第四章.-留数定理及其应用

第4章留数定理及其应用已讲：一个解析函数在它的解析区域内各处的函数值有很强的内在联系，这突出表现在柯西积分公式及其推论。本章：讨论这种关系的另一种表现形式：解析函数的积分值与函数的奇点的关系。留数定理：复变函数的积分理论与级数理论相结合的产物。4.1留数定理一、留数定理若函数f(z)在内除有限个孤立奇点外解析，则L：内任意的包含有限个孤立奇点的闭合曲线。：f(z)在的无心邻域0kzbR−中的罗朗级数的系数()1ka−，称为f(z)在kzb=的留数。：f(z)在它的第k个孤立奇点的邻域内罗朗展开式中()1kzb−−的系数。DDkb∑∫==mkkLbsfidzzf1)(Re2)(πD)(Rekbfs)(1ka−kb证明：在内，以各个奇点为圆心，作小圆周12,,kLLL分别包围各奇点外边界线L与所有小圆周为边界构成闭复通区域。由柯西定理：分别在各个的无心邻域0kzbR−中将f(z)展开成罗朗级数：()()()knnknfzazb∞=−∞=−∑1,2,km=代入积分公式：Dkb⇒kb∫∑∫=LkLkdzzfdzzf)()()(Re222)()()(11,)()(kkLnnnknLnkknbfsiiaiadzbzadzzfkkππδπ=⋅==−=−∞−∞=∞−∞=−∫∑∑∫(1)方程左边：解析函数的积分值；方程右边：函数的奇点。留数定理：将上述两者建立了一种关系。(2)要计算解析函数的积分，关键：计算留数；(3)留数理论：复变函数的积分与级数相结合的产物；(4)是L所包围的f(z)的所有奇点，而不是f(z)所有的奇点。∑∫==⇒mkkLbsfidzzf1)(Re2)(π),2,1(=kbk二、留数的计算方法针对不同类型的奇点，有不同的计算公式，见以下公式表或教材p78[表4-1]。证明：1.f(z)以可去奇点为中心的无心邻域中的罗朗级数没有负幂项0()()kkkfzazb∞==−∑10a−∴=2.f(z)以m阶极点为中心的无心邻域中的罗朗级数为：11011()()()()mmmmaaafzaazbzbzbzb−−+−−=+++++−+−−−怎样求？两边乘得：1110()()()()()mmmmmzbfzaazbazbazb−−−+−−=+−++−+−两边对z求(m-1)阶导数：1−ambz)(−121011!(1)!()()1!2!mmmdmmzbfzmaazbazbdz−−−+−=−+−+−+两边除以(m-1)!后取zb→的极限：1111lim[()()](1)!mmmzbdazbfzmdz−−−→=−−3.令m=1(一阶极点)，得4.有时f(z)具有分式的形式：(b是f(z)的一阶极点，则是()()zzψϕ的一阶零点))()(lim1zfbzabz−=→−()()()zfzzϕψ=式中()zϕ，()zψ均在b点解析，()0bϕ≠，而b为()zψ的一阶零点(即)1()lim()()lim()()zbzbzazbfzzbzϕψ−→→=−=−由罗比达法则：1()()'()()lim'()'()zbzzbzbazbϕϕϕψψ−→+−==5.对本性奇点，没有简单的公式，要在b点的无心邻域将f(z)展开成罗朗级数，求得。0)(',0)(≠=bbψψ1−a例：求在其奇点的留数。解：(1)奇点为(均为一阶极点)(2)计算Resf(2i)方法一：方法二：是f(z)的一阶极点，且满足：，即z=2i为的一阶零点。zizzf)2(1)(−=0,221==aiaizizizzfizifsiziz21)2(1)2()()2()2(Relimlim22=−−=−=→→ia21=)()()2(1)(zzzizzfψϕ⇒−=zizzz)2()(,1)(−==ψϕ01)2(≠=iϕ)(zψ2(2)1(2)[(2)]2ziiResfiziziϕ=∴==−+(3)计算Resf(0)方法一：0011(0)lim(0)()lim(2)2zzResfzfzzzizi→→=−==−−方法二：是f(z)的一阶极点，且1()()(2)()zfzzizzϕψ=⇒−满足：，z=0为的一阶零点。