工程数学期末复习指导

1《经济数学基础》课程考核说明I．相关说明与实施要求本课程的考核对象是中央广播电视大学财经类高等专科开放教育金融、工商管理、会计学等专业的学生．本课程的考核形式为形成性考核和期末考试相结合的方式．考核成绩由形成性考核作业成绩和期末考试成绩两部分组成，考核成绩满分为100分，60分为及格．其中形成性考核作业成绩占考核成绩的30%，期末考试成绩占考核成绩的70%．形成性考核作业的内容及成绩的评定按《广播电视大学高等专科经济数学基础课程教学实施方案》的规定执行．经济数学基础课程考核说明是根据《广播电视大学高等专科“经济数学基础”课程教学大纲》制定的，参考教材是由李林曙、黎诣远主编的、高等教育出版社出版的“新世纪网络课程建设工程——经济数学基础网络课程”的配套文字教材：经济数学基础网络课程学习指南经济数学基础——微积分经济数学基础——线性代数考核说明中的考核知识点与考核要求不得超出或超过课程教学大纲与参考教材的范围与要求．本考核说明是经济数学基础课程期末考试命题的依据．经济数学基础是广播电视大学财经类各专业高等专科学生的一门重要的必修基础课，其全国统一的结业考试（期末考试）是一种目标参照性考试，考试合格者应达到普通高等学校财经类专业的大专水平．因此，考试应具有较高的信度、效度和一定的区分度．试题应符合课程教学大纲的要求，体现广播电视大学培养应用型人才的特点．考试旨在测试有关微积分和线性代数的基础知识，必要的基础理论、基本的运算能力，以及运用所学基础知识和方法，分析和解决问题的能力．期末考试的命题原则是在考核说明所规定的范围内命题，注意考核知识点的覆盖面，在此基础上突出重点．微积分和线性代数各部分在期末试卷中所占分数的百分比与它们在教学内容中所占的百分比大致相当，微积分约占58%，线性代数约占42%．考核要求分为三个不同层次：有关定义、定理、性质和特征等概念的内容由低到高分为“知道、了解、理解”三个层次；有关计算、解法、公式和法则等内容由低到高分为“会、掌握、熟练掌握”三个层次．三个不同层次由低到高在期末试卷中的比例为：2:3:5．试题按其难度分为容易题、中等题和较难题，其分值在期末试卷中的比例为：4:4:2．试题类型分为单项选择题、填空题和解答题．单项选择题的形式为四选一，即在每题的四个备选答案中选出一个正确答案；填空题只要求直接填写结果，不必写出计算过程和推理过程；解答题包括计算题、应用题或证明题等，解答题要求写出文字说明，演算步骤或推证过程．三种题型分数的百分比为：单项选择题15%，填空题15％，解答题70％．期末考试采用闭卷笔试形式，卷面满分为100分，考试时间为90分钟．考试时不得携带除书写用具以外的任何工具．II.考核内容和考核要求考核内容分为微分学、积分学和线性代数三个部分，包括函数、导数与微分、导数应用、多元函数微分学、不定积分、定积分、积分应用、行列式、矩阵、线性方程组等方面的知识．（一）微分学1．函数考核知识点：函数的概念函数的奇偶性复合函数分段函数基本初等函数（不含反三角函数）和初等函数2经济分析中的几个常见函数建立函数关系式考核要求：⑴理解函数概念，掌握函数的两要素定义域和对应关系，会判断两函数是否相同；⑵掌握求函数定义域的方法，会求初等函数的定义域和函数值；⑶掌握函数奇偶性的判别，知道它的几何特点；⑷了解复合函数概念，会对复合函数进行分解；⑸了解分段函数概念，掌握求分段函数定义域和函数值的方法；⑹知道初等函数的概念，理解常数函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数（正弦、余弦、正切和余切）的解析表达式、定义域、主要性质及图形；⑺了解需求、供给、成本、平均成本、收入和利润函数的概念；⑻会列简单应用问题的函数表达式．2．