4-1-基本解与Green函数---副本

§1基本解与Green函数第四章位势方程§2极值原理与调和函数的性质物理背景：用于描述稳定或平衡的物理现象。§1方程的建立及其定解条件调和方程，又称拉普拉斯(Laplace)方程，其三维形式为这个方程相应的非齐次方程，称为位势方程(或泊松(Poisson)方程)，即这类方程在力学、物理学问题中经常遇到。流体力学中的速度势和流函数都满足调和方程；静电场中的电位势满足泊松方程。∆𝑢=𝜕2𝑢𝜕𝑥2+𝜕2𝑢𝜕𝑦2+𝜕2𝑢𝜕𝑧2=0∆𝑢=𝜕2𝑢𝜕𝑥2+𝜕2𝑢𝜕𝑦2+𝜕2𝑢𝜕𝑧2=𝑓西莫恩·德尼·泊松（Simeon-DenisPoisson1781～1840）法国数学家、几何学家和物理学家。1781年6月21日生于法国卢瓦雷省的皮蒂维耶，1840年4月25日卒于法国索镇。1798年入巴黎综合工科学校深造。受到拉普拉斯、拉格朗日的赏识。1800年毕业后留校任教，1802年任副教授，1806年任教授。1808年任法国经度局天文学家。1809年巴黎理学院成立，任该校数学教授。1812年当选为巴黎科学院院士。泊松的科学生涯开始于研究微分方程及其在摆的运动和声学理论中的应用。他工作的特色是应用数学方法研究各类物理问题，并由此得到数学上的发现。他对积分理论、行星运动理论、热物理、弹性理论、电磁理论、位势理论和概率论都有重要贡献。他还是19世纪概率统计领域里的卓越人物。他改进了概率论的运用方法，特别是用于统计方面的方法，建立了描述随机现象的一种概率分布──泊松分布。他推广了“大数定律”，并导出了在概率论与数理方程中有重要应用的泊松积分。泊松一生对摆的研究极感兴趣，他的科学生涯就是从研究微分方程及其在摆的运动和声学理论中的应用开始的。直到晚年，他仍用大部分时间和精力从事摆的研究。他为什么对摆如此着迷？有一个传说，泊松小时候由于身体孱弱，他的母亲曾把他托给一个保姆照料，保姆一离开他时，就把泊松放在一个摇篮式的布袋里，并将布袋挂在棚顶的钉子上，吊着他摆来摆去。这个保姆认为，这样不但可以使孩子身上不被弄脏，而且还有益于孩子的健康。泊松后来风趣地说：吊着我摆来摆去不但是我孩提时的体育锻炼，并且使我在孩提时就熟悉了摆。拉普拉斯，1749年3月23日生于法国西北部卡尔瓦多斯的博蒙昂诺日，曾任巴黎军事学院数学教授。1795年任巴黎综合工科学校教授，后又在高等师范学校任教授。1799年他还担任过法国经度局局长，并在拿破仑政府中任过6个星期的内政部长。1816年被选为法兰西院士，1817年任该院院长。