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二、对解题的总体认识•“解题是数学的心脏”，学习数学，关键之一是学会解题．高三一年复习的终极目标：会解高考试卷上的24题．•所谓解题，就是揭开“条件”与“结论”之间的内在联系，或是探索“已知”可以导出怎么样的“未知”．•数学解题从拿到题目到完全解出通常有四个阶段（步骤）：理解题意、思路探求、书写解答、回顾反思，审题就是理解题意（或弄清问题）．审题这是整个解题工作的第一步，而且贯穿于解题的始终．•数学解题的基本思维模式：•观察——联想——变换．三、对解题教学的思考与实践1．要突出学生学习的主体地位先看一个教学片段：例1，已知tan(α－β)＝12，tanβ＝－17，且α、β∈（0，π），求2α－β的值．师：如何求角呢？生：先求出角的某一种三角函数值．师：如何用已知角来表示未知角？生：2α－β＝2(α－β)＋β．分析之后，发现在求tan(2α－β)＝tan[2(α－β)＋β]的过程中，要用到二倍角的正切公式，还没学，怎么办呢？师分析：tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α]，tan(α－β)已知，能否求出tanα呢？继续分析得出：由于tanα＝tan[(α－β)＋β]，故可求出．接着就由学生开始操作，求出tanα＝13．进一步求出：tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α]＝1．师：求出了tan(2α－β)＝1，角(2α－β)＝？研究角(2α－β)的范围．因为α、β∈（0，π），所以求得：－π＜2α－β＜2π．接着老师又画出了正切函数在区间（－π，2π）上的图像，发现满足正切值等于1的角有三个．老师提出：应该缩小角(2α－β)的范围，利用tanα＝13＞0，tanβ＝－17＜0，且α、β∈（0，π），出：0＜α＜π2，π2＜β＜π，从而－π＜2α－β＜π2，结果发现满足条件的角还有两解．老师又提出：范围还不够，还要再缩水．再利用tanα＝13＜1，tanβ＝－17＞－1，且α、β∈（0，π），出：0＜α＜π4，3π4＜β＜π，从而－π＜2α－β＜－π4，所以2α－β＝－3π4．学生的思维完全由老师掌控．我不禁要问：（1）学生会这样想吗？学生为什么就不提出问题：“2α－β这个角为什么不能有两解？”不给学生独立思考的机会，不引导学生去发现问题、提出问题，学生的质疑能力大大降低，更谈不上创新能力．（2）学生的动手练习都是在老师分析完之后，那就剩下简单的操作了．学生自己分析问题、解决问题的能力没有机会得到发展，思维能力也得不到培养．这个例题的教学是教师“灌输”的典型例子，学生的思维完全由老师掌控，许多关键点、难点都是老师在自说自话，老师的许多问题都是自问自答．在研究角(2α－β)的范围时，老师一再缩小范围，为的是答案唯一．我当时就向旁边的学生提出问题：“2α－β这个角为什么就不能有两解？”学生回答说：“老师是这么说的”．弄得我不知所措，只觉得很是可悲．当老师一而再，再而三地提出：“范围还不够，还要再缩水”的时候，你老师有没有想过“学生会这样想吗？”为什么就没有学生提出问题：“2α－β这个角为什么不能有两解？”在老师灌输式的教学下，学生自己分析问题、解决问题的能力没有机会得到发展，思维能力也得不到培养，学生的质疑也能力大大降低，更谈不上创新能力．建议：把教师的精辟分析让位于学生的思索与感悟．•以往例题教学，都是以教师的分析、讲解为主，学生被动接受，理解记忆是主流，在例题之后的学生练习中，则是以学生的模仿为主流．这样做，既限制了学生的思维，挫伤了学生学习主动性积极性，还会抑制学生学习的创造性．在教师讲解例题的过程中，通常是老师分析得头头是道，学生听得也觉得很有道理，但在流畅的背后时常隐藏着许多问题没解决．学生的主动参与度不够，学生中存在的问题没有暴露出来，很多的问题都是老师在自问自答．导致出现一种现象：教师津津乐道，神采飞扬，学生雾里看花，昏昏欲睡，学生称之为“老师在孤芳自赏”．