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高中数学选修2-1《圆锥曲线与方程》单元过关平行性测试卷（A卷）一、单选题：本大题共6小题，每小题6分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设椭圆𝐶:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎𝑏0)的短轴长为2√7，离心率为34.则椭圆C的方程为（）A．𝑥216+𝑦27=1B．𝑥216+𝑦29=1C．𝑥264+𝑦228=1D．𝑥264+𝑦236=12．“𝑚=1”是“双曲线𝑥2𝑚−𝑦23=1的离心率为2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．过抛物线𝐶:𝑦2=4𝑥的焦点𝐹，且斜率为√3的直线交𝐶于点𝑀（𝑀在𝑥轴上方），𝑙为𝐶的准线，点𝑁在𝑙上且𝑀𝑁⊥𝑙，则𝑀到直线𝑁𝐹的距离为（）A．√5B．2√2C．3√3D．2√34．椭圆𝑥216+𝑦29=1中，以点𝑀(−1,2)为中点的弦所在的直线斜率为（）A．916B．932C．964D．−9325．已知方程𝑥24−𝑡+𝑦2𝑡−1=1的曲线为C，下面四个命题中正确的个数是（）①当1𝑡4时，曲线C不一定是椭圆；②当𝑡4或𝑡1时，曲线C一定是双曲线；③若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则1𝑡52；④若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则𝑡4.A．1B．2C．3D．46．设P是椭圆𝑥2169+𝑦225=1上一点，M，N分别是两圆：(𝑥+12)2+𝑦2=1和(𝑥−12)2+𝑦2=1上的点，则|𝑃𝑀|+|𝑃𝑁|的最小值、最大值分别为（）A．18，24B．16，22C．24，28D．20，26二、填空题：本大题共4小题，每小题6分.7．已知双曲线的两个焦点为𝐹1(−√10,0)、𝐹2(√10,0)，渐近线为𝑦=±12𝑥，则双曲线的标准方程为．8．给出下列四个结论：①当a为任意实数时，直线（a﹣1）x﹣y+2a+1=0恒过定点P，则过点P且焦点在y轴上的抛物线的标准方程是𝑥2=43𝑦；②已知双曲线的右焦点为（5，0），一条渐近线方程为2x﹣y=0，则双曲线的标准方程是𝑥25−𝑦220=1；③抛物线𝑦=𝑎𝑥2(𝑎≠0)的准线方程为𝑦=−14𝑎.④已知双曲线𝑥24+𝑦2𝑚=1，其离心率e∈（1，2），则m的取值范围是（﹣12，0）．其中正确命题的序号是．（把你认为正确命题的序号都填上）9．已知抛物线𝐶：𝑦2=2𝑝𝑥(𝑝0)的焦点为𝐹，准线为𝑙，抛物线𝐶有一点𝑃，过点𝑃作𝑃𝑀⊥𝑙，垂足为𝑀，若等边𝛥𝑃𝑀𝐹的面积为4√3，则𝑝=_．10．在平面直角坐标系xOy中，椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(a＞b＞0)的左焦点为F，右顶点为A，P是椭圆上一点，𝑙为左准线，𝑃𝑄⊥𝑙，垂足为Q.若四边形PQFA为平行四边形，则椭圆的离心率e的取值范围是_________．三、解答题：本大题共3小题，11题10分，12、13题每题15分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.11．已知抛物线𝐶:𝑦2=2𝑝𝑥过点𝐴(1,1)．（I）求抛物线C的方程；（II）求过点𝑃(3,−1)的直线与抛物线C交于M，N两个不同的点（均与点A不重合）．设直线AM，AN的斜率分别为𝑘1，𝑘2，求证：𝑘1⋅𝑘2为定值．