0(0)11(0)[(0)]22zResfzziiϕ=∴===−−+−zizzz)2()(,1)(−==ψϕ02=a01)0(≠=ϕ)(zψ例：求sin()zfzzπ=−在奇点处的留数。解：(1)奇点在zπ=是可去奇点。因为limsin0zzπ→=由罗比达法则：sincoslim()limlim11zzzzzfzzππππ→→→===−−可见有确定的极限，是可去奇点。(2)对可去奇点，无负幂项，故(3)如果在展开f(z)，则：()()210sinsinsin1()()(1)(21)!kkkzzzzfzzzzzkπππππππ+∞=−−−===−=−−−−−−+∑10a−⇒=0)(Re=πfsπ=z以上讨论的是对于有限区域内的孤立奇点而言的，留数的概念可以推广到无穷远点的情形。三、无穷远点的留数若函数f(z)在L的外部除点外解析，则其中称为函数f(z)在点的留数，是f(z)在点的无心邻域的罗朗系数。∞)(Re2)(∞=∫fsidzzfLπ1)(Re−−=∞afs∞1−a∞∞zR证明：将f(z)以∞点为中心展开成罗朗级数：()kkkfzaz∞=−∞=∑(实际上：令以∞点展开函数相当于在t=0邻域内展开)为计算f(z)沿L的积分，以原点o为心作一个大圆，则f(z)在L与包围的闭复通区域内是解析的。由柯西定理：tz1=RCDRC∑∫∫∫∫∫∞−∞=−=−=⇒=+kCkkCLCLRRRdzzadzzfdzzfdzzfdzzf)()(0)()(,11222()kkkaiiaiResfπδππ∞−−=−∞=−=−=∞∑注：(1)，与有限远处奇点的留数定义不同；(2)奇点是什么类型，是根据f(z)在的无心邻域的罗朗级数有没有或有多少正幂项来划分的，所以可去奇点、极点、本性奇点都有可能有含的项，也都可能没有含的项。1)(Re−−=∞afs∞=z∞1−z1−z例：求()1zfzz=−的()Resf∞。解：()1zfzz=−在1z∞内解析，所以z=∞为()fz的孤立奇点，()fz以z=∞为展开中心，在1z∞的罗朗展开为2111()1...111zfzzzzz===+++−−11C−⇒=1()1ResfC−∞=−=−四、关于留数和的定理1.定理：若函数f(z)除有限个孤立奇点外解析，则f(z)在所有奇点的留数之和为零：证明：作很多小圆周分别将有限远处奇点包围起来，然后再作一个大回路L将所有包围起来，则改变L的积分方向并移项：∫∑∫=LkLkdzzfdzzf)()(,,21LL,,21bb0)(Re)(Re=∞+∑kkfsbfskL0)()(=+∫∑∫LkLkdzzfdzzf又：无穷远处的留数与f(z)沿L积分的关系：——求处留数的另一种方法；可将求许多有限远点的残数之和的问题转化为求无穷远点的留数问题。)(Re2)(kLbfsidzzfk∫=π∑∑∫=⇒kkkLbfsidzzfk)(Re2)(π)(Re2)(∞=∫fsidzzfLπ0)(Re)(Re0)(Re2)(Re2=∞+⇒=+∞⇒∑∑fsbfsbfsifsikkkkππ∞=z2.应用：先求出容易求的留数，再利用这个定理求比较难求的留数。例：求2()1zefzz=−在各奇点的留数。解：因f(z)在内解析，则为f(z)的孤立奇点又1z=±∵也是f(z)的奇点()fz∴的奇点有：1,1,zzz==−=∞(1)21(1)lim(1)1112zzeeeResfzz→=−==−+(2)1211(1)lim(1)1112zzeeResfzze−→−−=+==−−−−(3)2101()()2kkeResfResfbe=−∞=−=−∑∞z1∞=z4.2几种典型实积分的计算留数定理的主要应用之一：计算某些实变函数定积分原理：设法把实变函数定积分跟复变函数回路积分联系起来。把实变定积分联系于复变回路积分的要点：1.定积分的积分区间[a,b]可以看作是复数平面上的实轴上的一段；()bafxdx∫1L2.