工程数学 复变函数的积分31

1第三章复变函数的积分第1节积分的概念2复变函数积分理论是复变函数的核心内容，关于复变函数的许多结论都是通过积分来讨论的，更重要的是我们要讨论解析函数积分的性质，并给出解析函数积分的基本定理与基本公式，这些性质是解析函数理论的基础，我们还将得到解析函数的导数仍然是解析函数这个重要的结论。3有向曲线在讨论复变函数积分时，将要用到有向曲线的概念，如果一条光滑或逐段光滑曲线规定了其起点和终点，则称该曲线为有向曲线，曲线的方向是这样规定的：(1)如果曲线L是开口弧段，若规定它的端点P为起点，Q为终点，则沿曲线L从P到Q的方向为曲线L的正方向（简称正向），把正向曲线记为L或L+.而由Q到P的方向称为L的负方向（简称负向），负向曲线记为.L4(2)如果是简单闭曲线，通常总规定逆时针方向为正方向，顺时针方向为负方向．LLLL(3)如果是复平面上某一个复连通域的边界曲线，则的正方向这样规定：当人沿曲线行走时，区域总保持在人的左侧，因此外部边界部分取逆时针方向，而内部边界曲线取顺时针为正方向．5复变函数的积分设在复平面C上有一条连接z0及z两点的简单曲线C。设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是在C上的连续函数。其中u(x,y)及v(x,y)是f(z)的实部及虚部.把曲线C用分点z0,z1,zn-1,…,zn=z分成n个更小的弧，在这里分点是在曲线C上按从z0到Z的次序排列的。如果是到的弧上任意一点，那么考虑和式),...,2,1,0(nkzkk1kzkz()kkfz10nk0lim都存在且唯一，则称此极限为函数Cfzdz()记作沿曲线弧C的积分.()fz60z1zkzk1kzZzn1nzC7分实部与虚部，有或者1110[(,)(,)][()()]nkkkkkkkkkuivxxiyy在这里分别表示的实部与虚部。111100111100(,)()(,)()[(,)()(,)(),nnkkkkkkkkkknnkkkkkkkkkkuxxvyyivxxuyykkkkyx、及、kkz与8按照关于实变函数的线积分的结果，当曲线C上的分点个数无穷增加，而且时，上面的四个式子分别有极限：0}1,...,2,1,0|0)()(|max{|21211nkyyxxzzkkkkkk这时，我们说原和式有极限,d),(,d),(,d),(,d),(CCCCyyxuxyxvyyxvxyxu,d),(d),(d),(d),(yyxuxyxviyyxvxyxuCC9这个极限就是函数f(z)沿曲线C的积分，.d)(Czzf因此，我们有,d),(d),(d),(d),(d)(yyxuxyxviyyxvxyxuzzfCCCCf(z)dz如果是闭曲线，记为10即我们可以把复积分的计算化为两个二元实变函数的曲线积分．为便于记忆公式，可把理解为则上式说明了两个问题：(1)当是连续函数，且L是光滑曲线时，积分一定存在；(2)可以通过两个二元实变函数的线积分来计算.()dLfzz()dfzz(i)(did)uxyv()dddi(dd)fzzuxyxuyvv()fz()dLfzz()dCfzz11如果C是简单光滑曲线：，并且，那么上式右边的积分可以写成黎曼积分的形式，因此，我们有))((),(0TtttytxZzTt及相应于及00Ttttu0d)('),(ttitivuzzfTtCd)](')(')][,(),([d)(00(,)'()Ttvttd0(,)'()Ttuttd0(,)'()Ttvttd12我们可以看到，把dz形式地换成微分，就直接得到上式，因此有0()d(())'()d(3.1)TCtfzzfztztt当是分段光滑简单曲线时，我们仍然可以得到这些结论。13复变函数的积分的性质：复变函数积分的基本性质：设f(z)及g(z)在简单曲线C上连续，则有（1）（2）是一个复常数；其中,d)(d)(CCzzfzzf;d)(d)(d)]()([CCCzzgzzfzzgzf（3）其中曲线C是由光滑的曲线连接而成；（4）nCCCCzzfzzfzzfzzfd)(...d)(d)(d)(21nCCC,...,,21,d)(d)(CCzzfzzf积分是在相反的方向上取的。14如果C是一条简单闭曲线，那么可取C上任意一点作为取积分的起点，而且积分当沿C取积分的方向改变时，所得积分相应变号。（5）如果在C上，|f(z)|M，而L是曲线C的长度，其中M及L都是有限的正数，那么有，MLzzfC|d)(|证明：因为两边取极限即可得结论。MLzzMzzfknkkknkkk|||))((|11111115复积分的计算典型实例例1计算，其中C为从原点到点3+4i的直线段．dCzz16【解】直线的方程可写成或于是又因由高等数学理论，其复积分的实部、虚部满足实积分与路径无关的条件，所以的值不论是怎样的曲线都等于，这说明有些函数的积分值与积分路径无关．3,4,01xtytt()3i4,01ztttt11222001d(34i)d(34i)d(34i)2Czzttttd(i)(did)ddiddCCCCzzxyxyxxyyyxxydCzzC21(34i)217例2计算Re()dCzz：（1）C是连接点0和1+i的直线段；（2）C是由0到1，再由1到1+i的折线段．