12．已知椭圆𝐶：𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1（𝑎𝑏0）的离心率𝑒=√63，且右焦点为( 2√2 , 0 )．斜率为1的直线𝑙与椭圆𝐶交于𝐴、𝐵两点，以𝐴𝐵为底边作等腰三角形，顶点为𝑃( −3 , 2 )．（Ⅰ）求椭圆𝐶的标准方程；（Ⅱ）求△𝑃𝐴𝐵的面积．13．已知动圆𝑃过点𝐹2(2,0)并且与圆𝐹1:(𝑥+2)2+𝑦2=4相外切，动圆圆心𝑃的轨迹为𝐶.（I）求曲线𝐶的轨迹方程；（II）过点𝐹2(2,0)的直线𝑙1与轨迹𝐶交于𝐴、𝐵两点，设直线𝑙:𝑥=12，点𝐷(−1,0)，直线𝐴𝐷交𝑙于𝑀,求证：直线𝐵𝑀经过定点(1,0).高中数学选修2-1《圆锥曲线与方程》单元过关平行性测试卷（A卷）参考答案1．A解析：由题意可得{2𝑏=2√7𝑒=𝑐𝑎=34𝑎2=𝑏2+𝑐2，解得𝑎=4,𝑏=√7，所以椭圆的方程为𝑥216+𝑦27=1，2．C解析：∵双曲线𝑥2𝑚−𝑦23=1的离心率为2，∴𝑎2=𝑚0,𝑏2=3，∵𝑒=𝑐𝑎=√1+𝑏2𝑎2=√1+3𝑚=2，∴𝑚=1。∴“𝑚=1”是“双曲线𝑥2𝑚−𝑦23=1的离心率为2”的充要条件。选C。3．D解析：抛物线C：y2=4x的焦点F（1，0），且斜率为√3的直线：y=√3（x-1），过抛物线C：y2=4x的焦点F，且斜率为√3的直线交C于点M（M在x轴上方），联立{𝑦2=4𝑥𝑦=√3(𝑥−1)∴𝑀(3,2√3)可得N（-1，2√3），NF的方程为：y=-√3（x-1），即√3𝑥+𝑦−√3=0则M到直线NF的距离为：|3√3+2√3−√3|√3+1=2√3，4．B解析：设该直线与椭圆𝑥216+𝑦29=1交于𝐴(𝑥1,𝑦1),𝐵(𝑥2,𝑦2)，则{𝑥1216+𝑦129=1𝑥2216+𝑦229=1，则(𝑥1+𝑥2)(𝑥1−𝑥2)16=−(𝑦1+𝑦2)(𝑦1−𝑦2)9，则−2(𝑥1−𝑥2)16=−4(𝑦1−𝑦2)9，所以𝑦1−𝑦2𝑥1−𝑥2=2×916×4=932.5．D解析：对于①，当𝑡=52时，曲线表示为圆，所以不一定是椭圆，所以①正确对于②，当𝑡4时表示焦点在y轴上的双曲线，当𝑡1曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，所以一定是双曲线，所以②正确对于③若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则{4−𝑡0𝑡−104−𝑡𝑡−1，解得1𝑡52，所以③正确对于④若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则{4−𝑡0𝑡−10，解得𝑡4，所以④正确综上，四个选项都正确6．C解析：椭圆的两个焦点坐标为𝐹1(−12,0),𝐹2(12,0)，且恰好为两个圆的圆心坐标所以|𝑃𝐹1|+|𝑃𝐹2|=26，两个圆的半径相等且等于1所以(|𝑃𝑀|+|𝑃𝑁|)min=|𝑃𝐹1|+|𝑃𝐹2|−2𝑟=24(|𝑃𝑀|+|𝑃𝑁|)max=|𝑃𝐹1|+|𝑃𝐹2|+2𝑟=287．𝑥28−𝑦22=1解析因为双曲线的两个焦点为𝐹1(−√10,0)、𝐹2(√10,0)，∴𝑐=√10,𝑎2+𝑏2=10，又∵渐近线为𝑦=±12𝑥，∴𝑏𝑎=12，𝑎=2𝑏,5𝑏2=10,𝑏2=2,𝑎2=8，∴双曲线方程为𝑥28−𝑦22=1，故答案为𝑥28−𝑦22=1.8．①②③④解析：①整理直线方程得（x+2）a+（1﹣x﹣y）=0，可知直线（a﹣1）x﹣y+2a+1=0恒过定点P（﹣2，3），故符合条件的方程是𝑥2=43𝑦，则①正确；②依题意知𝑏𝑎=2，a2+b2=25，得a=√5，b=2√5，则双曲线的标准方程是𝑥25−𝑦220=1，故可知结论②正确．