直线方程的两点式和一般式

高中数学必修2第二章解释几何初步复习引入•过点P(x0，y0)，斜率为k的直线方程是：y-y0=k(x-x0)(点斜式）1212xxyyk)(21xx在直线上任取两个不同点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则直线斜率k是：P1(x1,y1)0●●P2(x2,y2)xy提出问题：•如图所示，如果已知直线L上两点A(x1,y1),B(x2,y2),（其中x1≠x2)（1）求直线L的斜率k.1212xxyyk（2）求直线L的方程.A(x1,y1)0●●B(x2,y2)xy)(112121xxxxyyyy可化为（由点斜式方程得）：y-y0=k(x-x0))(112121xxxxyyyy121121xxxxyyyy这个方程称为直线方程的两点式这两点的坐标分别是(x1,y1)和(x2,y2)平面几何:两点确定一条直线;解释几何:两点的坐标确定一条直线方程.21xx例题分析解：∵直线L经过点P（a,0），Q（0,b）∴由直线方程两点式得例5求经过两点P（a,0），Q（0,b）的直线方程（其中ab≠0）.121121xxxxyyyyaaxby000整理得1byax通常称它为直线方程的截距式.其中a为直线在x轴上的截距，b为直线在y轴上的截距.分析:已知直线上两点的坐标,可以运用直线方程两点式求解.P（a,0）xy0Q（0,b）●●x轴上的截距ay轴上的截距b1byax由截距式可得到过P点和Q点的直线方程引入重点•前面学习了如何根据所给条件求出直线方程的方法，看下面问题：•问：说出过点P（2，1），斜率为2的直线的方程，并观察方程属于哪一类，为什么？•答：由点斜式得，直线方程是y-1=2(x-2)，•整理得：2x-y-3=0•属于二元一次方程，•因为未知数有两个，它们的最高次数为一次．再看一个问题：问：求出过点P（2，-1），Q（3，1），的直线的方程，并观察方程属于哪一类，为什么？整理得：2x-y-5=0也属于二元一次方程，因为未知数有两个，它们的最高次数为一次．启发：你想到了什么？谁来谈谈？各小组可以讨论讨论．答：由直线方程两点式得：232)1(1)1(xy【问题1】“任意直线的方程都是二元一次方程吗？”在平面直角坐标系中，直线可以分为两类.直线与x轴不垂直（k存在）直线与x轴垂直（k不存在）由点斜式,得：y-y0=k(x-x0)可化为：kx-y-kx0+y0=0由图像,得：x=x0可化为：x+0●y-x0=0对于过点Ｐ(x0,y0)的直线方程两者都是关于x,y的二元一次方程．任意一条直线可以用关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不同时为0)来表示．xy0Ｐ(x0,y0)●xy0Ｐ(x0,y0)●【问题2】“任意形如Ax+By+C=0（其中A、B不同时为0）的二元一次方程都表示一条直线吗？”Ax+By+C=0（其中A、B不同时为0）Ｂ≠0时，BCxBAy表示一条不垂直x轴的直线Ｂ＝0时,则A≠0,ACx表示一条垂直x轴的直线关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0（其中A、B不同时为0）表示的是一条直线，我们把它叫作直线方程的一般式.就是直线的斜率BA例题分析例6如图所示，已知直线经过点A（4,-3），斜率为，求直线的点斜式方程，并化为一般式方程.32011A（4,-3）●xy解：由已知点斜式方程为)4(323xy化为一般式方程为2x+3y+1=0.分析：由点斜式y-y0=k(x-x0)得到直线方程,再化为一般式Ax+By+C=0的形式.例7已知三角形三个顶点分别是A（-3，0），B（2，-2），C（0，1）.求这个三角形三边各自所在直线的方程.解：xy01A（-3，0）B（2，-2）C（0，1）如图∵直线AB过A（-3，0），B（2，-2）两点，∴由两点式得121121xxxxyyyy)3(2)3(020xy整理得2x+5y+6=0.这就是直线AB的方程;分析：已知两点的坐标，可以直接运用两点式求直线的方程.∵直线AC过A（-3，0），C（0，1）两点，∴由两点式得)3(0)3(010xy整理得x-3y+3=0.这就是直线AC的方程;又∵直线BC过B（2，-2），C（0，1）两点，∴由两点式得202)2(1)2(xy整理得3x+2y-2=0.这就是直线BC的方程.例8已知直线L的方程为求直线L的倾斜角.043yx解：直线Ｌ的斜率3331BAk设直线Ｌ的倾斜角为，则33tan（00≤＜1800）由于k0，所以00900，故直线Ｌ的倾斜角＝300分析：由直线方程一般式（Ax+By+C=0）可知直线斜率k=,再由斜率求出对应的倾斜角.BA练习2、已知Ａ(２，２)，Ｂ(２，５)在直线Ｌ上，求Ｌ的方程.1、求经过点（－４，５），且斜率为－２的直线方程，并化为一般式.3、求过点（，－５），倾斜角等于直线倾斜角的一半的直线方程，并化为一般式.313xy2x+y+3=0x=2（这里不能用两点式，可用图像法求直线方程.）0633yx小结１、直线方程的两点式：121121xxxxyyyy２、直线方程的一般式：关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0（其中A、B不同时为0）表示的是一条直线作业：Ｐ73练习２第1、２、４、５、７、９题21xx