排列组合典型例题

1/9jiangshan整理典型例题一例1用0到9这10个数字．可组成多少个没有重复数字的四位偶数？解法1：当个位数上排“0”时，千位，百位，十位上可以从余下的九个数字中任选3个来排列，故有39A个；当个位上在“2、4、6、8”中任选一个来排，则千位上从余下的八个非零数字中任选一个，百位，十位上再从余下的八个数字中任选两个来排，按乘法原理有281814AAA（个）．∴没有重复数字的四位偶数有2296179250428181439AAAA个．典型例题二例2三个女生和五个男生排成一排（1）如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？（2）如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？（3）如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？（4）如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？解：（1）（捆绑法）因为三个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体，这样同五个男生合一起共有六个元素，然成一排有66A种不同排法．对于其中的每一种排法，三个女生之间又都有33A对种不同的排法，因此共有43203366AA种不同的排法．（2）（插空法）要保证女生全分开，可先把五个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空档．这样共有4个空档，加上两边两个男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把三个女生插入这六个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻．由于五个男生排成一排有55A种不同排法，对于其中任意一种排法，从上述六个位置中选出三个来让三个女生插入都有36A种方法，因此共有144003655AA种不同的排法．（3）解法1：（位置分析法）因为两端不能排女生，所以两端只能挑选5个男生中的2个，有25A种不同的排法，对于其中的任意一种排法，其余六位都有66A种排法，所以共有144006625AA种不同的排法．（4）解法1：因为只要求两端不都排女生，所以如果首位排了男生，则未位就不再受条件限制了，这样可有7715AA种不同的排法；如果首位排女生，有13A种排法，这时末位就只能排男生，有15A种排法，首末两端任意排定一种情况后，其余6位都有66A种不同的排法，这样可有661513AAA种不同排法．因此共有360006615137715AAAAA种不同的排法．解法2：3个女生和5个男生排成一排有88A种排法，从中扣去两端都是女生排法6623AA2/9jiangshan整理种，就能得到两端不都是女生的排法种数．因此共有36000662388AAA种不同的排法．典型例题三例3排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单。（1）任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？（2）歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？解：（1）先排歌唱节目有55A种，歌唱节目之间以及两端共有6个位子，从中选4个放入舞蹈节目，共有46A中方法，所以任两个舞蹈节目不相邻排法有：55A46A＝43200.（2）先排舞蹈节目有44A中方法，在舞蹈节目之间以及两端共有5个空位，恰好供5个歌唱节目放入。所以歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的排法有：44A55A＝2880种方法。典型例题四例4某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种不同的排课程表的方法．分析与解法1：6六门课总的排法是66A，其中不符合要求的可分为：体育排在第一书有55A种排法，如图中Ⅰ；数学排在最后一节有55A种排法，如图中Ⅱ；但这两种排法，都包括体育排在第一书数学排在最后一节，如图中Ⅲ，这种情况有44A种排法，因此符合条件的排法应是：5042445566AAA（种）．典型例题五例5现有3辆公交车、3位司机和3位售票员，每辆车上需配1位司机和1位售票员．问车辆、司机、售票员搭配方案一共有多少种？分析：可以把3辆车看成排了顺序的三个空：，然后把3名司机和3名售票员分别填入．因此可认为事件分两步完成，每一步都是一个排列问题．解：分两步完成．第一步，把3名司机安排到3辆车中，有633A种安排方法；第二步把3名售票员安排到3辆车中，有633A种安排方法．故搭配方案共有363333AA种．典型例题六3/9jiangshan整理例6下是表是高考第一批录取的一份志愿表．如果有4所重点院校，每所院校有3个专业是你较为满意的选择．若表格填满且规定学校没有重复，同一学校的专业也没有重复的话，你将有多少种不同的填表方法？学校专业112212312解：填表过程可分两步．第一步，确定填报学校及其顺序，则在4所学校中选出3所并加排列，共有34A种不同的排法；第二步，从每所院校的3个专业中选出2个专业并确定其顺序，其中又包含三小步，因此总的排列数有232323AAA种．综合以上两步，由分步计数原理得不同的填表方法有：518423232334AAAA种．典型例题七例57名同学排队照相．(1)若分成两排照，前排3人，后排4人，有多少种不同的排法？(2)若排成两排照，前排3人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种不同的排法？(3)若排成一排照，甲、乙、丙三人必须相邻，有多少种不同的排法？(4)若排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，女生不能相邻，有多少种不面的排法？解：(1)5040774437AAA种．