工程数学教学经验感悟

2004工程力學與數學創意教學研討會1工程數學教學經驗談陳正宗1摘要工程數學為工學院大學部同學必修的課程，如何讓學生不畏懼與有效學習也一直是工程教育的重要課題。本文根據作者多年的工程數學教學經驗，列舉幾個有趣的問題，來進行創意教學的思考。(1)常係數微分方程重根獨立補解之求解。(2)高斯消去法的矩陣操作方式。(3)Laplace轉換在Euler型微分方程的操作回復性。(4)Poisson積分式的另類導法。藉以不同角度的觀察來學習工程數學。(5)特徵問題與奇異值分解的連體力學說明。其中，(1)常微分方程中重根情形以一極簡例說明另外獨立補解的導得。(2)高斯消去法係結合次結構觀念與工程數學，以矩陣操作予以連貫。(3)對於Euler型微分方程將說明偶數次Laplace轉換操作的回復性。(4)以Fourier級數、零場積分方程與退化核推導Poisson積分方程式。(5)透過連體力學變形前與變形後的機制，可探討奇異值分解與特徵值分解的數學、幾何、與物理意義。藉此五個範例分享學生與教師。關鍵字:工程數學，創意教學，高斯消去法，Laplace轉換，奇異值分解。簡介台灣高等教育在大學入學錄取率近達九成後，已進入一個完全不同的局面。政府當局一則以喜，一則以憂。喜的是高等教育的普及對國家競爭力有所助益；憂的是如何在資源有限的情況下維持大學教育的品質。身為大學教師首當其衝，因為我們所面對學生的主動性、積極性。均已今不如昔，所謂草莓族之說，即是反應此事。而且教育部與國科會提供的經費，日漸短拙。因此，在這種情況下，如何在工程數學與力學的教學上激發學生的興趣與潛力，使得學習是一種樂趣而非應付考試的粗略想法，是目前學校教師極大的挑戰。如何對學生群作出提前、汰後與提中間的教學效果，是我們目前最重要的課題[4]。本文我們將以工程數學與力學教學的五個示範例嘗試，有別於傳統教科書的方式，提供另一個思路來學習，希望能對初學者與教師有所幫助。此五例，包括常微分方程、Laplace轉換、偏微分方程、線性代數與連體力學，將分述如下。案例一常微分方程(ODE)[2]齊次常微分方程求解時，遇到重根時，如何讓初學者能接受另外補解的導得，在教科書[16,17,18]可找到多樣方法，如變數異動法，Laplace轉換法，£’hospital法則...等。筆者覺得最簡單的方法，可由下例說明之。給一兩階常微分方程0'2''yyy，吾人假設其解為stey而導得，012s時tey的補解，另一補解為tte。然而對初學者而言，如何以最簡單的方法去接受tte中t的出現。吾人可以特例說明之，若常微分方程為0''y則毫無疑問（只要學過微積分）其二補解分1海洋大學河海工程系教授,[phone]ext.6140或6177,[e-mail],URL:~msvlab/2004工程力學與數學創意教學研討會2別為tyy21,1，亦即0te與0tte。如此推廣''''''330yyyy的三個獨立補解te，tte與2tte將更容易說明，1，t，2t出現的原因就像'''0y有三個補解，11y，2yt，23yt一樣的道理。案例二高斯消去法的矩陣操作(線性代數)[2,3,7]若以高斯消去法的數學操作法解如下代數方程式:54100464111464001450pqrs(1)高斯消去法的等效矩陣操作為:54100464111464001450TTpqaaars(2)其中，a乃轉換矩陣，”T”乃轉置。可簡列如表一即可導得85,135,125,75pqrs，其對應次結構的觀念可參考Bathe與Wilson[7]。表一高斯消去法的數學操作自由度A轉換矩陣TaAa410100P1234UUUU445410464114640145A4341055100010001a3314161551629455145A31100P234UUU3314161551629455145A32857141001a221520772065714A2187514P2004工程力學與數學創意教學研討會334UU221520772065714A21431a31156A1176P案例三Laplace轉換對Euler-Cauchy型微分方程的偶次操作回復性(Laplace轉換)[2]對於任意Euler-Cauchy型微分方程如下:2'''()()()0atytbtytcyt(3)其中，a、b與c為常數，y是t的函數。若對式(3)做二次的Laplace轉換，可回復原來方程式。此發現更可適用於任意階數Euler-Cauchy型微分方程如下式:()1(1)'110()()()()0nnnnnnatytatytatytayt(4)作兩次Laplace轉換可得原微分方程式。亦即針對Euler-Cauchy型微分方程進行二次Laplace轉換可回復。此點和如下Fourier轉換與Hilbert轉換是不太一樣。說明如下:FF(())2()ftft(5)HH(())()ftft(6)其中F與H分別為Fourier與Hilbert轉換[8]。