第二章-矩阵及其运算总结

§1矩阵及其运算一、矩阵的基本概念（必考）矩阵，是由m*n个数组成的一个m行n列的矩形表格，通常用大写字母表示，组成矩阵的每一个数，均称为矩阵的元素，通常用小写字母其元素表示，其中下标都是正整数，他们表示该元素在矩阵中的位置.比如,或表示一个m*n矩阵，下标ij表示元素位于该矩阵的第行、第列.元素全为零的矩阵称为零矩阵.特别地，一个m*1矩阵，也称为一个m维列向量；而一个1*n矩阵B=(b1,b2,…，bn)，也称为一个n维行向量.当一个矩阵的行数m与烈数n相等时，该矩阵称为一个n阶方阵.若一个n阶方阵的主对角线上的元素都是，而其余元素都是零，则称为单位矩阵，记为，即：.单位矩阵与实数中的‘1’的运算相近.如一个阶方阵的主对角线上（下）方的元素都是零，则称为下（上）三角矩阵是一个阶下三角矩阵.例题：1.A既是上三角矩阵，又是下三角矩阵，则A必是对角矩阵2.两矩阵既可相加又可相乘的充要条件是两矩阵为同阶方阵.3.A=(l≠n)，则A的主对角线上个元素的和为(设矩阵为2行3列的矩阵，找规律)二、矩阵的运算1、矩阵的加法：如果是两个同型矩阵（即它们具有相同的行数和列数，比如说），则定义它们的和仍为与它们同型的矩阵（即），的元素为和对应元素的和，即：.给定矩阵，我们定义其负矩阵为：.这样我们可以定义同型矩阵的减法为：.由于矩阵的加法运算归结为其元素的加法运算，容易验证，矩阵的加法满足下列运算律：(1)交换律：；(2)结合律：；(3)存在零元：;(4)存在负元：.2、数与矩阵的乘法的运算律：（1)；（2)；（3)；（4).3、矩阵的乘法（必考）设为距阵，为距阵，则矩阵可以左乘矩阵（注意：距阵的列数等与矩阵的行数），所得的积为一个距阵，即,其中,并且(即左行乘右列)矩阵的乘法满足下列运算律（假定下面的运算均有意义）：(1）结合律：；(2）左分配律：；(3）右分配律：；(4）数与矩阵乘法的结合律：；(5）单位矩阵的存在性：.若为阶方阵，则对任意正整数，我们定义：，并规定：由于矩阵乘法满足结合律，我们有：，.注意：矩阵的乘法与通常数的乘法有很大区别，特别应该注意的是：（必考重要）（1)矩阵乘法不满足交换律：一般来讲即便有意义，也未必有意义；倘使都有意义，二者也未必相等.正是由于这个原因，一般来讲,在实数中的某些运算不再适应，如,，反过来，这些公式成立的条件又恰是A、B可逆.例：A,B,C是同阶矩阵，A≠0,若AB=BC,必有B=C,则A满足可逆（2)两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵，即未必能推出或者.同理，A≠0，B≠0，而AB却肯能等于0.例题：（选择题5、6）（3)矩阵的乘法不满足消去律：如果并且，未必有.4、矩阵的转置：定义：设为矩阵，我们定义的转置为一个矩阵，并用表示的转置，即：.矩阵的转置运算满足下列运算律：（1)；（2)；（3)；（4)(重要).5、对称矩阵：n阶方阵若满足条件：，则称为对称矩阵；若满足条件：，则称为反对称矩阵.若设，则为对称矩阵，当且仅当对任意的成立；为反对称矩阵，当且仅当对任意的成立.从而反对称矩阵对角线上的元素必为零.对称矩阵具有如下性质：（1)对于任意矩阵，为阶对称矩阵；而为阶对称矩阵；（2)两个同阶（反）对称矩阵的和，仍为（反）对称矩阵；（3)如果两个同阶（反）对称矩阵可交换，即，则它们的乘积必为对称矩阵，即.运算性质：1）（2）（3）（4）（5）三、逆矩阵1.定义对于n阶矩阵A，如果存在n阶矩阵B，使得EBAAB．则A称为可逆矩阵或非奇异矩阵．B称为A的逆矩阵，．由定义可得，A与B一定是同阶的，而且A如果可逆，则A的逆矩阵是唯一的．这是因为（反证法），如果1B、2B都是A的逆矩阵，则有EABAB11，EABAB22，那么22212111)()(BEBBABABBEBB所以逆矩阵是唯一的．我们把矩阵A的逆矩阵记作1A．逆矩阵有下列性质：（1）如果A可逆，则1A也可逆，且AA11)(．由可逆的定义，显然有A与1A是互逆的．（2）如果A、B是两个同阶可逆矩阵，则)(AB也可逆，且111)(ABAB．（必考重点）这是因为EAAAEAABBAABAB111111)())((EBBEBBBAABABAB111111)())((，所以111)(ABAB．（必考重点）这个结论也可以推广到有限个可逆矩阵想乘的情形.（3）可逆矩阵A的转置矩阵TA也是可逆矩阵，且TTAA)()(11．这是因为EEAAAATTTT)()(11，EEAAAATTTT)()(11所以TTAA)()(11．（4）如果A是可逆矩阵，则有11AA．这是因为EAA1，两边取行列式有11AA，所以111AAA．矩阵可逆的条件（1）n阶方阵A可逆的充分必要条件是|A|≠0（也即r（A）=n）；（2）n阶方阵A可逆的充分必要条件是A可以通过初等变换（特别是只通过初等行（列）变换）化为n阶单位矩阵；（3）n阶方阵A可逆的充分必要条件是A可以写成一些初等矩阵的乘积；（4）n阶方阵A可逆的充分必要条件是A的n个特征值不为零；（5）对于n阶方阵A，若存在n阶方阵B使得AB=E（或BA=E），则A可逆，且A-1=B.