③抛物线方程得x2=1𝑎y，可知准线方程为𝑦=−14𝑎，故③正确．④离心率1＜e=√4−𝑚2＜2，解得﹣12＜m＜0，又m＜0，故m的范围是﹣12＜m＜0，④正确，故其中所有正确结论的个数是：49．2解析：设准线l和x轴交于N点，PM平行于x轴，∠𝑃𝑀𝐹=∠𝑀𝐹𝑁=600,由抛物线的定义得到|NF|=p,故|MF|=2p,故√34(2𝑝)2=4√3∴𝑝=2.10．(-1+√2,1)解析：设P（x，y），则∵PQ⊥l，四边形PQFA为平行四边形，∴|PQ|=x+𝑎2𝑐=a+c，可得x=a+c﹣𝑎2𝑐∵椭圆上点P的横坐标满足x∈[﹣a，a]，且P、Q、F、A不在一条直线上∴﹣a＜a+c﹣𝑎2𝑐＜a，即2a+c﹣𝑎2𝑐＞0且c﹣𝑎2𝑐＜0化简得2+e﹣1𝑒＞0，即e2+2e﹣1＞0解之得e＜−1−√2或e＞−1+√2∵椭圆的离心率e∈（0，1）∴椭圆的离心率e的取值范围是（−1+√2，1）11．解（I）由题意得2𝑝=1，所以抛物线方程为𝑦2=𝑥．（II）设𝑀(𝑥1,𝑦1)，𝑁(𝑥2,𝑦2)，直线MN的方程为𝑥=𝑡(𝑦+1)+3，代入抛物线方程得𝑦2−𝑡𝑦−𝑡−3=0．所以𝛥=(𝑡+2)2+80，𝑦1+𝑦2=𝑡，𝑦1𝑦2=−𝑡−3．所以𝑘1⋅𝑘2=𝑦1−1𝑥1−1⋅𝑦2−1𝑥2−1=𝑦1−1𝑦12−1⋅𝑦2−1𝑦22−1=1(𝑦1+1)(𝑦2+1)=1𝑦1𝑦2+𝑦1+𝑦2+1=1−𝑡−3+𝑡+1=−12,所以𝑘1，𝑘2是定值．12．解：（Ⅰ）由已知得𝑐=2√2，𝑐𝑎=√63，解得𝑎=2√3．𝑏2=𝑎2−𝑐2=4，∴椭圆的标准方程𝑥212+𝑦24=1．（Ⅱ）设直线𝑙的方程为𝑦=𝑥+𝑚，代入椭圆方程得4𝑥2+6𝑚𝑥+3𝑚2−12=0…………①，设𝐴( 𝑥1 , 𝑦1 )、𝐵( 𝑥2 , 𝑦2 )，𝐴𝐵中点为𝐸( 𝑥0 , 𝑦0 )，则𝑥0=𝑥1+𝑥22=−3𝑚4，𝑦0=𝑥0+𝑚=𝑚4因为𝐴𝐵是等腰△𝑃𝐴𝐵的底边，所以𝑃𝐸⊥𝐴𝐵．所以𝑃𝐸的斜率为𝑘=2−𝑚4−3+3𝑚4=−1，解得𝑚=2，此时方程①为4𝑥2+12𝑥=0．解得𝑥1=−3，𝑥2=0，所以𝑦1=−1，𝑦2=2，所以|𝐴𝐵|=3√2，此时，点𝑃( −3 , 2 )到直线𝐴𝐵：𝑥−𝑦+2=0的距离𝑑=|−3−2+2|√2=3√22，所以△𝑃𝐴𝐵的面积𝑆=12|𝐴𝐵|⋅𝑑=92．13．解：（I）由已知得|𝑃𝐹1|=|𝑃𝐹2|+2，即|𝑃𝐹1|−|𝑃𝐹2|=2，所以𝑃的轨迹𝐶为双曲线的右支，且2𝑎=2，𝑎=1，|𝐹1𝐹2|=2𝑐=4，𝑐=2，∴𝑏=√𝑐2−𝑎2=√3，∴曲线𝐶的标准方程为𝑥2−𝑦23=1(𝑥0).（II）当直线𝑙1的斜率不存在时，𝐴(2,3)，𝐵(2,−3)，𝑀(12,32)，则直线𝐵𝑀经过点𝐸(1,0)；当直线𝑙1的斜率存在时，不妨设直线𝑙1:𝑦=𝑘(𝑥−2)，𝐴(𝑥1,𝑦1)，𝐵(𝑥2,𝑦2)，则直线𝐴𝐷：𝑦=𝑦1𝑥1+1(𝑥+1)，当𝑥=12时，𝑦𝑀=3𝑦12(𝑥1+1)，𝑀(12,3𝑦12(𝑥1+1))，由{𝑦=𝑘(𝑥−2)3𝑥2−𝑦2=3得(3−𝑘2)𝑥2+4𝑘2𝑥−(4𝑘2+3)=0，所以𝑥1+𝑥2=−4𝑘23−𝑘2，𝑥1𝑥2=4𝑘2+3𝑘2−3，下面证明直线𝐵𝑀经过点𝐸(1,0)，即证𝑘𝐸𝑀=𝑘𝐸𝐵，即−3𝑦1𝑥1+1=𝑦2𝑥2−1，即−3𝑦1𝑥2+3𝑦1=𝑥1𝑦2+𝑦2，由𝑦1=𝑘𝑥1−2𝑘，𝑦2=𝑘𝑥2−2𝑘，整理得，4𝑥1𝑥2−5(𝑥1+𝑥2)+4=0，即4⋅4𝑘2+3𝑘2−3−5⋅4𝑘2𝑘2−3+4(𝑘2−3)𝑘2−3=0恒成立.即𝑘𝐸𝑀=𝑘𝐸𝐵，即𝐵𝑀经过点𝐸(1,0)，故直线𝐵𝑀过定点(1,0).