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第1页圆有关的轨迹问题一、选择题1.已知圆x2+y2=4，过A（4，0）作圆的割线ABC，则弦BC中点的轨迹方程是（）A.（x-2）2+y2=4B.（x-2）2+y2=4（0≤x＜1）C.（x-1）2+y2=4D.（x-1）2+y2=4（0≤x＜1）2.已知M是圆C：x2+y2=1上的动点，点N（2，0），则MN的中点P的轨迹方程是（）A.（x-1）2+y2=B.（x-1）2+y2=C.（x+1）2+y2=D.（x+1）2+y2=3.已知两定点A（-2，0），B（1，0），若动点P满足|PA|=2|PB|，则P的轨迹为（）A.直线B.线段C.圆D.半圆4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M、N分别是直线CD、AB上的动点，点P是△A1C1D内的动点（不包括边界），记直线D1P与MN所成角为θ，若θ的最小值为，则点P的轨迹是（）A.圆的一部分B.椭圆的一部分C.抛物线的一部分D.双曲线的一部分5.已知两定点A（-3，0），B（3，0），如果动点P满足|PA|=2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于（）A.πB.4πC.9πD.16π6.复数z满足条件：|2z+1|=|z-i|，那么z对应的点的轨迹是（）A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线二、填空题7.在平面直角坐标系xoy中，A，B是圆x2+y2=4上的两个动点，且AB=2，则线段AB中点M的轨迹方程为______．8.自圆x2+y2=4上点A（2，0）引此圆的弦AB，则弦的中点的轨迹方程为______．9.已知动圆M与圆C1：（x+1）2+y2=1，圆C2：（x-1）2+y2=25均内切，则动圆圆心M的轨迹方程是______．10.已知圆x2+y2=4，B（1，1）为圆内一点，P，Q为圆上动点，若∠PBQ=90°，则线段PQ中点的轨迹方程为______．11.在直角坐标系xOy中，已知A（-1，0），B（0，1），则满足PA2-PB2=4且在圆x2+y2=4上的点P的个数为______．12.点A（0，2）是圆O：x2+y2=16内定点，B，C是这个圆上的两动点，若BA⊥CA，求BC中点M的轨迹方程为______．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）13.已知点P（2，2），圆C：x2+y2-8y=0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．（1）求M的轨迹方程；（2）当|OP|=|OM|时，求l的方程及△POM的面积．14.已知圆C：（x+1）2+y2=8，点A（1，0），P是圆C上任意一点，线段AP的垂直平分线交CP于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹为曲线E．（1）求曲线E的方程；（2）若直线l：y=kx+m与曲线E相交于M，N两点，O为坐标原点，求△MON面积的最大值．15.已知动圆C过定点F2（1，0），并且内切于定圆F1：（x+1）2+y2=16．（1）求动圆圆心C的轨迹方程；（2）若y2=4x上存在两个点M，N，（1）中曲线上有两个点P，Q，并且M，N，F2三点共线，P，Q，F2三点共线，PQ⊥MN，求四边形PMQN的面积的最小值．16.已知圆N经过点A（3，1），B（-1，3），且它的圆心在直线3x-y-2=0上．（Ⅰ）求圆N的方程；（Ⅱ）求圆N关于直线x-y+3=0对称的圆的方程．（Ⅲ）若点D为圆N上任意一点，且点C（3，0），求线段CD的中点M的轨迹方程．17.已知圆O：x2+y2=4及一点P（-1，0），Q在圆O上运动一周，PQ的中点M形成轨迹C．第3页（1）求轨迹C的方程；（2）若直线PQ的斜率为1，该直线与轨迹C交于异于M的一点N，求△CMN的面积．答案和解析【答案】1.B2.A3.C4.B5.D6.A7.x2+y2=38.（x-1）2+y2=1，（x≠2）9.．