以Δ＞0，满足题意，为“好曲线”．12．已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，点M在AB上，且AM＝13，点P在平面ABCD内，且动点P到直线A1D1的距离与动点P到点M的距离的平方差为1，则动点P的轨迹是()高中数学资料共享群：284110736，每天都有更新，无限下载数学教学资料关注公众号“品数学”，专供学习干货的公众号。A．直线B．圆C．双曲线D．抛物线解析：选D.在平面ABCD内过点P作PF⊥AD，垂足为F，过点F在平面AA1D1D内作FE⊥A1D1，垂足为E，连接PE，则有PE⊥A1D1，即PE为点P到A1D1的距离．由题意知|PE|2－|PM|2＝1，又因为|PE|2＝|PF|2＋|EF|2，所以|PF|2＋|EF|2－|PM|2＝1，即|PF|2＝|PM|2，即|PF|＝|PM|，所以点P满足到点M的距离等于点P到直线AD的距离．由抛物线的定义知点P的轨迹是以点M为焦点，AD为准线的抛物线，所以点P的轨迹为抛物线．13．已知圆O的方程为x2＋y2＝9，若抛物线C过点A(－1，0)，B(1，0)，且以圆O的切线为准线，则抛物线C的焦点F的轨迹方程为()A.x29－y28＝1(x≠0)B．x29＋y28＝1(x≠0)C.x29－y28＝1(y≠0)D．x29＋y28＝1(y≠0)解析：选D.设抛物线C的焦点为F(x，y)，准线为l，过点A，B，O分别作AA′⊥l，BB′⊥l，OP⊥l，其中A′，B′，P分别为垂足，则l为圆的切线，P为切点，且|AA′|＋|BB′|＝2|OP|＝6.因为抛物线过点A，B，所以|AA′|＝|FA|，|FB|＝|BB′|，高中数学资料共享群：284110736，每天都有更新，无限下载数学教学资料关注公众号“品数学”，专供学习干货的公众号。所以|FA|＋|FB|＝|AA′|＋|BB′|＝6＞|AB|＝2，所以点F的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，且点F不在x轴上，所以抛物线C的焦点F的轨迹方程为x29＋y28＝1(y≠0)．14．如图，已知△ABC的两顶点坐标A(－1，0)，B(1，0)，圆E是△ABC的内切圆，在边AC，BC，AB上的切点分别为P，Q，R，|CP|＝1(从圆外一点到圆的两条切线段长相等)，动点C的轨迹为曲线M.则曲线M的方程为________．解析：由题知|CA|＋|CB|＝|CP|＋|CQ|＋|AP|＋|BQ|＝2|CP|＋|AB|＝4＞|AB|，所以曲线M是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆(挖去与x轴的交点)．设曲线M的方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0，y≠0)，则a2＝4，b2＝a2－|AB|22＝3，所以曲线M：x24＋y23＝1(y≠0)为所求．答案：x24＋y23＝1(y≠0)高中数学资料共享群：284110736，每天都有更新，无限下载数学教学资料关注公众号“品数学”，专供学习干货的公众号。15．(2018·安徽合肥检测)已知M为椭圆C：x225＋y29＝1上的动点，过点M作x轴的垂线，垂足为D，点P满足PD→＝53MD→.(1)求动点P的轨迹E的方程；(2)若A，B两点分别为椭圆C的左、右顶点，F为椭圆C的左焦点，直线PB与椭圆C交于点Q，直线QF，PA的斜率分别为kQF，kPA，求kQFkPA的取值范围．解：(1)设P(x，y)，M(m，n)，依题意知D(m，0)，且y≠0.由PD→＝53MD→，得(m－x，－y)＝53(0，－n)，则有m－x＝0，－y＝－53n⇒m＝x，n＝35y.又M(m，n)为椭圆C：x225＋y29＝1上的点，∴x225＋35y29＝1，即x2＋y2＝25，故动点P的轨迹E的方程为x2＋y2＝25(y≠0