18【解】（1）C可表示为,01ztt1i,01ztt1211001Re()dRe()dRe()dd1idi2CCCzzzzzzttt（2）C分为两段：C1:C2:所以可见，在本题中，C的起点与终点虽然相同，但路径不同，积分的值也不同．)10()1(ttiz101Re()d(1i)d(1i)2Czztt所以19例3计算0d()nLzzz，其中L是以z0为中心，r为半径的正向圆周，n为整数．20【解】根据L为正向圆周（即逆时针方向），故其参数方程可以表示为：i0,02πzzreidid,zrei2πi00did()nnnLzrezzre2π102πi,i{cos[(1)]isin[(1)]}d,nnnr11nn02πi1d01()nLnznzz2πi(1)10idnner21第2节积分基本定理通过前面的例题我们发现，例1中的被积函数在复平面内是处处解析的，它沿连接起点及终点的任何路径的积分值都相同，换句话说，积分与路径无关．例2中的被积函数是不解析的，积分与路径是有关的．也许沿封闭曲线的积分值与被积函数的解析性及区域的单连通性有关．我们自然要问：函数在什么条件下，积分仅与起点和终点有关，而与积分路径无关呢？我们可以证明下列定理:22柯西定理定理3.1设f(z)是单连通区域D的解析函数，（1）设C是D内任一条简单闭曲线，那么其中，沿曲线C的积分是按反时针方向取的。（2）C是在D内连接及z两点的任一条简单曲线，那么沿C从到z的积分值由及z所确定，而不依赖于曲线C，这时，积分记为.0z0z0zzzdf0)(()0Cfzdz23()dddiddLLLfzzuxyxuyvv()ddi()ddDDuuxyxyxyxyvv24定理3.2解析函数积分与路径无关如果函数()fz在单连通域D内处处解析，则积分()dlfzz与连接起点及终点的路径无关．LD图3.3lPQMN25定理3.3设C是一条简单闭曲线，函数f(z)在以C为边界的有界闭区域D上解析，那么定理3.4设f(z)是单连通区域D的解析函数，那么在D内有函数,其导数为f(z)。证明：取定，由定理3.1，得是在D内确定的一个函数。取0,zDzD任取0()()zzFzfd,D00()()()()zzzFzFfdfd0,0,(,)zDU当时,()()fzf()0Cfzdz26D中两个积分看作沿两条简单曲线取的，而其中一条是另一条曲线与连接α及z的线段的并集。于是有这里积分是沿α及z的联线取的，()()()()[()()]zFzFzfffd27()()()()[()()]zFzFzfffdz()()()()FzFzfz()()Ff于是即证毕。28【另证】令则因为和是与路径无关的，因此0()()dzzFzf0000(,)(,)(,)(,)ddiddxyxyxyxyuxyxuyvv00(,)(,)(,)ddxyxyPxyuxyv00(,)(,)(,)ddxyxyQxyxuyv()(,)i(,)FzPxyQxy(,)Pxy(,)Qxy29故()Fz是D内的一个解析函数，且()ii().PQFzufzxxv,.PQPQxyyx可见,()(,)i(,)FzPxyQxy的实部和虚部可微且满足C-R条件，30原函数设f(z)及F(z)是区域D内确定的函数，F(z)是D内的一个解析函数，并且在D内，有F’(z)=f(z)，那么函数F(z)称为f(z)在区域是D内的一个不定积分或原函数；除去可能相差一个常数外，原函数是唯一确定的。即f(z)的任意两个不定积分或原函数的差是一个常数。事实上，设F(z)及G(z)都是f(z)在区域是D内的原函数，则有0)(')]'()([zzGzF31其中，我们已经证明，在D内，有，)()()(zzGzF()(z为常数)因此)()(zGzF32引理1设f(z)单连通区域D内处处解析，并且在D内有原函数G(z)。如果，并且C是D连接的一条曲线，那么01,zzD01,zz10()d()()CfzzGzGz33()()GzFzC，所以0()()d()zzFzfGzC．当0zz时，得0()0GzC，推出0()CGz.因此00()d()()zzfGzGz令1zz，得到1010()d()()zzfzzGzGz0()()dzzFzf()fz【证明】注意到函数是的一个原函数，故34典型应用实例【解】函数2sinzz在z平面上解析，易知21cos2z为它的一个原函数，根据复积分的牛顿－莱布尼兹公式有222211sindcoscoscos22bbaazzzzab例4计算积分2sindbazzz35例5计算积分因而积分与路径无关，可用分部积分法得i0sindzzzsinzzii00ii00sindd(cos)(cos)(cos)dzzzzzzzzzii1icosisinii(cosiisini)iiee【解】由于在复平面内处处解析，36定理3.5复合闭路定理（即复连通区域的柯西积分定理）设L为闭复连通区域D的边界（更一般的情况下可以是D内的简单闭曲线），而且12,,,nCCC是L内部的简单闭曲线，且彼此既不包含也不相交，以12,,,,nLCCC为边界的区域全含于闭区域D．对于区域D内的解析函数()fz，则可以证明有(1)()d0fzz成立.这里为由L以及(1,2,...)kCkn所组成的复合闭路正方向（将复连通区域单连通化，其方向为：L按逆时针方向、kC按顺时针方向.均为复合闭路边界线正方向）；37L1CD图3.42CkC38(2)1()d()dknLCkfzzfzz成立，其中L以