导数与微分考核知识点：极限的概念无穷小量与无穷大量极限的四则运算法则两个重要极限函数的连续性和间断点导数的定义导数的几何意义导数基本公式和导数的四则运算法则复合函数求导法则高阶导数微分的概念及运算法则考核要求：⑴知道极限概念（数列极限、函数极限、左右极限），知道函数在某点极限存在的充分必要条件是该点左右极限都存在且相等；⑵了解无穷小量的概念，了解无穷小量与无穷大量的关系，知道无穷小量的性质；⑶掌握极限的四则运算法则，掌握两个重要极限，掌握求简单极限的常用方法；⑷了解函数在某点连续的概念，知道左连续和右连续的概念，了解“初等函数在定义区间内连续”的结论；会判断函数在某点的连续性，会求函数的间断点；⑸理解导数定义，会求曲线的切线方程，知道可导与连续的关系；⑹熟练掌握导数基本公式、导数的四则运算法则、复合函数求导法则，掌握求简单的隐函数导数的方法；⑺知道微分的概念，会求函数的微分；⑻知道高阶导数概念，会求函数的二阶导数．3．导数应用考核知识点：函数的单调性函数的极值和最大（小）值导数在实际问题中的应用考核要求：⑴掌握函数单调性的判别方法；⑵了解函数极值的概念，知道函数极值存在的必要条件，掌握极值点的判别方法，知道函数的极值点与驻点的区别与联系，会求函数的极值；⑶了解边际概念和需求弹性概念，掌握求边际函数的方法；会计算需求弹性；⑷熟练掌握求经济分析中的应用问题（如平均成本最低、收入最大和利润最大等）．4．多元函数微分学考核知识点：二元函数概念3偏导数、全微分的概念及其计算二元函数的极值拉格朗日乘数法二元函数的极值在经济中的应用考核要求：⑴会求二元函数的定义域．⑵掌握求全微分的方法和求一阶、二阶偏导数的方法．会求简单的复合函数、隐函数的一阶偏导数．⑶了解二元函数极值的必要充分条件，会用拉格朗日乘数法求条件极值．（二）积分学1．不定积分考核知识点：原函数和不定积分概念不定积分的性质积分基本公式直接积分法第一换元积分法分部积分法考核要求：⑴理解原函数与不定积分概念，了解不定积分的性质，会求当曲线的切线斜率已知且满足一定条件时的曲线方程，知道不定积分与导数（微分）之间的关系；⑵熟练掌握积分基本公式和直接积分法；⑶掌握不定积分的第一换元积分法（凑微分法）；⑷掌握不定积分的分部积分法，会求被积函数是以下类型的不定积分：①幂函数与指数函数相乘，②幂函数与对数函数相乘，③幂函数与正（余）弦函数相乘；2．定积分定积分概念定积分性质牛顿莱布尼兹公式，第一换元积分法分部积分法无穷限积分考核要求：⑴了解定积分概念及性质，掌握牛顿莱布尼兹公式；⑵掌握定积分的第一换元积分法（凑微分法）；⑶掌握定积分的分部积分法，会求被积函数是以下类型的定积分：①幂函数与指数函数相乘，②幂函数与对数函数相乘，③幂函数与正（余）弦函数相乘．⑷知道无穷限积分的收敛概念，会求简单的无穷限积分．3．积分应用考核知识点：积分的几何应用积分在经济分析中的应用常微分方程考核要求：⑴掌握用定积分求简单平面曲线围成图形的面积；⑵熟练掌握用不定积分和定积分求总成本函数、收入函数和利润函数或其增量的方法；4⑶了解微分方程的几个概念：微分方程、阶、解（通解、特解）线性方程等；⑷掌握简单的可分离变量的微分方程的解法，会求一阶线性微分方程的解．（三）线性代数1．行列式考核知识点：n阶行列式概念行列式的性质计算行列式的化三角形法和降阶法克拉默法则考核要求：⑴了解n阶行列式概念及其性质；⑵掌握行列式的计算；⑶知道克拉默法则．2．矩阵考核知识点：矩阵概念与矩阵的运算特殊矩阵矩阵的初等行变换与矩阵的秩可逆矩阵与逆矩阵考核要求：⑴了解矩阵和矩阵相等的概念；⑵熟练掌握矩阵的加法、数乘、乘法和转置等运算，掌握这几种运算的有关性质；⑶了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角形矩阵和对称矩阵的定义和性质．⑷理解矩阵可逆与逆矩阵概念，知道矩阵可逆的条件；⑸了解矩阵秩的概念；⑹理解矩阵初等行变换的概念，熟练掌握用矩阵的初等行变换将矩阵化为阶梯形矩阵、行简化阶梯形矩阵，熟练掌握用矩阵的初等行变换求矩阵的秩、逆矩阵．