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第1页（共128页）1．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与y轴相交于点A（0，3），与x正半轴相交于点B，对称轴是直线x=1（1）求此抛物线的解析式以及点B的坐标．（2）动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向运动，同时动点N从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿y轴正方向运动，当N点到达A点时，M、N同时停止运动．过动点M作x轴的垂线交线段AB于点Q，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒．①当t为何值时，四边形OMPN为矩形．②当t＞0时，△BOQ能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．【分析】（1）由对称轴公式可求得b，由A点坐标可求得c，则可求得抛物线解析式；再令y=0可求得B点坐标；（2）①用t可表示出ON和OM，则可表示出P点坐标，即可表示出PM的长，由矩形的性质可得ON=PM，可得到关于t的方程，可求得t的值；②由题意可知OB=OA，故当△BOQ为等腰三角形时，只能有OB=BQ或OQ=BQ，用t可表示出Q点的坐标，则可表示出OQ和BQ的长，分别得到关于t的方程，可求得t的值．【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c对称轴是直线x=1，∴﹣=1，解得b=2，∵抛物线过A（0，3），第2页（共128页）∴c=3，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3，令y=0可得﹣x2+2x+3=0，解得x=﹣1或x=3，∴B点坐标为（3，0）；（2）①由题意可知ON=3t，OM=2t，∵P在抛物线上，∴P（2t，﹣4t2+4t+3），∵四边形OMPN为矩形，∴ON=PM，∴3t=﹣4t2+4t+3，解得t=1或t=﹣（舍去），∴当t的值为1时，四边形OMPN为矩形；②∵A（0，3），B（3，0），∴OA=OB=3，且可求得直线AB解析式为y=﹣x+3，∴当t＞0时，OQ≠OB，∴当△BOQ为等腰三角形时，有OB=QB或OQ=BQ两种情况，由题意可知OM=2t，∴Q（2t，﹣2t+3），∴OQ==，BQ==|2t﹣3|，又由题意可知0＜t＜1，当OB=QB时，则有|2t﹣3|=3，解得t=（舍去）或t=；当OQ=BQ时，则有=|2t﹣3|，解得t=；综上可知当t的值为或时，△BOQ为等腰三角形．【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、矩形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）①中用t表示出PM和ON的长是解题的关键，在②中用t表示出Q点的坐标，进而表示出OQ和BQ的长是解题的关键，注意分情况讨论．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．第3页（共128页）2．如图，直线y=﹣2x+4交y轴于点A，交抛物线y=x2+bx+c于点B（3，﹣2），抛物线经过点C（﹣1，0），交y轴于点D，点P是抛物线上的动点，作PE⊥DB交DB所在直线于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）当△PDE为等腰直角三角形时，求出PE的长及P点坐标；（3）在（2）的条件下，连接PB，将△PBE沿直线AB翻折，直接写出翻折点后E的对称点坐标．