10.x2+y2-x-y-1=011.212.x2+y2-2y-6=013.解：（1）由圆C：x2+y2-8y=0，得x2+（y-4）2=16，∴圆C的圆心坐标为（0，4），半径为4．设M（x，y），则，．由题意可得：．即x（2-x）+（y-4）（2-y）=0．整理得：（x-1）2+（y-3）2=2．∴M的轨迹方程是（x-1）2+（y-3）2=2．（2）由（1）知M的轨迹是以点N（1，3）为圆心，为半径的圆，由于|OP|=|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ON⊥PM．∵kON=3，∴直线l的斜率为-．∴直线PM的方程为，即x+3y-8=0．则O到直线l的距离为．又N到l的距离为，∴|PM|==．∴．14.解：（Ⅰ）∵点Q在线段AP的垂直平分线上，∴|AQ|=|PQ|．又|CP|=|CQ|+|QP|=2，∴|CQ|+|QA|=2＞|CA|=2．∴曲线E是以坐标原点为中心，C（-1，0）和A（1，0）为焦点，长轴长为2的椭圆．设曲线E的方程为=1，（a＞b＞0）．∵c=1，a=，∴b2=2-1=1．∴曲线E的方程为．（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2）．联立消去y，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-2=0．此时有△=16k2-8m2+8＞0．由一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=，x1x2=，．∴|MN|==∵原点O到直线l的距离d=-，∴S△MON==．，由△＞0，得2k2-m2+1＞0．又m≠0，∴据基本不等式，得S△MON=．≤=，当且仅当m2=时，不等式取等号．∴△MON面积的最大值为．15.解：（1）设动圆的半径为r，则|CF2|=r，|CF1|=4-r，所以|CF1|+|CF2|=4＞|F1F2|，由椭圆的定义知动圆圆心C的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，a=2，c=1，所以，动圆圆心C的轨迹方程是．（2）当直线MN斜率不存在时，直线PQ的斜率为0，易得|MN|=4，|PQ|=4，四边形PMQN的面积S=8．当直线MN斜率存在时，设其方程为y=k（x-1）（k≠0），联立方程得，消元得k2x2-（2k2+4）x+k2=0设M（x1，y1），N（x2，y2），则∵PQ⊥MN，∴直线PQ的方程为，，得（3k2+4）x2-8x+4-12k2=0设P（x3，y3），Q（x4，y4），则四边形PMQN的面积，第5页令k2+1=t，t＞1，上式，令2t+1=z，（z＞3），（z＞3），∴，∴S＞8（1+0）=8，综上可得S≥8，最小值为8．16.解：（Ⅰ）由已知可设圆心N（a，3a-2），又由已知得|NA|=|NB|，从而有，解得：a=2．于是圆N的圆心N（2，4），半径．所以，圆N的方程为（x-2）2+（y-4）2=10．（Ⅱ）N（2，4）关于x-y+3=0的对称点为（1，5），所以圆N关于直线x-y+3=0对称的圆的方程为（x-1）2+（y-5）2=10（Ⅲ）设M（x，y），D（x1，y1），则由C（3，0）及M为线段CD的中点得：，解得：．又点D在圆N：（x-2）2+（y-4）2=10上，所以有（2x-3-2）2+（2y-4）2=10，化简得：．故所求的轨迹方程为．17.解：（1）设M（x，y），则Q（2x+1，2y），∵Q在圆x2+y2=4上，∴（2x+1）2+4y2=4，即（x+）2+y2=1．∴轨迹C的方程是（x+）2+y2=1．（2）直线PQ方程为：y=x+1，圆心C到直线PQ的距离为d==，∴|MN|=2=，∴△CMN的面积为==．【解析】1.解：设弦BC中点（x，y），过A的直线的斜率为k，割线ABC的方程：y=k（x-4）；作圆的割线ABC，所以中点与圆心连线与割线ABC垂直，方程为：x+ky=0；因为交点就是弦的中点，它在这两条直线上，故弦BC中点的轨迹方程是：x2+y2-4x=0如图故选B．结合图形，不难直接得到结果；也可以具体求解，使用交点轨迹法，见解答．