相似三角形性质与判定专项练习30题(有答案)

第1页共27页相似三角形性质和判定专项练习30题（有答案）1．已知：如图，在△ABC中，点D在边BC上，且∠BAC=∠DAG，∠CDG=∠BAD．（1）求证：=；（2）当GC⊥BC时，求证：∠BAC=90°．2．如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，点D在边BC上，CE⊥AB，CF⊥AD，E、F分别是垂足．（1）求证：AC2=AF•AD；（2）联结EF，求证：AE•DB=AD•EF．3．如图，△ABC中，PC平分∠ACB，PB=PC．（1）求证：△APC∽△ACB；（2）若AP=2，PC=6，求AC的长．第2页共27页4．如图，在平行四边形ABCD中，过B作BE⊥CD，垂足为点E，连接AE，F为AE上一点，且∠BFE=∠C．（1）求证：△ABF∽△EAD；（2）若AB=4，∠BAE=30°，求AE的长．5．已知：如图，△ABC中，∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC．求证：AB•BC=AC•CD．6．已知△ABC，∠ACB=90°，AC=BC，点E、F在AB上，∠ECF=45°，设△ABC的面积为S，说明AF•BE=2S的理由．第3页共27页7．等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连接AF，BE相交于点P．（1）若AE=CF；①求证：AF=BE，并求∠APB的度数；②若AE=2，试求AP•AF的值；（2）若AF=BE，当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长．8．如图所示，AD，BE是钝角△ABC的边BC，AC上的高，求证：=．9．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，DE∥BC，点F在边AC上，DF与BE相交于点G，且∠EDF=∠ABE．求证：（1）△DEF∽△BDE；（2）DG•DF=DB•EF．第4页共27页10．如图，△ABC、△DEF都是等边三角形，点D为AB的中点，E在BC上运动，DF和EF分别交AC于G、H两点，BC=2，问E在何处时CH的长度最大？11．如图，AB和CD交于点O，当∠A=∠C时，求证：OA•OB=OC•OD．12．如图，已知等边三角形△AEC，以AC为对角线做正方形ABCD（点B在△AEC内，点D在△AEC外）．连接EB，过E作EF⊥AB，交AB的延长线为F．（1）猜测直线BE和直线AC的位置关系，并证明你的猜想．（2）证明：△BEF∽△ABC，并求出相似比．13．已知：如图，△ABC中，点D、E是边AB上的点，CD平分∠ECB，且BC2=BD•BA．（1）求证：△CED∽△ACD；（2）求证：．第5页共27页14．如图，△ABC中，点D、E分别在BC和AC边上，点G是BE边上一点，且∠BAD=∠BGD=∠C，联结AG．（1）求证：BD•BC=BG•BE；（2）求证：∠BGA=∠BAC．15．已知：如图，在△ABC中，点D是BC中点，点E是AC中点，且AD⊥BC，BE⊥AC，BE，AD相交于点G，过点B作BF∥AC交AD的延长线于点F，DF=6．（1）求AE的长；（2）求的值．16．如图，△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，M是CD中点，且∠AMD=∠BMD，AP∥CD交BC延长线于P点，延长BM交PA于N点，且PN=AN．（1）求证：MN=MA；（2）求证：∠CDA=2∠ACD．第6页共27页17．已知：如图，在△ABC中，已知点D在BC上，联结AD，使得∠CAD=∠B，DC=3且S△ACD：S△ADB﹦1﹕2．（1）求AC的值；（2）若将△ADC沿着直线AD翻折，使点C落点E处，AE交边BC于点F，且AB∥DE，求的值．18．在△ABC中，D是BC的中点，且AD=AC，DE⊥BC，与AB相交于点E，EC与AD相交于点F．（1）求证：△ABC∽△FCD；（2）若DE=3，BC=8，求△FCD的面积．19．如图，△ABC为等边三角形，D为BC边上一点，以AD为边作∠ADE=60°，DE与△ABC的外角平分线CE交于点E．（1）求证：∠BAD=∠FDE；（2）设DE与AC相交于点G，连接AE，若AB=6，AE=5时，求线段AG的长．