排列组合问题的分类解法

1、合理分类和准确分步2、特殊元素和特殊位置问题3、相邻相间问题4、定序问题5、分房问题6、环排、多排问题11、小集团问题9、先选后排问题8、平均分组问题10、构造模型策略7、枚举法12、其它特殊方法排列组合应用题解法综述（目录）特殊元素（或特殊位置）优先安排例1.将5列车停在5条不同的轨道上，其中a列车不停在第一轨道上，b列车不停在第二轨道上，那么不同的停放方法有（）（A）120种（B）96种（C）78种（D）72种782334455AAA在由数字0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被５整除的数共有_____个．练习1例2、用１、２、３、４、５、６、７、８组成没有重复数字的八位数，要求１与２相邻，３与４相邻，５与６相邻，而７与８不相邻，这样的八位数共有______个．（用数字作答）回目录相邻与不相邻问题“相邻”用“捆绑”，“不邻”就“插空”例3、七人排成一排，甲、乙两人必须相邻，且甲、乙都不与丙相邻，则不同的排法有（）种（A）960种（B）840种（C）720种（D）600种回目录某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为（）练习220回目录例4、有4名男生，3名女生。3名女生高矮互不等，将7名学生排成一行，要求从左到右，女生从矮到高排列，有多少种排法？顺序固定问题用“除法”对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先将这几个元素与其它元素一同进行排列，然后用总的排列数除以这几个元素的全排列数.回目录住店法解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素：一类元素可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解。例5、七名学生争夺五项冠军，每项冠军只能由一人获得，获得冠军的可能的种数有（）A.B.CD.577557A57C回目录A某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法（）87练习3回目录环排问题线排策略例6.5人围桌而坐,共有多少种坐法?解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人A并从此位置把圆形展成直线其余4人共有____种排法即44AABCEDDAABCE（5-1)！一般地,n个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种排法.如果从n个不同元素中取出m个元素作圆形排列共有1mnmA回目录练习46颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈？120多排问题直排策略例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丁在后排,共有多少排法解:8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.先在前4个位置排甲乙两个特殊元素有____种,再排后4个位置上的特殊元素有_____种,其余的5人在5个位置上任意排列有____种,则共有_________种.前排后排24A14A55A24A55A14A一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研究.回目录小集团问题先整体局部策略例8.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹在1,５之间,这样的五位数有多少个？31524小集团小集团排列问题中，先整体后局部，再结合其它策略进行处理。回目录１.计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,４幅油画,５幅国画,排成一行陈列,要求同一品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为_______2.5男生和５女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有_______种255255AAA254254AAA回目录练习5元素相同问题隔板策略应用背景：相同元素的名额分配问题不定方程的正整数解问题隔板法的使用特征：相同的元素分成若干部分，每部分至少一个元素相同问题隔板策略例9.有10个运动员名额，在分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成９个空隙。在９个空档中选６个位置插个隔板，可把名额分成７份，对应地分给７个班级，每一种插板方法对应一种分法共有___________种分法。一班二班三班四班五班六班七班69C将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数）,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为11mnC回目录练习6（1）将10个学生干部的培训指标分配给7个不同的班级，每班至少分到一个名额，不同的分配方案共有（）种。6984C（2）不定方程的正整数解共有（）组123710xxxx6984C回目录（3）高二年级8个班,组织一个12个人的年级学生分会,每班要求至少1人,名额分配方案有多少种?平均分组问题除法策略例10.6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？解:分三步取书得种方法,但这里出现重复计数的现象,不妨记6本书为ABCDEF若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF该分法记为(AB,CD,EF),则中还有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有种取法,而这些分法仅是(AB,CD,EF)一种分法,故共有种分法。222642CCC222642CCC33A222642CCC33A平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以(n为均分的组数)避免重复计数。nnA回目录1将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队,有多少分法？2.10名学生分成3组,其中一组4人,另两组3人但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的分组方法（1540）544138422CCCA3.某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为______2226422290ACCA回目录练习7构造模型策略例.马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2盏或3盏,也不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯方法有多少种？解：把此问题当作一个排队模型在6盏亮灯的5个空隙中插入3个不亮的灯有________种35C一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型，如占位填空模型，排队模型，装盒模型等，可使问题直观解决回目录练习8某排共有10个座位，若4人就坐，每人左右两边都有空位，那么不同的坐法有多少种？120回目录八.排列组合混合问题先选后排策略例.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共有__种方法.再把5个元素(包含一个复合元素)装入4个不同的盒内有_____种方法.25C44A根据分步计数原理装球的方法共有_____25C44A解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想.此法与相邻元素捆绑策略相似吗?回目录实验法（穷举法）题中附加条件增多，直接解决困难时，用实验逐步寻求规律有时也是行之有效的方法。例将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格内，每个方格填1个，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法种数有（）A.6B.9C.11D.23分析：此题考查排列的定义，由于附加条件较多，解法较为困难，可用实验法逐步解决。第一方格内可填2或3或4。如填2，则第二方格中内可填1或3或4。若第二方格内填1，则第三方格只能填4，第四方格应填3。若第二方格内填3，则第三方格只能填4，第四方格应填1。同理，若第二方格内填4，则第三方格只能填1，第四方格应填3。因而，第一格填2有3种方法。不难得到，当第一格填3或4时也各有3种，所以共有9种。回目录实际操作穷举策略例.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,23,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,.有多少投法？解：从5个球中取出2个与盒子对号有_____种还剩下3球3盒序号不能对应，利用实际操作法，如果剩下3,4,5号球,3,4,5号盒3号球装4号盒时，则4,5号球有只有1种装法3号盒4号盒5号盒34525C回目录实际操作穷举策略例.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,23,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,.有多少投法？解：从5个球中取出2个与盒子对号有_____种还剩下3球3盒序号不能对应，25C利用实际操作法，如果剩下3,4,5号球,3,4,5号盒3号球装4号盒时，则4,5号球有只有1种装法,25C同理3号球装5号盒时,4,5号球有也只有1种装法,由分步计数原理有2种回目录练习：（不对号入座问题）（1）（2004湖北）将标号为1，2，3，……，10的10个球放入标号为1，2，3，……，10的10个盒子中，每个盒内放一个球，恰好有3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法有___________种3102C（2）编号为1、2、3、4、5的五个球放入编号为1、2、3、4、5的五个盒子里，至多有2个对号入座的情形有___________种109直接法：3455552944109CCC间接法：535511109AC回目录注意区别“恰好”与“至少”从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的手套的不同取法共有（）(A)480种（B）240种（C）180种（D）120种小结：“恰好有一个”是“只有一个”的意思。“至少有一个”则是“有一个或一个以上”，可用分类讨论法求解，它也是“没有一个”的反面，故可用“排除法”。解：12116522240CCCC回目录练习从6双不同颜色的手套中任取4只，其中至少有一双同色手套的不同取法共有____种解：44141262()255CCC回目录对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，往往利用穷举法或画出树状图会收到意想不到的结果练习题1.同一寝室4人,每人写一张贺年卡集中起来,然后每人各拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有多少种？(9)2.给图中区域涂色,要求相邻区域不同色,现有4种可选颜色,则不同的着色方法有____种2134572