本题考查形式数形结合的数学思想，轨迹方程，直线与圆的方程的应用，易错题，中档题．2.解：设线段MN中点P（x，y），则M（2x-2，2y）．∵M在圆C：x2+y2=1上运动，∴（2x-2）2+（2y）2=1，即（x-1）2+y2=．故选A．设出线段MN中点的坐标，利用中点坐标公式求出M的坐标，根据M在圆上，得到轨迹方程．本题考查中点的坐标公式、求轨迹方程的方法，考查学生的计算能力，属于基础题．3.解：设P点的坐标为（x，y），∵A（-2，0）、B（1，0），动点P满足|PA|=2|PB|，∴，平方得（x+2）2+y2=4[（x-1）2+y2]，即（x-2）2+y2=4．∴P的轨迹为圆．故选：C．设P点的坐标为（x，y），利用两点间的距离公式表示出|PA|、|PB|，代入等式|PA|=2|PB|，化简整理得答案．本题考查动点的轨迹的求法，着重考查了两点间的距离公式、圆的标准方程，属于中档题．4.解：把MN平移到面A1B1C1D1中，直线D1P与MN所成角为θ，直线D1P与MN所成角的最小值，是直线D1P与面A1B1C1D1所成角，即原问题转化为：直线D1P与面A1B1C1D1所成角为，点P在面A1B1C1D1的投影为圆的一部分，∵点P是△A1C1D内的动点（不包括边界）∴则点P的轨迹是椭圆的一部分．故选：B．把MN平移到面A1B1C1D1中，直线D1P与MN所成角为θ，直线D1P与MN所成角的最小值，是直线D1P与面A1B1C1D1所成角，即原问题转化为：直线D1P与面A1B1C1D1所成角为，求点P的轨迹．点P在面A1B1C1D1的投影为圆的一部分，则点P的轨迹是椭圆的一部分．本题考查了空间轨迹问题，考查了转化思想，属于中档题．5.解：设P（x，y），则|PA|=，|PB|=，∵|PA|=2|PB|，∴（x+3）2+y2=4[（x-3）2+y2]，即x2+y2-10x+9=0，化为标准式方程得（x-5）2+y2=16．即P的轨迹所包围的图形为半径为4的圆，该圆的面积S=π×42=16π．故选：D．设出P点坐标，根据|PA|=2|PB|列出方程整理出P的轨迹方程，判断图形计算面积．本题考查了轨迹方程的求法，属于基础题．6.解：设复数z=x+yi，x，y∈R，∵|2z+1|=|z-i|，第7页∴|2z+1|2=|z-i|2，∴（2x+1）2+4y2=x2+（y-1）2，化简可得3x2+3y2+4x+2y=0，满足42+22-4×3×0=20＞0，表示圆，故选：A设复数z=x+yi，x，y∈R，由模长公式化简可得．本题考查复数的模，涉及轨迹方程的求解和圆的方程，属基础题．7.解：由题意，OM⊥AB，OM==，∴线段AB中点M的轨迹方程为x2+y2=3，故答案为x2+y2=3．由题意，OM⊥AB，OM==，即可求出线段AB中点M的轨迹方程．本题考查轨迹方程，考查垂径定理的运用，比较基础．8.解：设AB中点为M（x，y），由中点坐标公式可知，B点坐标为（2x-2，2y）．∵B点在圆x2+y2=4上，∴（2x-2）2+（2y）2=4．故线段AB中点的轨迹方程为（x-1）2+y2=1．不包括A点，则弦的中点的轨迹方程为（x-1）2+y2=1，（x≠2）故答案为：（x-1）2+y2=1，（x≠2）．设出AB的中点坐标，利用中点坐标公式求出B的坐标，据B在圆上，将P坐标代入圆方程，求出中点的轨迹方程．本题主要考查轨迹方程的求解，应注意利用圆的特殊性，同时注意所求轨迹的纯粹性，避免增解．9.解：设动圆的圆心为：M（x，y），半径为R，动圆与圆M1：（x+1）2+y2=1内切，与圆M2：（x-1）2+y2=25内切，∴|MM1|+|MM2|=R-1+5-R=6，∵|MM1|+|MM2|＞|M1M2|，因此该动圆是以原点为中心，焦点在x轴上的椭圆，2a=4，c=1解得a=2，根据a、b、c的关系求得b2=3，∴椭圆的方程为：．故答案为：．首先根据圆与圆的位置关系确定出该动圆是椭圆，然后根据相关的两求出椭圆的方程．本题考查的知识点：椭圆的定义，椭圆的方程及圆与圆的位置关系，相关的运算问题．10.解：设PQ的中点为N（x，y），在Rt△PBQ中，|PN|=|BN|，设O为坐标原点，则ON⊥PQ，所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=