第7页共27页20．如图所示，△ABC中，∠B=90°，点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，经几秒，使△PBQ的面积等于8cm2？（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，并且P到B后又继续在BC边上前进，Q到C后又继续在CA边上前进，经过几秒，使△PCQ的面积等于12.6cm2？21．已知：如图，△ABC是等边三角形，D是AB边上的点，将DB绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，延长ED交AC于点F，连接DC、AE．（1）求证：△ADE≌△DFC；（2）过点E作EH∥DC交DB于点G，交BC于点H，连接AH．求∠AHE的度数；（3）若BG=，CH=2，求BC的长．22．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，BE∥BC交AC于点E．（1）求证：AE•BC=AC•CE；（2）若S△ADE：S△CDE=4：3.5，BC=15，求CE的长．第8页共27页23．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，（1）求证：AC2=AB•AD；（2）求证：CE∥AD；（3）若AD=4，AB=6，求的值．24．在△ABC中，∠CAB=90°，AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，EC与AD交于点G，点F在BC上．（1）如图1，AC：AB=1：2，EF⊥CB，求证：EF=CD．（2）如图2，AC：AB=1：，EF⊥CE，求EF：EG的值．25．如图，M、N、P分别为△ABC三边AB、BC、CA的中点，BP与MN、AN分别交于E、F．（1）求证：BF=2FP；（2）设△ABC的面积为S，求△NEF的面积．第9页共27页26．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，E、F分别是AC，BC边上一点，且CE=AC，BF=BC，（1）求证：；（2）求∠EDF的度数．27．如图，△ABC是等边三角形，且AB∥CE．（1）求证：△ABD∽△CED；（2）若AB=6，AD=2CD，①求E到BC的距离EH的长．②求BE的长．28．如图，Rt△AB′C′是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，连接CC′交斜边于点E，CC′的延长线交BB′于点F．（1）若AC=3，AB=4，求；（2）证明：△ACE∽△FBE；（3）设∠ABC=α，∠CAC′=β，试探索α、β满足什么关系时，△ACE与△FBE是全等三角形，并说明理由．第10页共27页29．如图，△ABC是等边三角形，∠DAE=120°，求证：（1）△ABD∽△ECA；（2）BC2=DB•CE．30．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，且AC=CD=，又E，D为CB的三等分点．（1）证明：△ADE∽△BDA；（2）证明：∠ADC=∠AEC+∠B；（3）若点P为线段AB上一动点，连接PE，则使得线段PE的长度为整数的点P的个数有几个？请说明理由．第11页共27页相似三角形性质和判定专项练习30题参考答案：1．解：（1）∵∠ADC=∠B+∠BAD，且∠CDG=∠BAD，∴∠ADG=∠B；∵∠BAC=∠DAG，∴△ABC∽△ADG，∴=．（2）∵∠BAC=∠DAG，∴∠BAD=∠CAG；又∵∠CDG=∠BAD，∴∠CDG=∠CAG，∴A、D、C、G四点共圆，∴∠DAG+∠DCG=180°；∵GC⊥BC，∴∠DCG=90°，∴∠DAG=90°，∠BAC=∠DAG=90°．2．解：（1）如图，∵∠ACB=90°，CF⊥AD，∴∠ACD=∠AFC，而∠CAD=∠FAC，∴△ACD∽△AFC，∴，∴AC2=AF•AD．（2）如图，∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴∠AEC=∠AFC=90°，∴A、E、F、C四点共圆，∴∠AFE=∠ACE；而∠ACE+∠CAE=∠CAE+∠B，∴∠ACE=∠B，∠AFE=∠B；∵∠FAE=∠BAD，∴△AEF∽△ADB，∴AE：AD=BD：EF，∴AE•DB=AD•EF．