•在例题教学中，变教师的主讲为串讲、变教师的循循善诱精辟分析为学生的思索感悟，要能够充分地放手让学生参与自主探究、合作交流活动，使学生在成功与失败、正确与错误的矛盾冲突中层层深入，思维碰撞时时激起，个体的创造力、潜能、天赋、个性等得以表征．教学中不能以教师的精辟分析去代替学生本人的思索与感悟．如果未经学生独立思考就把解题的思路、所要用到的知识、注意点等相关结果的内容和表达形式告诉学生，这事实上这是剥夺了学生亲身体验学习的机会，特别是体验成功与失败的机会．让学生在不断的尝试下，在“做”中学习数学例题．问题：化简sin15°－cos15°sin15°＋cos15°方法1：学生说，由于15°＝45°－30°，所以求出sin15°，cos15°的值代入即得：原式＝－33．方法2：学生说，由于1－tanα1＋tanα＝tan(π4－α)，所以，想起在原式分子、分母上同除以sin15°，原式＝tan15°－1tan15°＋1＝－tan(45°－15°)＝－33．方法3：由于sin15°－cos15°＝2sin(15°－45°)＝－2sin30°，sin15°＋cos15°＝2cos(45°－15°)＝2cos30°，所以，原式＝－tan30°＝－33．方法4：由于(sin15°－cos15°)×(sin15°＋cos15°)＝sin215°－cos215°＝－cos30°，所以在在原式分子、分母上同乘以(sin15°－cos15°)，原式＝(sin15°－cos15°)2(sin15°－cos15°)×(sin15°＋cos15°)＝1－sin30°－cos30°＝－33．方法5：分子分母平方，得(sin15°－cos15°sin15°＋cos15°)2＝1－sin30°1＋sin30°＝13，因为sin15°－cos15°sin15°＋cos15°＜0，所以sin15°－cos15°sin15°＋cos15°＝－33．•多种解法要揭示问题的本质：化非特殊角为特殊角，体现了转化的数学思想．•在数学教学中能够通过问题的解决揭示数学问题的本质，就能让学生具有一双透过现象看本质的“慧眼”，学生的思维能力就能得到充分的发展，使数学问题的解决变得简单而自然．方法6：几何意义（斜率）•注：（1）优化解题方法，提升学生思维品质（2）充分展示结果背后的思维过程（3）在追问学生为什么中发展学生的思维能力•①本题还有其他解法吗？•②你是怎样想到这个解法的？•③解题中用到了哪些知识？渗透了哪些思想方法？•④解题中易错点是什么？（值得关注的地方）•⑤思考本题可以进行哪些变式？•⑥你是怎样评价这些解法与变式的？2．教会学生思考问题（让学生学会思考）（1）扎实的基础才能产生丰富的联想例3：已知x，y∈R，且x2＋y2＝1，则x＋y的最大（小）值．解一：基本不等式解二：线性规划问题解三：三角换元解四：函数思想（求导）解五：向量数量积例4，若直线xa＋yb＝1通过点M（cosα，sinα），则（）A．a2＋b2≤1B．a2＋b2≥1C．1a2＋1b2≤1D．1a2＋1b2≥1建议：增强知识储备，确保货源充足．波利亚说：“货源充足和组织良好的知识仓库是一个解题者的重要资本．”（无知者无能）（2）解题分析起步于观察角度的变化•观察是指有目的、有计划、较持久的知觉过程，观察具有目的性、客观性、敏锐性、精细性和全面性．解题分析起步于对问题的有效感知与观察，只要善于变换角度，仔细观察，抓住要害特征，联想大脑里已存在的知识与技能信息，就能较快地形成解题方案．例5：2008年浙江理科第8题：若cosα＋2sinα＝－5，则tanα＝（）A．12B．2C．－12D．－2分析1：从条件等式出发，直接构造出目标函数tanα，解这个关于tanα的方程．分析2：依照条件等式，并结合cos2α＋sin2α＝1，通过解方程组可得cosα、sinα的值，进而求得tanα的值．（通性统法）——不是直奔目标（tanα），而是先求中途目标（cosα、sinα），因为这个新的目标比较容易计算．这反映了观察的客观性．