19.7直角三角形全等判定

符合某些条件的所有点的集合叫做点的轨迹.轨迹上的任意一点都符合“某些条件”凡是符合“某些条件”的点都在轨迹上轨迹是图形和线段两个端点距离相等的点的轨迹是__________________.这条线段的垂直平分线在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点的轨迹是__________.角的平分线到定点的距离等于定长的点的轨迹是______________________________.以这个定点为圆心，定长为半径的圆如果作图要求点同时满足两个条件，可以先作出符合第一个条件的点的轨迹，再作出符合第二个条件的点的轨迹，两个轨迹的交点就是所求作的图形.利用轨迹相交进行作图的方法叫做交轨法.如图，已知∠MON及线段a，求作点P，使点P到OM、ON的距离相等，且PG=a.aOMNGP1P2∴点P1，P2就是所求作的点.忆一忆1、全等三角形的对应边---------,，对应角-----------相等相等2、判定三角形全等的方法有：SAS、ASA、AAS、SSS直角边直角边斜边CBA认识直角三角形Rt△ABC19.7直角三角形全等的判定你相信这个结论吗？如果只有一个卷尺，能完成这个任务吗?让我们来验证这个结论。斜边和一条直角边对应相等→两个直角三角形全等动动手做一做用三角板和圆规，画一个Rt△ABC,使得∠C=90°,一直角边CA=4cm,斜边AB=5cm.ABC5cm4cm动动手做一做Step1:画∠MCN=90°;CNMStep2:在射线CM上截取CA=4cm;Step3:以A为圆心，5cm为半径画弧，交射线CN于B;AStep4:连结AB;△ABC即为所要画的三角形B动动手做一做比比看把我们刚画好的直角三角形，和同桌的比比看，这些直角三角形有怎样的关系呢？Rt△ABC≌C′B′A′Rt△ABC5cm4cmA′B′C′5cm4cmA（A'）C（C'）CAB已知：如图，在△ABC和△A'B'C'中，∠ACB=∠A'C'B'=90°，AB=A'B'，AC=A'C'．求证：△ABC≌△A'B'C'．ACB'A'C'BBB可以通过旋转和平移拼接成一个等腰三角形?证明：把△ABC和△A'B'C'拼合在一起，使AC与A'C'重合，且点B，B'落在AC两侧.∵∠ACB=∠A'C'B'=90°，∴∠BCB'=180°，即B，C，B'在同一条直线上．B'BA（A'）C（C'）∵AB=AB'，∴∠B=∠B'（等边对等角）．在△ABC和△AB'C中，∠B=∠B'（已证），∠ACB=∠ACB'（已知），AB=AB'（已知），∴△ABC≌△AB'C（AAS）．即△ABC≌△A'B'C'．斜边、直角边定理理有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.简写成“斜边、直角边”或“HL”斜边、直角边公理(HL)ABCA′B′C′∴在Rt△ABC和Rt△中AB=BC=∴Rt△ABC≌CBABACB(HL)C′B′A′Rt△有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.∵AC⊥BC,A’C’⊥B’C’（∠C=90°，∠C’=90°）∴△DCB和△EBC是直角三角形(1)_______,∠A=∠D(ASA)(2)AC=DF,________(SAS)(3)AB=DE,BC=EF()(4)AC=DF,______(HL)(5)∠A=∠D,BC=EF()(6)________,AC=DF(AAS)BCAEFD把下列说明Rt△ABC≌Rt△DEF的条件或根据补充完整.AC=DFBC=EFHLAB=DEAAS∠B=∠E例题1已知:如图,在△AB中,BD⊥AC,CE⊥AB,点D、E为垂足，BD=CE.求证:△ABC是等腰三角形BACEDF证明：∵AC⊥BD,CE⊥AB∴△DCB和△EBC是直角三角形在Rt△DCB和Rt△EBC中{BC=CBBD=CE∴Rt△DCB≌Rt△EBC(HL)得∠EBC=∠DCB(全等三角形的对应角相等)∴AB=AC(等角对等边）即Rt△ABC是等腰三角形.例题2求证：在一个角的内部(包括顶点)且到这个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E，PD=PE.求证：点P在∠AOB的平分线上证明:作射线OP∵PD⊥OA,PE⊥OB在Rt⊿ODP和Rt⊿OEP中,∠ODP=∠OEP=90°OP=OP,PD=PERt⊿OPD≌Rt⊿OPE(HL)DPEAOBC小结直角三角形全等的判定一般三角形全等的判定“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”“HL”灵活运用各种方法证明直角三角形全等“SSS”已知：如图，在△ABC和△DEF中,AP、DQ分别是高,并且AB=DE,AP=DQ,∠BAC=∠EDF,求证：△ABC≌△DEFABCPDEFQ∠BAC=∠EDF,AB=DE,∠B=∠E分析：△ABC≌△DEFRt△ABP≌Rt△DEQAB=DE,AP=DQABCPDEFQ证明：∵AP、DQ是△ABC和△DEF的高∴∠APB=∠DQE=90°在Rt△ABP和Rt△DEQ中{AB=DEAP=DQ∴Rt△ABP≌Rt△DEQ(HL)∴∠B=∠E在△ABC和△DEF中{∠BAC=∠EDFAB=DE∠B=∠E∴△ABC≌△DEF(ASA)已知:如图,D是△ABC的BC边上的中点,DE⊥AC,DF⊥AB,垂足分别为E,F,且DE=DF.求证:△ABC是等腰三角形.DBCAFE学以致用如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DFE大小有什么关系？学以致用先把它转化为一个纯数学问题:已知:如图,AC=DF,AC⊥AB,DE⊥DF.求证:∠ABC=∠DFE.