46空间向量及其运算ppt

空间向量及其运算定义表示法向量向量的模零向量单位向量相等向量相反向量平行向量(共线向量)0记作||,||aABa,AB具有大小和方向的量向量的大小长度为零的向量模为1的向量长度相等且方向相反的向量长度相等且方向相同的向量方向相同或相反的非零向量常用e表示ab记作ab记作ab记作∥与任一向量共线.01.空间向量的有关概念及表示法要点梳理平面向量空间向量概念加法减法数乘运算运算律具有大小和方向的量减法:三角形法则加法:三角形法则或平行四边形法则数乘:ka,k为正数,负数,零加法交换律加法结合律数乘分配律abba()()abcabc()kabkakb加法交换律加法结合律数乘分配律abba()()abcabc()kabkakbabababababababababa(0)kak(0)kak1.空间向量的有关概念及表示法具有大小和方向的量要点梳理共线向量共面向量定义向量所在直线互相平行或重合平行于同一平面的向量,叫做共面向量.定理推论运用,,pabpxayb共面APABOPmOAnOB(0)b//R,abab(,)ab不共线A,P,B三点共线APxAByACOPOAAB(1)mnP,A,B,C四点共面OPxOAyOBzOCOPOAxAByAC(1)xyz(A,B,C三点不共线)判断三点共线,或两直线平行判断四点共面,或直线平行于平面2.空间向量的有关定理及推论要点梳理1.数量积的定义：cos||||baba2.向量的夹角定义：AOBbOBaOA则,,共起点与ba3.向量的垂直：90ab4.投影：cos||b.方向上的投影在叫做ab5.数量积的几何意义：的方向上的投影的乘积.数量积等于的长度与在||cosbaba||aba要点梳理6.数量积的运算律：(1)(2)()()()(3)()abbaababababcacbc(,)ab设是两个非零向量(1)0;abab22(2)||aaaa2||aaaa7.数量积的主要性质:(判断两个向量是否垂直)(3)cos;||||abab(4)||||||abab≤(求两个向量的夹角)(向量不等式)(求向量的长度(模)的依据)要点梳理8.向量的直角坐标运算.设,则123123(,,),(,,)aaaabbbb112233(2)(,,);abababab112233(1)(,,);abababab123(3)(,,)(R);aaaa112233(4);abababab112233(5)//,,(R);abababab112233(6)0.abababab222123(7)||;aaaaaa112233222222123123(8)cos,;||||ababababababaaabbb一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.222111(,,)(,,)xyzxyzABOBOA212121(9)(,,).ABxxyyzz(10)222212121||()()().ABxxyyzz设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则M=(x,y,z),若M是线段AB的中点，121212(11),,.222xxyyzzxyz8.向量的直角坐标运算.平面向量空间向量1122(,),(,)axybxy平面向量的坐标运算：111222(,,),(,,)axyzbxyz空间向量的坐标运算：1212111212b(,);(,),;b.axxyyaxyRaxxyy222112221211121122(,),(,)(||(,);((,2),2))AAxyBxyABxxyyCxyABxxxyyxyyyBx若则是的中点,则121211112122121(,,),b(,,);;.axyaxzRabxxyyzzxyyzz2222121111222212112121221||()()()(,,),(,,)(,);2(,)22AxyzBxyzABxxyyxxxyyCxyABABxxyyzzzyzz若则是的中点，则9.空间向量的坐标计算例1如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设AA1→＝a，AB→＝b，AD→＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：(1)AP→；(2)A1N→；(3)MP→＋NC1→.空间向量的线性运算解(1)∵P是C1D1的中点，∴AP→＝AA1→＋A1D1→＋D1P→＝a＋AD→＋12D1C1→＝a＋c＋12AB→＝a＋c＋12b.(2)∵N是BC的中点，∴A1N→＝A1A→＋AB→＋BN→＝－a＋b＋12BC→＝－a＋b＋12AD→＝－a＋b＋12c.(3)∵M是AA1的中点，∴MP→＝MA→＋AP→＝12A1A→＋AP→＝－12a＋a＋c＋12b＝12a＋12b＋c，又NC1→＝NC→＋CC1→＝12BC→＋AA1→＝12AD→＋AA1→＝12c＋a，∴MP→＋NC1→＝12a＋12b＋c＋a＋12c＝32a＋12b＋32c.在例1的条件下，若AE→＝12EC→，A1F→＝2FD→，试用a，b，c表示EF→.变式训练1解如图，连结AF，则EF→＝EA→＋AF→.由已知ABCD是平行四边形，故AC→＝AB→＋AD→＝b＋c，A1D→＝A1A→＋AD→＝－a＋c.由已知，A1F→＝2FD→，∴AF→＝AD→＋DF→＝AD→－FD→＝AD→－13A1D→＝c－13(c－a)＝13(a＋2c)，又EA→＝－13AC→＝－13(b＋c)，∴EF→＝EA→＋AF→＝－13(b＋c)＋13(a＋2c)＝13(a－b＋c)．例2已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，(1)求证：E、F、G、H四点共面；(2)求证：BD∥平面EFGH；(3)设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O，有OM→＝14(OA→＋OB→＋OC→＋OD→)．