鲁教版九下5.3垂径定理

鲁教版数学教材九年级下册第五章圆学科网复习提问：圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它们的对称轴.看一看，猜一猜B.OCAEDO.CAEBDAE≠BEAE＝BE直径CD分弦AB所成的两条线段有什么变化？做一做•如图：AB是⊙O的一条弦.（2）你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法和理由.作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M.●O（1）下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?ABCDM└AM=BM你能用一句话表达上述结论吗？⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.等量关系：垂径定理：●OABCDM└∴点A和点B关于CD对称.∵⊙O关于直径CD对称,∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,⌒⌒AC和BC重合,⌒⌒AD和BD重合.⌒⌒∴AC=BC,⌒⌒AD=BD.垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧∵OA=OB,OM⊥AB∴AM=BM.证明：连接OA,OB求证：AM=BM已知：如图：AB是⊙O的一条弦.CD是直径,且CD⊥AB,垂足为M.⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.CD⊥AB,如图∵CD是直径,∴AM=BM,⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.符号语言：•定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.•老师提示:•垂径定理是圆中一个重要的结论,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.●OABCDM└CD⊥AB,如图∵CD是直径,∴AM=BM,⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.看下列图形，能否使用垂径定理?为什么?EEEEEE学科网zxxkw学科网例1如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求⊙O的半径。解：过点O作OE⊥AB，垂足为E，连结OA。则OE＝3.AEBO典例精析∵AB＝8，∴AE＝BE＝4在RtAOE中，根据勾股定理得5432222OEAEOA∴⊙O的半径为5厘米。ODCBAM如图，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，且CD⊥AB，已知CD=20，CM=4，求AB。└变式训练例2已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。求证：AC＝BD。证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，则AE＝BE，CE＝DE。AE－CE＝BE－DE。所以，AC＝BDE.ACDBO典例精析•如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧相等吗?•提示:这两条弦在圆中位置有两种情况:●OABCD1.两条弦在圆心的同侧●OABCD2.两条弦在圆心的两侧结论：圆的两条平行弦所夹的弧相等.MM思考：已知：⊙O中，弦AB∥CD。求证：AC＝BD⌒⌒证明：作直径MN⊥AB。∵AB∥CD，∴MN⊥CD。∴AM＝BM，CM＝DM（垂直于弦的直径，平分弦所对的两条弧）AM－CM＝BM－DM∴AC＝BD⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒.MCDABON思考1讲解1.两条弦在圆心的同侧CD⊥AB,垂径定理的逆定理•AB是⊙O的一条弦（不是直径）,M是AB上一点，且AM=BM.（2）你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法和理由.过点M作直径CD.●O（1）下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?CD由CD是直径AM=BM可推得⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.●MAB┗即：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.想一想：为什么？举例说明●O例3：平分弧AB典例精析你能说明其中的道理吗？分析:要平分AB,只要画垂直于弦AB的直径.而这条直径应在弦AB的垂直平分线上.因此画AB的垂直平分线就能把AB平分.⌒1.连结AB;⌒2.作线段AB的垂直平分线CD,交AB与点E;作法:∴点E就是所求AB的中点.⌒CDABＭFG错在哪里？1．作AB的垂直平分线CD2．作AT、BT的垂直平分线EF、GHＴＥＮＨＰ强调：等分弧时一定要作弧所对的弦的垂直平分线．变式一：求弧AB的四等分点．变式一：求弧AB的四等分点．CDABEFGmn变式二：你能确定弧AB所在圆的圆心吗？OABCab方法：只要在圆弧上任意取三点，连结两条弦，画这两条弦的垂直平分线，交点即为圆弧所在圆的圆心．根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说。如果具备（1）过圆心（2）垂直于弦（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论注意试一试ו1、判断：•⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.（）•⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧.（）•⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（）•⑷圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行.（)•⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧.（）√×√√•2、已知：如图，⊙O中，AB为弦，C为弧AB的中点，OC交AB于D，AB=6cm，CD=1cm.求⊙O的半径OA..ABcO.D•3.如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、H,矩形的宽AB=2，EF=10,HG=6.求半径的长.·ABCD0EFGHMN小结:1.垂径定理：2.垂径定理的逆定理：●OABCDM└E3.解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。.CDABOMNE.ACDBO.ABO检测1.（1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧…………………………………………..()（2）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且经过圆心……………………………………..()（3）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分…………………………………………...()（4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧………………………………………()（5）圆内两条非直径的弦不能互相平分（）×√××√2.已知：AB是⊙O直径，CD是弦，AE⊥CD，BF⊥CD求证：EC＝DF.AOBECDF已知：AB和CD是⊙O内的两条平行弦，AB=6cm，CD=8cm，⊙O的半径为5cm，思考题：（1）请根据题意画出符合条件的图形（2）求出AB、与CD间的距离。OBADC（1）OBADC（2）根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说。如果具备（1）过圆心（2）垂直于弦（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论注意