1827年3月5日卒于巴黎。拉普拉斯在研究天体问题的过程中，创造和发展了许多数学的方法，以他的名字命名的拉普拉斯变换、拉普拉斯定理和拉普拉斯方程，在科学技术的各个领域有着广泛的应用。拉普拉斯曾任拿破仑的老师，所以和拿破仑结下不解之缘。拉普拉斯在数学上是个大师，在政治上是个小人物、墙头草，总是效忠于得势的一边，被人看不起，拿破仑曾讥笑他把无穷小量的精神带到内阁里。在席卷法国的政治变动中，包括拿破仑的兴起和衰落，没有显著地打断他的工作。尽管他是个曾染指政治的人，但他的威望以及他将数学应用于军事问题的才能保护了他，同时也归功于他显示出的一种并不值得佩服的在政治态度方面见风使舵的能力。Laplace方程:Poisson方程:1、Dirichlet问题（第一类边值问题）拉普拉斯方程与泊松方程三类边值问题−∆𝒖=𝟎,(𝒙,𝒚)∈𝛀𝒖|𝝏𝛀=𝝋−∆𝒖=𝒇,(𝒙,𝒚)∈𝛀𝒖|𝝏𝛀=𝝋6Laplace方程:Poisson方程:2、Neumann问题（第二类边值问题）−∆𝒖=𝟎,(𝒙,𝒚)∈𝜴𝝏𝒖𝝏𝒏|𝝏𝜴=𝝋−∆𝒖=𝒇,(𝒙,𝒚)∈𝜴𝝏𝒖𝝏𝒏|𝝏𝜴=𝝋7Laplace方程:Poisson方程:3、Robin问题（第三类边值问题）−∆𝒖=𝟎,(𝒙,𝒚)∈𝜴𝒖|𝝏𝜴=𝝋𝝏𝒖𝝏𝒏|𝝏𝜴=𝝍−∆𝒖=𝒇,(𝒙,𝒚)∈𝜴𝒖|𝝏𝜴=𝝋𝝏𝒖𝝏𝒏|𝝏𝜴=𝝍第一节基本解与格林函数定义1.1若函数𝑼∈𝑳𝒍𝒐𝒄(𝑹𝒏),在广义函数意义下满足则称𝐔为热传导方程的基本解，记为𝜞(𝒙;𝝃)。在热力学中，当𝒏=3时，基本解表示在𝒙=𝝃处放置一个点热源，在𝑹𝟑中产生的稳定温度分布𝒖(𝒙;𝝃).一、基本解−∆𝒖=𝜹𝒙−𝝃,𝒙,𝝃∈𝑹𝒏(1.1)考虑近似问题:当𝒏=𝟑时，设球𝑩𝜺=𝒙|𝒙−𝝃𝜺中有均匀分布热源，通过球面𝝏𝑩𝜺向𝑹𝒏\𝑩𝜺均匀提供总量为1个单位的热量，当𝜺→𝟎时，在𝑹𝒏\𝑩𝜺中的温度分布𝒖𝜺(𝒙;𝝃)趋于𝒙=𝝃处的单位热源产生的温度分布。按照Fourier传热定律得到（传热系数𝒌=𝟏）二、基本解的表达形式𝟏=𝒒∙𝒏𝒅𝑺𝝏𝑩𝜺=−𝒌𝝏𝒖𝜺𝝏𝒏𝒏𝒅𝑺𝝏𝑩𝜺=−𝟒𝝅𝜺𝟐𝝏𝒖𝜺𝝏𝒏|𝝏𝑩𝜺由此，𝒖𝜺满足定解问题：−∆𝒖𝜺=𝟎，𝒙∈𝑹𝟑\𝑩𝜺−𝟒𝝅𝜺𝟐𝝏𝒖𝜺𝝏𝒏|𝝏𝑩𝜺=𝟏(𝟏.