(2)第一步安排甲，有13A种排法；第二步安排乙，有14A种排法；第三步余下的5人排在剩下的5个位置上，有55A种排法，由分步计数原理得，符合要求的排法共有1440551413AAA种．(3)第一步，将甲、乙、丙视为一个元素，有其余4个元素排成一排，即看成5个元素的全排列问题，有55A种排法；第二步，甲、乙、丙三人内部全排列，有33A种排法．由分步计数原理得，共有7203355AA种排法．(4)第一步，4名男生全排列，有44A种排法；第二步，女生插空，即将3名女生插入4名男生之间的5个空位，这样可保证女生不相邻，易知有35A种插入方法．由分步计数原理得，符合条件的排法共有：14403544AA种．4/9jiangshan整理典型例题八例8从65432、、、、五个数字中每次取出三个不同的数字组成三位数，求所有三位数的和．解：形如的数共有24A个，当这些数相加时，由“2”产生的和是224A；形如的数也有24A个，当这些数相加时，由“2”产生的和是10224A；形如的数也有24A个，当这些数相加时，由“2”产生的和应是100224A．这样在所有三位数的和中，由“2”产生的和是111224A．同理由6543、、、产生的和分别是111324A，111424A，111524A，111624A，因此所有三位数的和是26640)65432(11124A．典型例题九例9计算下列各题：(1)215A；(2)66A；(3)1111nnmnmnmnAAA；(4)!!33!22!1nn(5)!1!43!32!21nn解：(1)2101415215A；(2)720123456!666A;(3)原式!)1(1!)(]!)1(1[!)1(nmnmnn1!)1(1!)(!)(!)1(nmnmnn；(4)原式]!!)1[()!3!4()!2!3()1!2(nn1!)1(n；(5)∵!1!)1(1!1nnnn，∴!1!43!32!21nn!11!1!)1(1!41!31!31!21!21!11nnn．本题计算中灵活地用到下列各式：!)1(!nnn；!!)1(!nnnn；!1!)1(1!1nnnn；使问题解得简单、快捷．5/9jiangshan整理典型例题十例10fedcba,,,,,六人排一列纵队，限定a要排在b的前面（a与b可以相邻，也可以不相邻），求共有几种排法．对这个题目，A、B、C、D四位同学各自给出了一种算式：A的算式是6621A；B的算式是441514131211)(AAAAAA；C的算式是46A；D的算式是4426AC．上面四个算式是否正确，正确的加以解释，不正确的说明理由．解：A中很显然，“a在b前的六人纵队”的排队数目与“b在a前的六人纵队”排队数目相等，而“六人纵队”的排法数目应是这二者数目之和．这表明：A的算式正确．B中把六人排队这件事划分为a占位，b占位，其他四人占位这样三个阶段，然后用乘法求出总数，注意到a占位的状况决定了b占位的方法数，第一阶段，当a占据第一个位置时，b占位方法数是15A；当a占据第2个位置时，b占位的方法数是14A；……；当a占据第5个位置时，b占位的方法数是11A，当a，b占位后，再排其他四人，他们有44A种排法，可见B的算式是正确的．C中46A可理解为从6个位置中选4个位置让fedc,,,占据，这时，剩下的两个位置依前后顺序应是ba,的．因此C的算式也正确．D中把6个位置先圈定两个位置的方法数26C，这两个位置让ba,占据，显然，ba,占据这两个圈定的位置的方法只有一种（a要在b的前面），这时，再排其余四人，又有44A种排法，可见D的算式是对的．说明：下一节组合学完后，可回过头来学习D的解法．典型例题十一例11八个人分两排坐，每排四人，限定甲必须坐在前排，乙、丙必须坐在同一排，共有多少种安排办法？解法1：可分为“乙、丙坐在前排，甲坐在前排的八人坐法”和“乙、丙在后排，甲坐在前排的八人坐法”两类情况．应当使用加法原理，在每类情况下，划分“乙丙坐下”、“甲坐下”；“其他五人坐下”三个步骤，又要用到分步计数原理，这样可有如下算法：6408551424551224AAAAAA(种)．解法2：采取“总方法数减去不命题意的所有方法数”的算法．把“甲坐在第一排的八人坐法数”看成“总方法数”，这个数目是7714AA．在这种前提下，不合题意的方法是“甲坐第一排，且乙、丙坐两排的八人坐法．”这个数目是5514131214AAACA．其中第一个因数6/9jiangshan整理14A表示甲坐在第一排的方法数，12C表示从乙、丙中任选出一人的办法数，13A表示把选出的这个人安排在第一排的方法数，下一个14A则表示乙、丙中沿未安排的那个人坐在第二排的方法数，55A就是其他五人的坐法数，于是总的方法数为640855141312147714AAACAAA(种)．说明：解法2可在学完组合后回过头来学习．典型例题十二例12计划在某画廊展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且不彩画不放在两端，那么不同陈列方式有（）．A．5544AAB．554433AAAC．554413AACD．554422AAA解：将同一品种的画“捆”在一起，注意到水彩画不放在两端，共有22A种排列．但4幅油画、5幅国画本身还有排列顺序要求．所以共有554422AAA种陈列方式．∴应选D．说明：关于“若干个元素相邻”的排列问题，一般使用“捆绑”法，也就是将相邻的若干个元素“捆绑”在一起，看作一个大元素，与其他的元素进行全排列；然后，再“松绑”，将被“捆绑”的若干元素，内部进行全排列．本例题就是一个典型的用“捆绑”法来解答的问题．典型例题十三例13由数字5,4,3,2,1,0组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数的个数共有（）．A．210B．300C．464D．600解法1：（直接法）：分别用5,4,3,2,1作十万位的排列数，共有555A种，所以其中个位数字小于十位数字的这样的六位数有30052155A个．解法2：（间接法）：取5,,1,0个数字排列有66A，而0作为十万位的排列有55A，所以其中个位数字小于十位数字的这样的六位数有300)(215566AA(个)．∴应选B．说明：(1)直接法、间接法是解决有关排列