留数定理及应用

留数及其应用摘要数定理得知，计算函数)(zf沿C的积分，可归结为计算围线C内各孤立奇点处的留数之和．而留数又是该奇点处的罗朗级数的负一次幂的系数，因此我们只关心该奇点处罗朗留数理论是复积分和复级数理论相结合的产物，利用留数定理可以把沿闭路的积分转化为计算孤立点处的留数．此外，在数学分析及实际问题中，往往一些被积函数的原函数不能用初等函数表示，有时即便可以，计算也非常复杂．我们利用留数定理可以把要求的积分转化为复变函数沿闭曲线的积分，从而把待求积分转化为留数计算．本文首先介绍留数定义及留数定理，然后针对具体不同的积分类型有不同的计算方法以及留数理论在定积分中的一些应用．关键词留数定理；留数计算；应用引言对留数理论的学习不仅是前面知识的延伸，更为对原函数不易直接求得的定积分和反常积分的求法提供了一个较为方便的方法．一.预备知识孤立奇点1．设()fz在点a的把计算闭曲线上的积分值的问题转化为计算各个孤立奇点上的留数的问题，即计算在每一个孤立奇点处的罗朗展式中负幂一次项的系数1C.在一般情况下，求罗朗展式也是比较麻烦的，因此，根据孤立奇点的不同类型，分别建立留数计算的一些简便方法是十分必要的.1.1若0z为)(zf的可去奇点则)(zf在Rzz00某去心邻域内解析，但在点a不解析，则称a为f的孤立奇点.例如sinzz，1ze以0z为孤立奇点.z以0z为奇点，但不是孤立奇点，是支点.11sinz以0z为奇点（又由1sin0z，得1(1,2...,)zkk故0z不是孤立奇点）2．设a为()fz的孤立奇点，则()fz在a的某去心邻域内，有10()()()，nnnnnnfzczacza称()n=1nncza为()fz在点a的主要部分，称0()nnnzac为()fz在点a的正则部分，当主要部分为0时，称a为()fz的可去奇点；当主要部分为有限项时，设为(1)11(0)()()mmmmmcccczazaza称a为()fz的m级极点；当主要部分为无限项时，称a为本性奇点.二.留数的概念及留数定理1.留数的定义设函数fz以有限点a为孤立点，即fz在点a的某个去心邻域0zaR内解析，则积分1:,02fzdzzaRi为fz在点a的留数，记为：Rezasfz．2.留数定理介绍留数定理之前，我们先来介绍复周线的柯西积分定理：设D是由复周线012CCCC…nC所围成的有界连通区域，函数fz在D内解析，在_DDC上连续，则0Cfzdz．定理11（留数定理）设fz在周线或复周线C所范围的区域D内，除12,,aa…,na外解析，在闭域_DDC上除12,,aa…,na外连续，则（“大范围”积分）12ReknzakCfzdzisfz．（1）证明以ka为心，充分小的正数k为半径画圆周:kkza（1,2,k…,n）使这些圆周及内部均含于D，并且彼此相互隔离，应用复周线的柯西定理得1knkCfzdzfzdz，由留数的定义，有2Rekkzafzdzisfz．特别地，由定义得2Rekkzafzdzis，代入（1）式得12ReknzakCfzdzisfz．定理2设a为fz的n阶极点，nzfzza，其中z在点a解析，0a，则11!nzaaResfzn．这里符号0a代表a，且有11limnnzaaz．推论3设a为fz的一阶极点，zzafz，则zaResfza．推论4设a为fz的二阶极点，2zzafz，则'zaResfza．3.留数的引理引理1设fz沿圆弧:iRSzRe(12，R充分大)上连续，且limRzfz于RS上一致成立(即与12中的无关)，则21limRSRfzdzi．引理2(若尔当引理)设函数gz沿半圆周:iRzRe(0，R充分大)上连续，且lim0Rgz在R上一致成立，则lim00RimzRgzedzm．引理3(1)设a为fz的n阶零点，则a必为函数'fzfz的一阶极点，并且'zafzResnfz；(2)设b为fz的m阶极点，则b必为函数'fzfz的一阶极点，并且'zbfzResmfz．三.留数的计算1.函数在极点的留数法则1：如果0z为)(zf的简单极点，则)()(lim]),([Re000zfzzzzfszz法则2：设)()()(zQzPzf，其中)(,)(zQzP在0z处解析，如果0)(zP，0z为)(zQ的一阶零点，则0z为)(zf的一阶极点，且)()(]),([Re0zQzPzzfs.法则3：如果0z为)(zf的m阶极点，则)]()[(lim!11]),([Re01100zfzzdzdmzzfsmmmzz）（.2.函数在无穷远点的留数定理1如果)(zf在扩充复平面上只有有限个孤立奇点（包括无穷远点在内）为,,,21nzzz，则)(zf在各点的留数总和为零.