𝟑)求方程(1.3)的球对称解𝒖𝜺(𝒙;𝝃)=𝒖𝜺(𝒓).11问题（1.3）可写成球对称形式：令𝜀→0，若𝑢𝜀→𝑢,可得−1𝑟2𝜕𝜕𝑟𝑟2𝝏𝑢𝜀𝝏𝒓=0，𝑟∈(𝜀,+∞)𝜺2𝝏𝑢𝜀𝝏𝒓|𝑟=𝜀=−14𝜋(1.4)−1𝑟2𝜕𝜕𝑟𝑟2𝝏𝑢𝜀𝝏𝒓=0，𝑟∈(0,+∞)lim𝜀→0𝜺2𝝏𝑢𝜀𝝏𝒓|𝑟=𝜀=−14𝜋(1.5)求解得三维Laplace方程基本解的表达式为Γ𝑥;𝜉=𝑢𝑥;𝜉=14𝜋|𝑥−𝜉|(1.6)当𝒏𝟑,𝒏维Laplace方程基本解的表达式为Γ𝑥;𝜉=1(𝑛−2)𝜔𝑛|𝑥−𝜉|𝑛−2(1.7)其中𝜔𝑛为𝒏维空间中单位球面的面积。二维Laplace方程基本解的表达式为Γ𝑥;𝜉=12𝜋ln1|𝑥−𝜉|(1.8)二、格林（green)公式高斯公式：在上式中，令𝑷=𝒖𝝏𝒗𝝏𝒙,𝑸=𝒖𝝏𝒗𝝏𝒚,𝑹=𝒖𝝏𝒗𝝏𝒛,，于是有𝜕𝑃𝜕𝑥+𝜕𝑄𝜕𝑦+𝜕𝑅𝜕𝑧𝑑ΩΩ=𝑃𝑐𝑜𝑠𝑛,𝑥+𝑄𝑐𝑜𝑠𝑛,𝑦+𝑅𝑐𝑜𝑠(𝑛,𝑧)𝑑𝑠Γ𝜕2𝑣𝜕𝑥2+𝜕2𝑣𝜕𝑦2+𝜕2𝑣𝜕𝑧2𝑢+𝜕𝑢𝜕𝑥𝜕𝑣𝜕𝑥+𝜕𝑢𝜕𝑦𝜕𝑣𝜕𝑦+𝜕𝑢𝜕𝑧𝜕𝑣𝜕𝑧𝑑ΩΩ=𝑢𝜕𝑣𝜕𝑥𝑐𝑜𝑠𝑛,𝑥+𝑢𝜕𝑣𝜕𝑦𝑐𝑜𝑠𝑛,𝑦Γ+𝑢𝜕𝑣𝜕𝑧𝑐𝑜𝑠(𝑛,𝑧)𝑑𝑠得到格林第一公式：𝑢∆𝑣𝑑ΩΩ=𝑢𝜕𝑣𝜕𝑛𝑑𝑠−Γ𝜕𝑢𝜕𝑥𝜕𝑣𝜕𝑥+𝜕𝑢𝜕𝑦𝜕𝑣𝜕𝑦+𝜕𝑢𝜕𝑧𝜕𝑣𝜕𝑧𝑑ΩΩ若令𝑷=𝒗𝝏𝒖𝝏𝒙,𝑸=𝒗𝝏𝒖𝝏𝒚,𝑹=𝒗𝝏𝒖𝝏𝒛,，于是有𝑣∆𝑢𝑑ΩΩ=𝑣𝜕𝑢𝜕𝑛𝑑𝑠−Γ𝜕𝑢𝜕𝑥𝜕𝑣𝜕𝑥+𝜕𝑢𝜕𝑦𝜕𝑣𝜕𝑦+𝜕𝑢𝜕𝑧𝜕𝑣𝜕𝑧𝑑ΩΩ两式相减，得到格林第二公式：𝑢∆𝑣−𝑣∆𝑢𝑑ΩΩ=𝑢𝜕𝑣𝜕𝑛−𝑣𝜕𝑢𝜕𝑛𝑑𝑠Γ(1.9)由（1.3）（1.4）定义的函数𝜞𝒙;𝝃是Laplace方程的基本解.定理1.2设𝝏𝜴分段光滑，𝒖∈𝑪𝟐(𝜴)∩𝑪𝟏(𝜴),则定理1.3𝒖𝝃,𝜼=−𝜞𝒙,𝒚;𝝃,𝜼𝜟𝒖𝒙,𝒚𝒅𝒙𝒅𝒚𝜴+𝜞𝒙,𝒚;𝝃,𝜼𝝏𝒖𝝏𝒏−𝝏𝜞𝒙,𝒚;𝝃,𝜼𝝏𝒏𝒖(𝒙,𝒚)𝝏𝜴𝒅𝒍(𝟏.𝟏𝟏)若𝝀∈𝑹使得定义1.2有非零解,则称𝝀为问题(1.12)的特征值,相应的非零解称为特征函数,记为𝒖𝝀.−∆𝒖+𝝀𝒖=𝟎,𝒙∈𝜴𝝏𝒖𝝏𝒏|𝝏𝜴=𝟎(𝟏.𝟏𝟐)𝒇𝒙,𝒚𝒖𝝀𝒙,𝒚𝒅𝒙𝒅𝒚𝜴+𝝋(𝒙,𝒚)𝒖𝝀(𝒙,𝒚)𝝏𝜴𝒅𝒍=𝟎(𝟏.𝟏𝟒)定理1.4若问题−∆𝒖+𝝀𝒖=𝒇,(𝒙,𝒚)∈𝜴𝝏𝒖𝝏𝒏|𝝏𝜴=𝝋(𝟏.𝟏𝟑)有属于𝑪𝟐(𝜴)∩𝑪𝟏(𝜴)的解的必要条件是对应齐次问题的任意特征函数𝒖𝝀都有推论Poissson方程的Neumann问题−∆𝒖=𝒇,(𝒙,𝒚)∈𝜴𝝏𝒖𝝏𝒏|𝝏𝜴=𝝋有解的必要条件是𝒇𝒙,𝒚𝒅𝒙𝒅𝒚𝜴+𝝋(𝒙,𝒚)𝝏𝜴𝒅𝒍=𝟎−∆𝒖=𝒇(𝒙,𝒚),(𝒙,𝒚)∈𝛀𝒖|𝝏𝛀=𝝋(𝒙,𝒚)(𝟏.