共线、共面向量定理的应用证明(1)连结BG，则EG→＝EB→＋BG→＝EB→＋12(BC→＋BD→)＝EB→＋BF→＋EH→＝EF→＋EH→，由共面向量定理的推论知：E、F、G、H四点共面．(2)因为EH→＝AH→－AE→＝12AD→－12AB→＝12(AD→－AB→)＝12BD→，所以EH∥BD.又EH⊂平面EFGH，BD⊄平面EFGH，所以BD∥平面EFGH.(3)找一点O，并连结OM，OA，OB，OC，OD，OE，OG.由(2)知EH→＝12BD→，同理FG→＝12BD→，所以EH→＝FG→，即EH//FG，所以四边形EFGH是平行四边形．所以EG，FH交于一点M且被M平分．故OM→＝12(OE→＋OG→)＝12OE→＋12OG→＝1212(OA→＋OB→)＋1212(OC→＋OD→)＝14(OA→＋OB→＋OC→＋OD→)．已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足OM→＝13(OA→＋OB→＋OC→)．(1)判断MA→、MB→、MC→三个向量是否共面；(2)判断点M是否在平面ABC内．变式训练2解(1)由已知OA→＋OB→＋OC→＝3OM→，∴OA→－OM→＝(OM→－OB→)＋(OM→－OC→)，即MA→＝BM→＋CM→＝－MB→－MC→，∴MA→，MB→，MC→共面．(2)由(1)知，MA→，MB→，MC→共面且基线过同一点M，∴四点M，A，B，C共面，从而点M在平面ABC内．例3已知空间中三点A(－2,0,2)，B(－1，1,2)，C(－3,0,4)，设a＝AB→，b＝AC→，(1)若|c|＝3，且c∥BC→，求向量c；(2)求向量a与向量b的夹角的余弦值；(3)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求实数k的值；(4)若λ(a＋b)＋μ(a－b)与z轴垂直，求λ，μ应满足的关系．空间向量性质的应用解(1)∵c∥BC→，BC→＝(－3,0,4)－(－1,1,2)＝(－2，－1,2)，∴c＝mBC→＝m(－2，－1,2)＝(－2m，－m,2m)，所以|c|＝(－2m)2＋(－m)2＋(2m)2＝3|m|＝3，∴m＝±1.∴c＝(－2，－1,2)或(2,1，－2)．(2)∵a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，∴a·b＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝－1，又|a|＝12＋12＋02＝2，|b|＝(－1)2＋02＋22＝5，∴cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝－110＝－1010，即向量a与向量b的夹角的余弦值为－1010.(3)方法一∵ka＋b＝(k－1，k,2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)，且ka＋b与ka－2b互相垂直，∴(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)＝(k－1)(k＋2)＋k2－8＝0，∴k＝2或k＝－52，∴当ka＋b与ka－2b互相垂直时，实数k的值为2或－52.方法二由(2)知|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－1，∴(ka＋b)·(ka－2b)＝k2a2－ka·b－2b2＝2k2＋k－10＝0，得k＝2或k＝－52.(4)∵a＋b＝(0,1,2)，a－b＝(2,1，－2)，∴λ(a＋b)＋μ(a－b)＝(2μ，λ＋μ，2λ－2μ)，∵λ(a＋b)＋μ(a－b)与z轴垂直，∴(2μ，λ＋μ，2λ－2μ)·(0,0,1)＝2λ－2μ＝0，即当λ，μ满足关系λ－μ＝0时，可使λ(a＋b)＋μ(a－b)与z轴垂直．已知a＝(x,4,1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，a∥b，b⊥c，求：(1)a，b，c；(2)(a＋c)与(b＋c)夹角的余弦值．变式训练3解(1)因为a∥b，所以x－2＝4y＝1－1，解得x＝2，y＝－4，这时a＝(2,4,1)，b＝(－2，－4，－1)．又因为b⊥c，所以b·c＝0，即－6＋8－z＝0，解得z＝2，于是c＝(3，－2,2)．(2)由(1)得a＋c＝(5,2,3)，b＋c＝(1，－6,1)，设(a＋c)与(b＋c)夹角为θ，因此cosθ＝5－12＋338·38＝－219.考点4用向量证明平行与垂直问题例3：如图13－6－3，已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D，E，F分别为B1A，C1C，BC的中点．求证：(1)DE∥平面ABC；(2)B1F⊥平面AEF.图13－6－3故DE∥平面ABC.证明：如图13－6－4建立空间直角坐标系A－xyz，令AB＝AA1＝4，则A(0,0,0)，E(0,4,2)，F(2,2,0)，B(4,0,0)，B1(4,0,4)．(1)取AB中点为N，则N(2,0,0)，C(0,4,0)，D(2,0,2)，∴DE＝(－2,4,0)，NC＝(－2,4,0)．∴DE＝NC，∴DE∥NC，又NC⊂平面ABC，DE⊄平面ABC，(2)1BF＝(－2,2，－4)，EF＝(2，－2，－2)，AF＝(2,2,0)．1BF·EF＝(－2)×2＋2×(－2)＋(－4)×(－2)＝0，则1BF⊥EF，∴B1F⊥EF.∵1BF·AF＝(－2)×2＋2×2＋(－4)×0＝0.∴1BF⊥AF，即B1F⊥AF，又∵AF∩FE＝F，∴B1F⊥平面AEF.