案例四Poisson積分公式的另類導法(偏微分方程)[5]過去，從教科書[15,19,20]中可發現，書中推導Poisson積分式皆採用映像法求得如圖1所示，但書中所提及的推導過程並不易被初學者所接受。其求映像點的方式有預設立場來求得此解之嫌。因此本文則摒除傳統的舊方法而提出兩套新的求解方式:(1)採用映像法但求映像點的方法不同，係採用退化核的技巧求得虛擬點源的位置而有別於傳統教科書Kelvin[19,20]所提出的解法。(2)摒除映像法而採用零場積分方程式及退化核函數與Fourier級數展開之觀念推導Poisson積分方程式。在此，以二維內域圓形的例子做一詳細說明。圖1Reciprocalradii理論(rarR，a)[15]方法1-以退化核尋求映像源欲求解二維的拉普拉斯問題，其控制方程式為ao),(x),(RsRR),(Rsrr2004工程力學與數學創意教學研討會4aBxfxu),()(xxu,0)(2x),(x),(RsyrRxxu,0)(2,(7)其中)(xu為勢能場，為半徑為a的圓形領域。為了將問題簡單化，以Dirichlet邊界條件，)(fu，為例說明如圖2所示。透過格林恆等式並以基本解當做輔助系統，我們可導得邊界積分方程式xxdBxtsxUxdBxusxTsuBFBF,)()(),()()(),()(2(8)圖2二維內域拉普拉斯問題圖3二維問題的極座標表示其中)(xu和)(xt為位移及斜率;s與x分別為場點及源點，B為領域的邊界，核函數FU及FT分別為xFFFnsxUsxTrsxU),(),(,ln),(,(9)其中FU滿足)(),(2sxsxUFx且sxr。然而，本文則採用邊界積分方程法求解Poisson積分式，為了求得滿足Dirichlet邊界條件的封閉型格林函數，虛擬源點必須定位於領域以外的地方。因此，將基本解由格林函數取代。當邊界積分方程式中BGxdBxtssxU0)()(),;(且0|),;(BxGssxU。因此，方程式(8)則可簡化如下BxxdBxussxTsuBG),()(),;()(2,(10)其中xGGnssxUssxT),;(),;(。首先，採用退化核技巧求得封閉型的格林函數而不採用傳統教科書[15,19,20]中所使用的相似三角形做法。基本解可被改寫成級數形式如下:,)],(cos[)(1ln),(,)],(cos[)(1ln),(ln)ln(),(11mmEFmmIFFRmRmsxURmRmRsxUsxrsxU(11)其中),(x和),(Rs以極座標形式表示如圖3，上標I及E分別指內域及外域問題。2004工程力學與數學創意教學研討會5sxsxsxsxssxUG),()(),;(2BxssxUG,0),;(B我們將採用映像法及退化核技巧推導封閉型及級數型的格林函數。當s置於圓內，x在邊界上時，可得RmRmsxmm,)](cos[)(1lnln1.(12)當s置於圓外時，可得RmRmRsxmm,)](cos[)(1lnln1,(13)為了將方程式中的項消掉，我們必須把源點s與虛擬源點s放置同一線上，如。即可輕易得到虛擬源點位置之關係式RaRRRR22.(14)將方程式(12)與(13)相減，可得lnlnlnlnxsxsaR.(15)然而封閉型的格林函數導證如下:2(;,)ln||ln||lnlnln||ln||lnlnln||ln||lnln.GUxssxsxsaRaxsxsaRxsxsaR(16)其中aln可視為剛體運動項。此封閉型的格林函數滿足2(;,)()(),xGUxssxsxsx。(17)此格林函數滿足邊界條件0|),;(BxssxU，如圖4所示。圖4格林函數在方程式(10)中，當R0時如圖5(a)所示，此格林函數可展開成2004工程力學與數學創意教學研討會6),(Rs),(x),(Rsa),(Rs),(x),(Rsa122121(;,)ln||ln||lnln1{ln()cos[()]}1{ln()()cos[()]}lnln1ln()[()()]cos[()],0.GmmmmmmmUxssxsxsaRRmmRaRmaRRmaRRmRamRa(18)圖5(a)格林函數(coreareaR0)圖5(b)格林函數(annularareaaR)當aR時，如圖5(b)所示，格林函數可表示成.,)](cos[)]()[(1)ln(lnln]}(cos[)(1){ln()]}(cos[)(1{lnlnln||ln||ln),;(121221'aRmaRRmaRamaRmRamRmRasxsxssxUmmmmmmmG(19)將方程式(18)與(19)整理過後，可得1212)],(cos[])()[(1)ln(0)],(cos[])()[(1)ln(),;(mmmmmmGaRmaRRmaRmaRRmaRssxU(20)封閉型及級數型格林函數圖所得之結果分別於6(a)和6(b)。2004工程力學與數學創意教學研討會7-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-1-0.8