【分析】（1）把B（3，﹣2），C（﹣1，0）代入y=x2+bx+c即可得到结论；（2）由y=x2﹣x﹣2求得D（0，﹣2），根据等腰直角三角形的性质得到DE=PE，列方程即可得到结论；（3）①当P点在直线BD的上方时，如图1，设点E关于直线AB的对称点为E′，过E′作E′H⊥DE于H，求得直线EE′的解析式为y=x﹣，设E′（m，m﹣），根据勾股定理即可得到结论；②当P点在直线BD的下方时，如图2，设点E关于直线AB的对称点为E′，过E′作E′H⊥DE于H，得到直线EE′的解析式为y=x﹣3，设E′（m，m﹣3），根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：（1）把B（3，﹣2），C（﹣1，0）代入y=x2+bx+c得，，∴，∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣2；第4页（共128页）（2）设P（m，m2﹣m﹣2），在y=x2﹣x﹣2中，当x=0时，y=﹣2，∴D（0，﹣2），∵B（3，﹣2），∴BD∥x轴，∵PE⊥BD，∴E（m，﹣2），∴DE=m，PE=m2﹣m﹣2+2，或PE=﹣2﹣m2+m+2，∵△PDE为等腰直角三角形，且∠PED=90°，∴DE=PE，∴m=m2﹣m，或m=﹣m2+m，解得：m=5，m=1，m=0（不合题意，舍去），∴PE=5或1，P（1，﹣3），或（5，3）；（3）①当P点在直线BD的上方时，如图1，设点E关于直线AB的对称点为E′，过E′作E′H⊥DE于H，由（2）知，此时，E（5，﹣2），∴DE=5，∴BE′=BE=2，∵EE′⊥AB，∴设直线EE′的解析式为y=x+b，∴﹣2=×5+b，∴b=﹣，∴直线EE′的解析式为y=x﹣，设E′（m，m﹣），∴E′H=﹣2﹣m+=﹣m，BH=3﹣m，第5页（共128页）∵E′H2+BH2=BE′2，∴（﹣m）2+（3﹣m）2=4，∴m=，m=5（舍去），∴E′（，﹣）；②当P点在直线BD的下方时，如图2，设点E关于直线AB的对称点为E′，过E′作E′H⊥DE于H，由（2）知，此时，E（1，﹣2），∴DE=1，∴BE′=BE=2，∵EE′⊥AB，∴设直线EE′的解析式为y=x+b，∴﹣2=×1+b，∴b=﹣，∴直线EE′的解析式为y=x﹣，设E′（m，m﹣），∴E′H=m﹣+2=m﹣，BH=m﹣3，∵E′H2+BH2=BE′2，∴（m﹣）2+（m﹣3）2=4，∴m=4.2，m=1（舍去），∴E′（4.2，﹣0.4），综上所述，E的对称点坐标为（，﹣），（4.2，﹣0.4）．第6页（共128页）【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角形的性质，勾股定理，折叠的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．3．已知，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2，D是AC边上的一个动点，将△ABD沿BD所在直线折叠，使点A落在点P处．（1）如图1，若点D是AC中点，连接PC．①写出BP，BD的长；②求证：四边形BCPD是平行四边形．（2）如图2，若BD=AD，过点P作PH⊥BC交BC的延长线于点H，求PH的长．【分析】（1）①分别在Rt△ABC，Rt△BDC中，求出AB、BD即可解决问题；②想办法证明DP∥BC，DP=BC即可；第7页（共128页）（2）如图2中，作DN⊥AB于N，PE⊥AC于E，延长BD交PA于M．设BD=AD=x，则CD=4﹣x，在Rt△BDC中，可得x2=（4﹣x）2+22，推出x=，推出DN==，由△BDN∽△BAM，可得=，由此求出AM，由△ADM∽△APE，可得=，由此求出AE=，可得EC=AC﹣AE=4﹣=由此即可解决问题．【解答】解：（1）①在Rt△ABC中，∵BC=2，AC=4，∴AB==2，∵AD=CD=2，∴BD==2，由翻折可知，BP=BA=2．②如图1中，∵△BCD是等腰直角三角形，∴∠BDC=45°，∴∠ADB=∠BDP=135°，∴∠PDC=135°﹣45°=90°，∴∠BCD=∠PDC=90°，∴DP∥BC，∵PD=AD=BC=2，∴四边形BCPD是平行四边形．（2）如图2中，作DN⊥AB于N，PE⊥AC于E，延长BD交PA于M．第8页（共128页）设BD=AD=x，则CD=4﹣x，在Rt△BDC中，∵BD2=CD2+BC2，∴x2=（4﹣x）2+22，∴x=，∵DB=DA，DN⊥AB，∴BN=AN=，在Rt△BDN中，DN==，由△BDN∽△BAM，可得=，∴=，∴AM=2，∴AP=2AM=4，由△ADM∽△APE，可得=，∴=，∴AE=，∴EC=AC﹣AE=4﹣=，易证四边形PECH是矩形，∴PH=EC=．【点评】本题考查四边形综合题、勾股定理．相似三角形的判定和性质、翻折变换、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题．