拉格朗日中值定理在高考题中的妙用

拉格朗日中值定理在高考题中的妙用【摘要】近几年，以高等数学为背景的高考命题成为热点.许多省市一些高考题可以用拉格朗日中值定理来解答.本文归纳了可用拉格朗日中值定理解决的四类题型，再通过一些具体的高考试题，体现高观点解题的好处.【关键词】拉格朗日中值定理高考题高观点引言新课程中，高中数学新增加了许多近、现代数学思想，这为中学数学传统的内容注入了新的活力，也为解决一些初等数学问题的方法提供了更多的选择．尤其在近几年在近几年的数学高考试题中，经常遇到一些题目，虽然可以利用中学的数学知识解决，但是在高等数学中往往能找出相关的“影子”，也即所谓的“高观点”试题这样的试题或以高等数学知识为背景，或体现高等数学中常用的思想方法．这类试题常受到命题者的青睐，成为高考中一道亮丽的风景，其中不乏以拉格朗日中值定理为背景的高考试题．拉格朗日中值定理是利用导数的局部性研究函数整体性的重要工具，它是沟通函数与其导数之间的桥梁，建立了函数值与导数值之间的定量联系，因而可以用它来研究函数的性态．拉格朗日中值定理是高考试题设置高等数学背景的一个热点素材.一．拉格朗日中值定理[1]拉格朗日中值定理：若函数f满足如下条件：（i）f在闭区间[,]ab上连续；（ii）f在开区间(,)ab内可导；则在,ab内至少存在一点，使得'fbfafba.几何意义：在满足定理条件的曲线上()yfx至少存在一点(,())pf，该曲线在该点处的切线平行于曲线两端的连线AB（如图）二．求割线斜率大小-----------几何意义的利用由拉格朗日中值几何意义可知:曲线上两点的割线斜率,可以转化为曲线上切线的斜率.即连续函数上任意两点的连线总与某条切线平行.下面通过下题具体分析.例1：（2011年福建省质检理19题）已知函数22()ln.afxxaxx（Ⅰ）求()fx的单调递增区间；（Ⅱ）设'1,()(),agxfx问是否存在实数k，使得函数()gx上任意不同两点连线的斜率都不小于k？若存在，求k的取值范围；若不存在，说明理由.解（Ⅰ）略（Ⅱ）当1a时，221()1gxxx，假设存在实数k，使得的图象上任意不同两点连线的斜率都不小于k，即对任意210xx，都有2121()(),gxgxkxx即求任意两点割线斜率的大小，由中值定理知存在12(,)xxx，有'2121()()(),gxgxgxkxx转为求切线斜率的大小.即'3241()gxkxx在(0,)上恒成立.（以下同参考答案）评析：该题若用初等方法解决，构造函数同是本题的难点和突破口．将2121()(),gxgxkxx转化为2211()(),gxkxgxx转而考查函数()()hxgxkx，学生不是很容易想到，但若利用拉格朗日中值定理，则只需求二次导函数在所给区间的最小值即可，学生易接受．二．利用拉格朗日中值定理证最值（1）证fbfaba或fbfaba-------------即证'f与的大小关系例2：（2009年辽宁卷理21题）已知函数21()(1)ln,12fxxaxaxa（Ⅰ）讨论函数()fx的单调性；（Ⅱ）证明：若5a，则对任意12,0,xx，12xx，有1212()()1fxfxxx.（Ⅰ）略；（Ⅱ）要证1212()()1fxfxxx成立，即证'11afa.令2(1)1gaa，则214115aaaa.由于15a，所以0.从而0g在R恒成立.也即21aa.又12,xx，12,0,xx，故0.则211aa，即'11afa，也即1212()()1fxfxxx.评注：这道题（Ⅱ）小题用初等方法做考虑函数gxfxx.为什么考虑函数gxfxx很多考生一下子不易想到.而且'gx的放缩也不易想到.（2）、证明fxax或fxax成立（其中0x，(0)0f）----------即证(0)0fxfax或(0)0fxfax例3：（2007年高考全国卷I第20题）设函数xxfxee.[2]（Ⅰ）证明：fx的导数'2fx；（Ⅱ）证明：若对所有0x，都有fxax，则a的取值范围是(,2].（Ⅰ）略.（Ⅱ）证明：（i）当0x时，对任意的a，都有fxax(ii)当0x时，问题即转化为xxeeax对所有0x恒成立.令00xxfxfeeGxxx，由拉格朗日中值定理知0,x内至少存在一点（从而0），使得'00fxffx，即'Gxfee，由于''000feeee，故'f在0,x上是增函数，让0x得''min02Gxfeef，所以a的取值范围是(,2].评注：用的是初等数学的方法.即令gxfxax，再分2a和2a两种情况讨论.其中，2a又要去解方程'0gx.但这有两个缺点：首先，为什么a的取值范围要以2为分界展开.其次，方程'0gx求解较为麻烦.但用拉格朗日中值定理求解就可以避开讨论，省去麻烦.例4：（2008年全国卷Ⅱ22题）设函数sin2cosxfxx.