3．线性方程组考核知识点：线性方程组消元法线性方程组有解判定定理线性方程组解的表示考核要求：⑴了解线性方程组的有关概念：n元线性方程组、线性方程组的矩阵表示、系数矩阵、增广矩阵、一般解；⑵理解并熟练掌握线性方程组的有解判定定理；⑶熟练掌握用消元法求线性方程组的一般解．III.试题类型及规范解答举例一、单项选择题1．若函数fx()在xx0处极限存在，则下列结论中正确的是（）．（A）fx()在xx0处连续（B）fx()在xx0处可能没有定义（C）fx()在xx0处可导（D）fx()在xx0处不连续（B）正确，将B填入题中括号内．（中等题）2．当（）时，线性方程组AXbb()0有唯一解，其中n是未知量的个数．（A）秩秩()()AA（B）秩秩()()AA1（C）秩秩()()AAn（D）秩秩(),()AnAn1（C）正确，将C填入题中括号内．（容易题）5二、填空题1．函数yxx42ln()的定义域是．在横线上填写答案“(,)(,]2334”．（容易题）2．若Fx()是fx()的一个原函数，且a0，则faxbx()d．在横线上填写答案“1aFaxbc()”．（中等题）三、解答题⒈设矩阵A=021201，B=142136，计算(AB)-1．解：因为AB=021201142136=1412(ABI)=1210011210140112121021210112101102所以(AB)-1=122121（中等题）⒉（应用题）已知某产品的销售价格p（单位：元／件）是销量q（单位：件）的函数pq4002，而总成本为Cqq()1001500（单位：元），假设生产的产品全部售出，求产量为多少时，利润最大？最大利润是多少？解：由已知条件可得收入函数Rqpqqq()40022进而得到利润函数LqRqCqqqqqq()()()()400210015003002150022对利润函数求导得Lqq()300令Lq()0得q300，显然是唯一的极大值点，因此是最大值点．同时得L()30030030030021500435002即产量为300件时利润最大．最大利润是43500元．（较难题）⒊（证明题）试证：设A是n阶矩阵，若3A=O，则21)(AAIAI．证明：因为))((2AAIAI=322AAAAAI=3AI=I6所以21)(AAIAI证毕．（中等题）IV.样卷一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）1．下列各函数对中，（）中的两个函数相等．A．2)()(xxf，xxg)(B．11)(2xxxf，xxg)(+1C．2lnxy，xxgln2)(D．xxxf22cossin)(，1)(xg2．若函数fx()在xx0处极限存在，则fx()在xx0处（）．A.可能没有定义B.连续C.可导D.不连续3.下列等式不成立的是（）．A．)d(edexxxB．)d(cosdsinxxxC．xxxdd21D．)1d(dlnxxx4．设BA,为同阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（）A.TTT)(BAABB.TTT)(ABABC.1T11T)()(BAABD.T111T()()ABAB5．设线性方程组bAX的增广矩阵通过初等行变换化为00000120004131062131，则此线性方程组的一般解中自由未知量的个数为（）．A．1B．2C．3D．4二、填空题（每小题3分，本题共15分）6．函数yxx113ln()的定义域是．7．需求量q对价格p的函数为2e100)(ppq，则需求弹性为Ep．8．xxx-d)1cos(11.9．设A是2阶矩阵，且9A，1T3()A．10．设BA,为两个已知矩阵，且BI可逆，则方程XBXA的解X．三、微积分计算题（每小题10分，本题共20分）11．设yxln(