利用自变量的变换把变换成某个新的复数平面的回路，这样就可以应用留数定理了。或者另外补上一段曲线，使构成回路L，L包围区域D。把f(x)解析延拓到（往往：()()fxfz→），再沿L积分。上式左边积分：利用留数定理求上式右边第一个积分：要求的上式右边第二个积分：比较容易计算(往往证明为0)1L2L21,LLD∫∫∫+=21)()()(LLLdzzfdxxfdzzf一、20(cos,sin)fdπθθθ∫型积分1.特征：(I)被积函数是cos,sinθθ的有理实函数；(II)积分区间为[]0,2π，若不是，要先变为[]0,2π。2.方法：(1)令izeθ=——将自变量作变换：zθ→，把被积函数变为复变函数idzdzdeizddizθθθ==⇒=：沿区间的积分变成沿单位圆的回路积分。)1(21)(21sin)1(21)(21coszzeeizzeeiiii−=−=+=+=−−θθθθθθ1]2,0[=→zπ]2,0[π(2)利用留数定理设于是：例：P84[例4.2.1]zidzizzzzfdfIz∫∫=−−−+==11120)2,2()sin,(cosθθθπizizzzzfzg1)2,2()(11−−−+=∑∫===kkzbgsidzzgI)(Re2)(1π二、型积分无穷积分实际上应理解为：（如果极限存在）积分主值：有时当上下限分别趋于时，积分的极限值不存在，但是当时极限存在，这一极限值称为积分主值，用表示。()fxdx∞−∞∫12RR=→∞..()lim()RRRVPfxdxfxdx∞−∞−→∞=∫∫∞2112,lim()RRRRIfxdx−→∞=∫方法：1.把实变数x换成复变数z，积分()Ifxdx∞−∞=∫是z平面上沿实轴从到的积分的极限值。对f(z)有以下假设（或特征）：(1)f(z)在上半平面除了有限个孤立奇点外处处解析，在实轴上没有奇点；(2)当z在上半平面及实轴上趋于时，zf(z)一致地趋于零。2.闭合回路L的构成：沿实轴从-R到R的直线(涉及到积分主值积分上下限)和以0z=为中心，半径等于R的半圆。的原因：2R1R−∞)(∞→RCR∞→R(1)时，zf(z)一致地趋于零；(2)可把f(z)在上半平面所有的奇点(只有有限个)都包围在L内。留数定理：又关键：计算1()2()lim()RnkCRkfxdxiResfbfzdzπ∞−∞→∞=⇒=−∑∫∫∫∫∫∫∫∞→∞∞−−∞→+=+=RRCRRRCRLdzzfdxxfdzzfdxxfdzzf)()(])()([)(limlim∑∫==nkkLbsfidzzf1)(Re2)(πlim()RCRfzdz→∞∫∞→R()()()max()RRRRCCCCdzdzfzdzfzdzzfzzfzzz≤=≤∫∫∫∫∵max()max()0RzfzzfzRππ==→)0)((⎯⎯→⎯∞→Rzzf∵lim()0RCRfzdz→∞∴=∫1()2()nkkfxdxiResfbπ∞−∞=⇒=∑∫说明：(1)设f(z)在上半平面有无穷个孤立奇点，此时，如果存在曲线序列，每一都与实轴上从到的直线段构成一闭合回路，在上没有f(z)的奇点，又当时，上的点z的模和都趋于，并且使得，则(2)f(z)在实轴上没有奇点这一限制在一定条件下可以放宽。例题：见P85[例4.2.23]。nbbb21,∞→m}{mCmCmR−mRmLmLmC∞zmR0)(lim=∫∞→mCmdzzf∑∫∞=∞∞−=1)(Re2)(kkbsfidxxfπ三、型积分(这类积分常见于傅里叶变换中)()()cos()sinimxfxedxfxmxdxifxmxdx∞∞∞−∞−∞−∞=+∫∫∫注:()imxfxedx∞−∞∫理解为它的积分主值.对f(z)有以下假设:1.f(z)在上半平面中除了有限个孤立奇点外解析,在实轴上没有奇点；2.当z在上半平面及实轴上趋于时，f(z)一致地趋于零。)0()(∫∞∞−mdxexfimx∞闭合回路L的构成:原积