逆矩阵的有关结论及运算必考——求法方法1定义法：设A是数域P上的一个n阶方阵，如果存在P上的n阶方阵B，使得AB=BA=E，则称A是可逆的，又称B为A的逆矩阵.当矩阵A可逆时，逆矩阵由A惟一确定，记为A-1.例1：设A为n阶矩阵，且满足22A-3A+5E=0，求A-1.【解】222-12A-3A+5E=02A-3A=-5E23-A-A=E552323A(-A-E)=-A-E=E555523AA=-A-E55可逆且方法2伴随矩阵法：A-1=1|A|A*.定理n阶矩阵A=aij为可逆的充分必要条件是A非奇异.且11211122221121nnnnnnAAAAAAAAAAA其中Aij是|A|中元素aij的代数余子式.矩阵112111222212nnnnnnAAAAAAAAA称为矩阵A的伴随矩阵，记作A*，于是有A-1=1|A|A*.注①对于阶数较低（一般不超过3阶）或元素的代数余子式易于计算的矩阵可用此法求其逆矩阵.注意A*=（Aji）n×n元素的位置及符号.特别对于2阶方阵11122122aaAaa，其伴随矩阵22122111*aaAaa,即伴随矩阵具有“主对角元素互换，次对角元素变号”的规律.②对于分块矩阵ABCD不能按上述规律求伴随矩阵.例2：已知101A=210325，求A-1.【解】∵|A|=2≠0∴A可逆.由已知得111213212223313233A=-5,A=10,A=7A=2,A=-2,A=-2A=-1,A=2,A=1，A-1=1|A|A*=5115212211022511272171122方法3初等变换法：注①对于阶数较高（n≥3）的矩阵，采用初等行变换法求逆矩阵一般比用伴随矩阵法简便.在用上述方法求逆矩阵时，只允许施行初等行变换.②也可以利用1EAEA初等列变换求得A的逆矩阵.③当矩阵A可逆时，可利用求解求得A-1B和CA-1.这一方法的优点是不需求出A的逆矩阵和进行矩阵乘法，仅通过初等变换即求出了A-1B或CA-1.例3：:用初等行变换求矩阵231A013125的逆矩阵.【解】231100125001125001AE0130100130100130101250012311000061121250011250010130100130100191021110016631134100663130101221110016631113410066313A010122111001663故方法4用分块矩阵求逆矩阵：设A、B分别为P、Q阶可逆矩阵，则：1111111111111111AA000B0COAAACBAOAOBDBOBBDABBOAOBBOAO例4：已知0052002112001100A，求A-1.【解】将A分块如下：120052002112001100OAAAO其中125212,2111AA可求得1*1*1122121212111,2511||||3AAAAAA从而1121112003311003312002500OAAAO方法5恒等变形法求逆矩阵：有些计算命题表面上与求逆矩阵无关,但实质上只有求出矩阵的逆矩阵才能算出来,而求逆矩阵须对所给的矩阵等式恒等变形,且常变形为两矩阵的乘积等于单位矩阵的等式.例8已知，且，试求．解由题设条件得3.伴随矩阵如果n阶矩阵A的行列式0A,则称A是非奇异的(或非退化的).否则,称A是奇异的(或退化的).（n阶矩阵A可逆的充要条件是:|A|≠0）设nnijaA)(,ijA是A中元素)21(njiaij，，，，的代数余子式.矩阵nnnnnnAAAAAAAAAA212221212111*（顺序变化，重点）称为A的伴随矩阵.矩阵nnijaA)(为可逆矩阵的充分必要条件是A为非奇异矩阵,并且当A可逆时,有*11AAA，伴随矩阵例1.已知矩阵313132121A判断A是否可逆,如果可逆,求1A.解:因为01313132121A,所以A可逆.又.13221)1(11211)1(;11312)1(71321)1(;63311)1(53112)1(;11332)1(93312)1(;83113)1(333323321331322322221221311321121111AAAAAAAAA所以1711691581*1AAA四、分块矩阵一、分块矩阵的概念对于行数和列数较高的矩阵,为了简化运算，经常采用分块法，使大矩阵的运算化成若干小矩阵间的运算，同时也使原矩阵的结构显得简单而清晰.具体做法是：将大矩阵用若干条纵线和横线分成多个小矩阵.每个小矩阵称为A的子块,以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.矩阵的分块有多种方式，可根据具体需要而定注：一个矩阵也可看作以nm个元素为1阶子块的分块矩阵.二、分块矩阵的运算分块矩阵的运算与普通矩阵的运算规则相似.分块时要注意，运算的两矩阵按块能运算，并且参与运算的子块也能运算，即，内外都能运算.1.设矩阵A与B的行数相同、列数相同，采用相同的分块法,若,,11111111ststststBBBBBAAAAA其中ijA与ijB的行数相同、列数相同,则.11111111ststssttBABABABABA2.设,1111ststAAAAAk为数,则.1111ststkAkAkAkAkA3．设A为lm矩阵,B为nl矩阵,