3．解：（1）∵PB=PC，∴∠B=∠PCB；∵PC平分∠ACB，第12页共27页∴∠ACP=∠PCB，∠B=∠ACP，∵∠A=∠A，∴△APC∽△ACB．（2）∵△APC∽△ACB，∴，∵AP=2，PC=6，AB=8，∴AC=4．∵AP+AC=PC=6，这与三角形的任意两边之和大于第三边相矛盾，∴该题无解．4．（1）证明：∵AD∥BC，∴∠C+∠ADE=180°，∵∠BFE=∠C，∴∠AFB=∠EDA，∵AB∥DC，∴∠BAE=∠AED，∴△ABF∽△EAD；（2）解：∵AB∥CD，BE⊥CD，∴∠ABE=90°，∵AB=4，∠BAE=30°，∴AE=2BE，由勾股定理可求得AE=5．证明：∵∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=∠C，∴BD=CD，在△ABD和△ACB中，，∴△ABD∽△ACB，∴=，即AB•BC=AC•BD，∴AB•BC=AC•CD．6．证明：∵AC=BC，∴∠A=∠B，∵∠ACB=90°，∴∠A=∠B=45°，∵∠ECF=45°，∴∠ECF=∠B=45°，∴∠ECF+∠1=∠B+∠1，第13页共27页∵∠BCE=∠ECF+∠1，∠2=∠B+∠1；∴∠BCE=∠2，∵∠A=∠B，∴△ACF∽△BEC．∴，∴AC•BC=BE•AF，∴S△ABC=AC•BC=BE•AF，∴AF•BE=2S．7．（1）①证明：∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC，∠C=∠CAB=60°，又∵AE=CF，在△ABE和△CAF中，，∴△ABE≌△CAF（SAS），∴AF=BE，∠ABE=∠CAF．又∵∠APE=∠BPF=∠ABP+∠BAP，∴∠APE=∠BAP+∠CAF=60°．∴∠APB=180°﹣∠APE=120°．②∵∠C=∠APE=60°，∠PAE=∠CAF，∴△APE∽△ACF，∴，即，所以AP•AF=12（2）若AF=BE，有AE=BF或AE=CF两种情况．①当AE=CF时，点P的路径是一段弧，由题目不难看出当E为AC的中点的时候，点P经过弧AB的中点，此时△ABP为等腰三角形，且∠ABP=∠BAP=30°，∴∠AOB=120°，又∵AB=6，∴OA=，点P的路径是．②当AE=BF时，点P的路径就是过点C向AB作的垂线段的长度；因为等边三角形ABC的边长为6，所以点P的路径为：．所以，点P经过的路径长为或3．第14页共27页8．证明：∵AD，BE是钝角△ABC的边BC，AC上的高，∴∠D=∠E=90°，∵∠ACD=∠BCE，∴△ACD∽△BCE，∴=．9．证明：（1）∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵DE∥BC，∴∠ABC+∠BDE=180°，∠ACB+∠CED=180°．∴∠BDE=∠CED，∵∠EDF=∠ABE，∴△DEF∽△BDE；（2）由△DEF∽△BDE，得．∴DE2=DB•EF，由△DEF∽△BDE，得∠BED=∠DFE．∵∠GDE=∠EDF，∴△GDE∽△EDF．∴，∴DE2=DG•DF，∴DG•DF=DB•EF．10．解：设EC=x，CH=y，则BE=2﹣x，∵△ABC、△DEF都是等边三角形，∴∠B=∠DEF=60°，∵∠B+∠BDE=∠DEF+∠HEC，∴∠BDE=∠HEC，∴△BED∽△CHE，∴，∵AB=BC=2，点D为AB的中点，∴BD=1，∴，即：y=﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+1．∴当x=1时，y最大．此时，E在BC中点第15页共27页11．解：∵∠A=∠C，∠AOD=∠BOC，∴△OAD∽△OCB，∴=，∴OA•OB=OC•OD．12．解：（1）猜测BE和直线AC垂直．证明：∵△AEC是等边三角形，∴AE=CE，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CB，∵BE=BE，∴△AEB≌△CEB（SSS）．∴∠AEB=∠CEB，∵AE=CE，∴BE⊥AC；（2）∵△AEC是等边三角形，∴∠EAC=∠AEC=60°，∵BE⊥AC，∴∠BEA=∠AEC=30°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC=45°，∴∠BAE=