分析3：观察条件等式cosα＋2sinα＝－5，发现－5是cosα＋2sinα的最小值，于是就可利用导数知识来求解．构造函数f(x)＝cosx＋2sinx，由题意可知当x＝α时，函数f(x)取得最小值．此时，有f′(α)＝0，也就是－sinα＋2cosα＝0，所以tanα＝2．发现－5是cosα＋2sinα的最小值，反映了观察的敏锐性，视角的变更，使其解得显得简捷明快了．可以利用柯西不等式，得|cosα＋2sinα|≤(12＋22)(cos2α＋sin2α)＝5，即cosα＋2sinα≥－5．其等号成立的条件是cosα1＝sinα2，所以tanα＝2．分析4：由于(－15)2＋(－25)2＝1，cos2α＋sin2α＝1，据此可构造解析几何模型，实现数形结合，给出别致新颖的解法．点P（－15，－25），Q（cosα，sinα）都在单位圆上，可证得点P与点Q重合．所以cosα＝－15，sinα＝－25．故tanα＝2．（3）教师真实暴露自己的思维过程例6，若a，b，c成等差数列，点P（－1，2）在直线l：ax＋by＋c＝0上的射影为M，则点N（2，0）到点M的距离的最大值为．一开始从题目的本意出发，有下面的想法：设点M（x0，y0），则ax0＋by0＋c＝0．又因为PM⊥l，所以且y0－2x0＋1×(－ab)＝－1．因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c．后面就想研究点N（－3，1）到点M（x0，y0）的距离d＝(x0＋3)2＋(y0－1)2，结果就发现上面的三个等式不知道该怎么用了，虽然总的解题思路是想找到x0与y0的关系，但觉得很复杂，条件中三个等式的变形有些繁．我就想尝试着画图看看，随手画出了下面的图案，结果有了下面的猜想与发现：如果直线ax＋by＋c＝0过定点Q，则射影点M的轨迹就是“以PQ为直径的圆”．一旦这个猜想是正确的，那么问题就很好解决了．紧接着就开始研究直线ax＋by＋c＝0是否过定点．利用2b＝a＋c，代入直线l方程，可得ax＋by＋2b－a＝0，所以a(x－1)＋b(y－2)＝0，从而得出直线l恒过定点Q（1，2）．故射影点M的轨迹就是“以PQ为直径的圆”，圆方程为：x2＋(y－2)2＝1．往下问题就很容易就解决了．PQMMMl1l2l3以形助数，数形结合——解题之美，美就美在画图之后，借助图形的直观，使人产生丰富的联想，有了解题的灵感，寻找到了解题的思路，从而使问题的解决进行的很顺利，达到了从“数”的角度思考所无法达到的高度．它体现了数学的猜想之美，解决问题时的特殊与一般的辩证之美．例7，已知定义在R上的偶函数f(x)满足xf(x＋1)＝(x＋1)f(x)，则f(52)＝．想法一：条件给出了相差1的两个自变量所对应的函数值之间的关系，因此，所求的f(52)可以转化为f(32)或f(72)，究竟是用哪一个值来转化呢？考虑到偶函数的条件，必须出现相反的两个自变量所对应的函数值，所以要将自变量的取值往“下”变，故写出f(52)与f(32)的关系式：令x＝32，得32×f(52)＝52×f(32)，12×f(32)＝32×f(12)，－12×f(12)＝12×f(－12)．因为f(－12)＝f(12)，所以可得f(12)＝0．从而f(32)＝f(52)＝0．想法二：由条件xf(x＋1)＝(x＋1)f(x)看出了关系：f(x)x＝f(x＋1)(x＋1)，令g(x)＝f(x)x，可得g(x)＝g(x＋1)，且g(x)为奇函数．令x＝－12，代入g(x)＝g(x＋1)，可得g(－12)＝g(12)，又因为g(－12)＝－g(12)，所以g(12)＝0．因为g(x)的周期为1，所以g(52)＝0．因为f(52)＝52×g(52)，所以，f(52)＝0．（4）善于应用数学思想方法指导解题例8（2012年南京市二模试卷第14题），已知关于x的方程x2＋2alog2(x2＋2)＋a2－3＝0有唯一解，则实数a的值为．许多学生拿到题目一筹莫展，无从下手．如果你能仔细观察，研究发现函数f(x)＝x2＋2alog2(