（Ⅰ）求fx的单调区间；（Ⅱ）如果对任何0x，都有fxax，求a的取值范围.证明（Ⅰ）略；（Ⅱ）证明：当0x时，显然对任何a，都有fxax；当0x时，00fxfxfxx由拉格朗日中值定理，知存在0,x，使得'00fxfxffxx.由（Ⅰ）知'22cos12cosxfxx，从而''22sin2coscos12cosxxxfxx.令''0fx得，21,22xkk；令''0fx得，2,21xkk.所以在21,22kk上，'fx的最大值''max1223fxfk在2,21kk上，'fx的最大值''max123fxfk.从而函数'fx在2,22kk上的最大值是'max13fx.kN知，当0x时，'fx的最大值为'max13fx.所以，'f的最大值'max13f.为了使'fa恒成立，应有'maxfa.所以a的取值范围是1,3.评注：这道题的参考答案的解法是令gxaxfx,再去证明函数gx的最小值min0gx.这与上述的思路是一样的.但首先参考答案的解法中有个参数a,要对参数a进行分类讨论;其次为了判断gx的单调性,还要求'0gx和'0gx的解,这个求解涉及到反余弦arccos3a,较为复杂.而用拉格朗日中值定理就可以避开麻烦，省去讨论.再次体现了高观点解题的优越性.三．利用拉格朗日中值定理证不等式在近几年的数学高考中，出现了不少含有拉格朗日中值定理的试题．常以不等式恒成立问题为基本切入点，具有一定的深度，既符合高考命题“能力立意”的宗旨，又突出了数学的学科特点，较好地甄别了学生的数学能力．下面以近几年全国各地的数学高考试题为例，说明拉格朗日中值定理的不同形式在高考中不等式的应用，更好地体会用“高观点”解题的优势．（1）用于证明fbfa与ba的大小关系例5：(2006年四川卷理第22题)[3]已知函数22ln(0),fxxaxxfxx的导函数是'fx，对任意两个不相等的正12,xx，证明：（Ⅱ）当4a时，''1212fxfxxx.证明：由22lnfxxaxx得，'22()2afxxxx，令'gxfx则由拉格朗日中值定理得：'1212()gxgxgxx下面只要证明：当4a时，任意0,都有'1g，则有'324g21axxx，即证4a时，24axx恒成立.这等价于证明24xx的最小值大于4.由22342234xxxxx，当且仅当32x时取到最小值，又3434a，故4a时，32421axx恒成立.所以由拉格朗日定理得：''12121212()gxgxgxxgxxxx.评注：这道题用初等数学的方法证明较为冗长，而且技巧性较强.因而思路较为突兀，大多数考生往往难以想到.相比之下，用拉格朗日中值定理证明，思路较为自然、流畅.体现了高观点解题的优越性，说明了学习高等数学的重要性.（2）证明ga，2abg，gb三者大小的关系例6：（2004年四川卷第22题）[3]已知函数ln(1),lnfxxxgxxx.（Ⅰ）求函数fx的最大值；（Ⅱ）设02aba，证明：2()ln22abgagbgba.证明（Ⅰ）略；（Ⅱ）证明：依题意，有'ln1gxx，2222abababgagbggbggga由拉格朗日中值定理得，存在,,,22ababab，使得''lnln2222ababbabagbgggagg4lnlnlnln2222babbaababaaa评注：对于不等式中含有,,2abgagbgab的形式，我们往往可以把2abgga和2abgbg，分别对2abgga和2abgbg两次运用拉格朗日中值定理.例7：(2006年四川卷理第22题)已知函数22ln(0),fxxaxxfxx的导函数是'fx，对任意两个不相等的正数12,xx，证明：（Ⅰ）当0a时，121222fxfxxxf证明：（Ⅰ）不妨设12xx，即证12122122xxxxfxfffx．由拉格朗日中值定理知，存在12121122,,,22xxxxxx，则12且1222xxfxf'2122xxf，'12211122xxxxffxf又'22()2afxxxx，''3242afxxx.当0a时，''0fx.所以'()fx是一个单调递减函数，故''12ff从而12122122xxxxfxfffx成立，因此命题获证．四：利用拉格朗日定理证明根的存在[4]证明方程根的存在性,所给根的范围就是区间,ab把所给方程设为函数()fx就可用拉格朗日中值定理证明方程根的存在性,一般用反证法.例1设()fx在0,1可导,且0()1fx,又对于(0,1)内所有的点有'()1fx证明方程()10fxx在(0,1)内有唯一的实根.分析:要证明方程有唯一的实根,分两步证明,先证明有根,再证明根是唯一的证明:先证方程有根,令()()1gxfxx,又因为0()1fx,则(0)(0)10,(1)(1)0gfgf,得到g(0)·g(1)0.所以,函数g(x)在(0,1)内至少有一个实根.再