𝟏𝟔)利用公式（1.11）得1.2Green函数𝑢𝜉,𝜂=Γ𝑥,𝑦;𝜉,𝜂𝑓(𝑥,𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦Ω+Γ𝑥,𝑦;𝜉,𝜂𝜕𝑢𝜕𝑛−𝜕Γ𝑥,𝑦;𝜉,𝜂𝜕𝑛𝜑(𝑥,𝑦)𝜕Ω𝑑𝑙(1.17)考虑Dirichlet问题选取光滑函数𝒈(𝒙,𝒚;𝝃,𝜼),满足Laplace方程，对(1.16)的解𝒖以及函数𝒈,利用第二Green公式得0=𝑔𝑥,𝑦;𝜉,𝜂𝑓(𝑥,𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦Ω+𝑔𝑥,𝑦;𝜉,𝜂𝜕𝑢𝜕𝑛−𝜕𝑔𝑥,𝑦;𝜉,𝜂𝜕𝑛𝜑(𝑥,𝑦)𝜕Ω𝑑𝑙(1.18)将(1.17)、（1.18）两式相加，并令𝑮𝒙,𝒚;𝝃,𝜼=𝚪𝒙,𝒚;𝝃,𝜼+𝒈𝒙,𝒚;𝝃,𝜼得到𝑢𝜉,𝜂=𝐺𝑥,𝑦;𝜉,𝜂𝑓(𝑥,𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦Ω+𝐺𝑥,𝑦;𝜉,𝜂𝜕𝑢𝜕𝑛−𝜕𝐺𝑥,𝑦;𝜉,𝜂𝜕𝑛𝜑(𝑥,𝑦)𝜕Ω𝑑𝑙(1.19)选取𝒈(𝒙,𝒚;𝝃,𝜼),使得𝐺𝑥,𝑦;𝜉,𝜂|𝜕Ω=0，从而𝑢𝜉,𝜂=𝐺𝑥,𝑦;𝜉,𝜂𝑓(𝑥,𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦Ω−𝜕𝐺𝑥,𝑦;𝜉,𝜂𝜕𝑛𝜑(𝑥,𝑦)𝜕Ω𝑑𝑙(1.20)𝑮𝒙,𝒚;𝝃,𝜼=𝚪𝒙,𝒚;𝝃,𝜼+𝒈𝒙,𝒚;𝝃,𝜼相应的，𝒈(𝒙,𝒚;𝝃,𝜼),满足定义1.3定义于𝛀×𝛀\𝒙,𝒚=(𝝃,𝜼)的连续函数称为Green函数，𝑮𝒙,𝒚;𝝃,𝜼满足−∆𝑮𝒙,𝒚;𝝃,𝜼=𝜹(𝒙−𝝃,𝒚−𝜼),(𝒙,𝒚)∈𝛀𝑮(𝒙,𝒚;𝝃,𝜼)|𝝏𝛀=𝟎(𝟏.𝟐𝟐)−∆𝒈𝒙,𝒚;𝝃,𝜼=𝟎,(𝒙,𝒚)∈𝛀𝒈𝒙,𝒚;𝝃,𝜼|𝝏𝛀=−𝚪𝒙,𝒚;𝝃,𝜼|𝝏𝛀(𝟏.𝟐𝟑)Green函数的物理意义：在物体内部𝒙,𝒚=(𝝃,𝜼)处放置一个单位点热源，与外界接触的表面保持恒温𝒖=𝟎,那么物体的稳定温度场就是Green函数。注：格林函数又称为点源函数或影响函数,它表示一个点源在一定的边界条件和(或)初值条件下所产生的场或影响。由于任意分布的源所产生的场均可看成许许多多点源产生的场的叠加，因此格林函数一旦求出，就可算出任意源的场。格林函数仅依赖于选取的区域,而与原定解问题中的非齐次项、边界条件无关.如果求得某个区域的格林函数,就可以解决该区域的一切狄利克雷问题.Green函数的性质0𝐺𝑥,𝑦;𝜉,𝜂≤12𝜋𝑙𝑛𝑑(𝑥−𝜉)2+(𝑦−𝜂)2（1）当𝒙,𝒚∈𝛀\(𝝃,𝜼)时,−∆𝑮𝒙,𝒚;𝝃,𝜼=𝟎,当𝒙,𝒚→(𝝃,𝜼)时𝑮