第9页（共128页）4．如图，正方形ABCD的边长为1，点E为边AB上一动点，连结CE并将其绕点C顺时针旋转90°得到CF，连结DF，以CE、CF为邻边作矩形CFGE，GE与AD、AC分别交于点H、M，GF交CD延长线于点N．（1）证明：点A、D、F在同一条直线上；（2）随着点E的移动，线段DH是否有最小值？若有，求出最小值；若没有，请说明理由；（3）连结EF、MN，当MN∥EF时，求AE的长．【分析】（1）由△DCF≌△BCE，可得∠CDF=∠B=90°，即可推出∠CDF+∠CDA=180°，由此即可证明．（2）有最小值．设AE=x，DH=y，则AH=1﹣y，BE=1﹣x，由△ECB∽△HEA，推出=，可得=，推出y=x2﹣x+1=（x﹣）2+，由a=1＞0，y有最小值，最小值为．（3）只要证明△CFN≌△CEM，推出∠FCN=∠ECM，由∠MCN=45°，可得∠FCN=∠ECM=∠BCE=22.5°，在BC上取一点G，使得GC=GE，则△BGE是等腰直角三角形，设BE=BG=a，则GC=GE=a，可得a+a=1，求出a即可解决问题；【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴CD=CB，∠BCD=∠B=∠ADC=90°，∵CE=CF，∠ECF=90°，∴∠ECF=∠DCB，∴∠DCF=∠BCE，∴△DCF≌△BCE，∴∠CDF=∠B=90°，第10页（共128页）∴∠CDF+∠CDA=180°，∴点A、D、F在同一条直线上．（2）解：有最小值．理由：设AE=x，DH=y，则AH=1﹣y，BE=1﹣x，∵四边形CFGE是矩形，∴∠CEG=90°，∴∠CEB+∠AEH=90°CEB+∠ECB=90°，∴∠ECB=∠AEH，∵∠B=∠EAH=90°，∴△ECB∽△HEA，∴=，∴=，∴y=x2﹣x+1=（x﹣）2+，∵a=1＞0，∴y有最小值，最小值为．∴DH的最小值为．（3）解：∵四边形CFGE是矩形，CF=CE，∴四边形CFGE是正方形，∴GF=GE，∠GFE=∠GEF=45°，∵NM∥EF，∴∠GNM=∠GFE，∠GMN=∠GEF，∴∠GMN=∠GNM，∴GN=GM，∴FN=EM，∵CF=CE，∠CFN=∠CEM，第11页（共128页）∴△CFN≌△CEM，∴∠FCN=∠ECM，∵∠MCN=45°，∴∠FCN=∠ECM=∠BCE=22.5°，在BC上取一点G，使得GC=GE，则△BGE是等腰直角三角形，设BE=BG=a，则GC=GE=a，∴a+a=1，∴a=﹣1，∴AE=AB﹣BE=1﹣（﹣1）=2﹣．【点评】本题考查四边形综合题、正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，学会构建二次函数解决最值问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．5．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A（3，0），D（﹣1，0），与y轴交于点C，点B在y轴正半轴上，且OB=OD．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，抛物线的顶点为点E，对称轴交x轴于点M，连接BE，AB，请在抛物线的对称轴上找一点Q，使∠QBA=∠BEM，求出点Q的坐标；（3）如图2，过点C作CF∥x轴，交抛物线于点F，连接BF，点G是x轴上一点，在抛物线上是否存在点N，使以点B，F，G，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．第12页（共128页）【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）首先证明BE⊥AB，分两种情形求解①作BQ⊥EM交EM于Q，由∠ABQ+∠EBQ=90°，∠EBQ+∠BEM=90°，推出∠ABQ=∠BEM，满足条件，此时Q（1，1）．②当点Q在AB的下方时，设Q（1，m），AB交EM于K．易知K（1，），由△Q′BK∽△Q′EB，可得Q′B2=Q′K•Q′E，列出方程即可解决问题；（3）由题意可知当点N的纵坐标为±2时，以点B，F，G，N为顶点的四边形是平行四边形，当N与E重合，G与M重合时，四边形BNFG是平行四边形，由此即可解决问题