关于在无穷远点的留数计算，我们有以下的规则.法则4：211Re[,]Re[(),0]sfzsfzz（）.例1求函数2()1izefzz在奇点处的留数．解()fz有两个一阶极点zi，于是根据（6.5）得2()Re(,)()22iPieisfiQiie2()Re(,)()22iPieisfieQii例2求函数3cos()zfzz在奇点处的留数．解()fz有一个三阶极点0z，故由（6.7）得33001cos11Re(,0)lim()lim(cos)222zzzsfzzz四.留数定理在定积分中的应用利用留数计算定积分活反常积分没有普遍的实用通法，我们只考虑几种特殊类型的积分．1.形如20cos,sinfxxdx型的积分这里cos,sinfxx表示cos,sinxx的有理函数，并且在0,2上连续，把握此类积分要注意，第一：积分上下限之差为2，这样当作定积分时x从0经历变到2，对应的复变函数积分正好沿闭曲线绕行一周．第二：被积函数是以正弦和余弦函数为自变量。当满足这两个特点之后，我们可设ixze，则dzizdx，21sin22ixixeezxiiz，21cos22ixixeezxz得2221011cos,sin,22zzzdzfxxdxfziziz12Reknzzkisfz．例1计算2053cosdI．解令ize，则2210253cos3103zdIdzizz121313zdzizz13212Re313zisizz32．例2计算22023cosdxIx．解222102123cos232zdxdzIizxzz2124433zzdzizz1244313zzdzizz，由于分母有两个根121,33zz，其中121,1zz，因此I142Re43zzisi．2.形如fxdx型的积分把握此类积分要注意，首先分析其函数特点，函数必须满足一下两条才能适用。第一：PzfzQz，其中Pz，Qz均为关于z的多项式，且分母Qz的次数至少比分子Pz的次数高两次；第二：fz在半平面上的极点为kz（k＝1，2，3，…，n），在实轴上的极点为kx（k＝1，2，3，…，n）则有12Reknzzkfxdxisfz．例3计算2421xIdxxx．解取224222111zzfzzzzzzz，孤立点为123413131313,,,22222222zizizizi，其中落在上半平面的为1z，3z，故212Re3kzzkIisfz。例4计算22220xIdxaxa．解由于2222lim0zzzza，且上半平面只有一个极点ia，因此2222xIxa22222Rezaizisza'222zaizizai2a．3.形如imxPxedxQx型的积分1)留数公式定理21（若尔当引理）设函数gz沿半径圆周:ReiRz（0）上连续，且lim0Rgz在R上一致成立，则lim00RimzRgzedzm．证明00,0R，使当0RR时，有,Rgzz于是Resin00ReReiRimziimimRgzedzgedRed（2）这里利用了Re,ReiigiR以及ResincossiniimmRimRmReee于是由若尔当不等式2sin（02）将（2）化为sin02RimzmRgzedzRed220212mRmReRemRmm即lim0RimzRgzedz．2)举例例5计算2210ixxeIdxxx．解不难验证，函数2210izzefzzz满足若尔当引理条件．这里1m，2210zgzzz，函数有两个一阶极点13zi及13zi，3'1321313Re6210iizziziiezesfzizz于是2210ixxeIdxxx31326iieii33cos13sin13cos1sin133eie．4.形如cosPxmxdxQx和sinPxmxdxQx型积分定理31设PxgzQx，其中Px和Qx是互质多项式，并且符合条件：（1）Qx的次数比Px的次数高；（2）在实轴上0Qx；（3）0m．则有2Rekkimximzzaimagxedxisgze（3）特别地，将（3）式分开实虚部，就可用得到形如cosPxmxdxQx及sinPxmxdxQx的积分．例6计算22cos19xIdxxx．解利用221019zzz以及若尔当引理，且分母在上半圆只有两个孤立奇点zi和3zi，得到22cos19xIxx22223Re2ReRe1919izizzizieeisszzzz''22223Re21919izizzizieeizzzz13Re21648eeiii233124ee．例7计算440sinxmxIdxxa（0,0ma）．解被积函数为偶函数，所以440sinxmxIdxxa44441sin122imxxmxxedximdxxaxa，设函数关系式为44imzzefzza，它