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第1页（共29页）2018年江西省南昌市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，B={x|x=2n+1，n∈Z}，则A∩B=（）A．（﹣∞，4]B．{1，3}C．{1，3，5}D．[1，3]2．欧拉公式eix=cosx+isinx（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，表示的复数位于复平面中的（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知角α的终边经过点P（sin47°，cos47°），则sin（α﹣13°）=（）A．B．C．D．4．已知奇函数f'（x）是函数f（x）（x∈R）是导函数，若x＞0时f'（x）＞0，则（）A．f（0）＞f（log32）＞f（﹣log23）B．f（log32）＞f（0）＞f（﹣log23）C．f（﹣log23）＞f（log32）＞f（0）D．f（﹣log23）＞f（0）＞f（log32）5．设不等式组表示的平面区域为M，若直线y=kx经过区域M内的点，则实数k的取值范围为（）A．B．C．D．6．平面内直角三角形两直角边长分别为a，b，则斜边长为，直角顶点到斜边的距离为，空间中三棱锥的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别为S1，S2，S3，类比推理可得底面积为，则三棱锥顶点到底面的距离为（）第2页（共29页）A．B．C．D．7．已知圆台和正三棱锥的组合体的正视图和俯视图如图所示，图中网格是单位正方形，那么组合体的侧视图的面积为（）A．6+B．C．D．88．执行如图程序框图，则输出的n等于（）A．1B．2C．3D．49．函数f（x）=（﹣π≤x≤π）的图象大致为（）A．B．C．第3页（共29页）D．10．已知具有线性相关的五个样本点A1（0，0），A2（2，2），A3（3，2），A4（4，2），A5（6，4），用最小二乘法得到回归直线方程l1：y=bx+a，过点A1，A2的直线方程l2：y=mx+n，那么下列4个命题中，①m＞b，a＞n；②直线l1过点A3；③④．（参考公式，）正确命题的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个11．设函数，若f（x）的最大值不超过1，则实数a的取值范围为（）A．B．C．D．12．已知椭圆，O为坐标原点，A，B是椭圆上两点，OA，OB的斜率存在并分别记为kOA、kOB，且，则的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．展开式中的常数项为．14．平面向量，，若有，则实数第4页（共29页）m=．15．在圆x2+y2=4上任取一点，则该点到直线x+y﹣2=0的距离d∈[0，1]的概率为．16．已知台风中心位于城市A东偏北α（α为锐角）度的150公里处，以v公里/小时沿正西方向快速移动，2.5小时后到达距城市A西偏北β（β为锐角）度的200公里处，若，则v=．三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12.00分）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，满足S4=2a4﹣1，S3=2a3﹣1．（1）求{an}的通项公式；（2）记bn=log2（an•an+1），数列{bn}的前n项和为Tn，求证：．18．（12.00分）某校为了推动数学教学方法的改革，学校将高一年级部分生源情况基本相同的学生分成甲、乙两个班，每班各40人，甲班按原有模式教学，乙班实施教学方法改革．经过一年的教学实验，将甲、乙两个班学生一年来的数学成绩取平均数，两个班学生的平均成绩均在[50，100]，按照区间[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]进行分组，绘制成如下频率分布直方图，规定不低于80分（百分制）为优秀．（1）完成表格，并判断是否有90%以上的把握认为“数学成绩优秀与教学改革有关”；甲班乙班总计第5页（共29页）大于等于80分的人数小于80分的人数总计（2）从乙班[70，80），[80，90），[90，100]分数段中，按分层抽样随机抽取7名学生座谈，从中选三位同学发言，记来自[80，90）发言的人数为随机变量X，求X的分布列和期望．附：K2=，P（K2≥k0）0.100.050.025k02.7063.8415.02419．（12.00分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，ABCD为直角梯形，AD∥BC，AD⊥AB，AB=BC=AP=AD=3，AC∩BD=O，过O点作平面α平行于平面PAB，平面α与棱BC，AD，PD，PC分别相交于点E，F，G，H．（1）求GH的长度；（2）求二面角B﹣FH﹣E的余弦值．20．（12.00分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，过焦点F的直线交C于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，y1y2=﹣4．（1）求抛物线方程；（2）点B在准线l上的投影为E，D是C上一点，且AD⊥EF，求△ABD面积的最小值及此时直线AD的方程．第6页（共29页）21．（12.00分）已知函数f（x）=ln（ax）+bx在点（1，f（1））处的切线是y=0．（1）求函数f（x）的极值；（2）当恒成立时，求实数m的取值范围（e为自然对数的底数）．22．（10.00分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求C的极坐标方程；（2）若直线l1，l2的极坐标方程分别为，，设直线l1，l2与曲线C的交点为O，M，N，求△OMN的面积．23．已知f（x）=|2x+3a2|．（1）当a=0时，求不等式f（x）+|x﹣2|≥3的解集；（2）对于任意实数x，不等式|2x+1|﹣f（x）＜2a成立，求实数a的取值范围．第7页（共29页）2018年江西省南昌市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，B={x|x=2n+1，n∈Z}，则A∩B=（）A．（﹣∞，4]B．{1，3}C．{1，3，5}D．[1，3]【分析】先解出集合A={0，1，2，3，4}，然后可判断1，3∈B，进行交集的运算即可求出A∩B．【解答】解：A={0，1，2，3，4}；对于集合B：n=0时，x=1；n=1时，x=3；即1，3∈B；∴A∩B={1，3}．故选：B．【点评】考查描述法、列举法表示集合的概念，以及交集的运算．2．欧拉公式eix=cosx+isinx（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，表示的复数位于复平面中的（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】直接由欧拉公式eix=cosx+isinx，可得=cos=，则答案可求．【解答】解：由欧拉公式eix=cosx+isinx，可得=cos=，∴表示的复数位于复平面中的第一象限．第8页（共29页）故选：A．【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查数学转化思想方法，是基础题．3．已知角α的终边经过点P（sin47°，cos47°），则sin（α﹣13°）=（）A．B．C．D．【分析】根据三角函数的定义求出sinα和cosα，结合两角和差的正弦公式和余弦公式进行化简即可．【解答】解：∵r=|OP|==1，∴sinα==cos47°，cosα==sin47°，则sin（α﹣13°）=sinαcos13°﹣cosαsin13°=cos47°cos13°﹣sin47°sin13°=cos（47°+13°）=cos60°=，故选：A．【点评】本题主要考查三角函数的化简和求解，利用三角函数的定义结合两角和差的正弦公式是解决本题的关键．4．已知奇函数f'（x）是函数f（x）（x∈R）是导函数，若x＞0时f'（x）＞0，则（）A．f（0）＞f（log32）＞f（﹣log23）B．f（log32）＞f（0）＞f（﹣log23）C．f（﹣log23）＞f（log32）＞f（0）D．f（﹣log23）＞f（0）＞f（log32）【分析】判断f（x）的单调性和奇偶性，再判断大小关系．【解答】解：∵f′（x）是奇函数，且x＞0时f'（x）＞0，∴当x＜0时，f′（x）＜0，∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，∵﹣f′（﹣x）=f′（x），∴f（﹣x）=f（x），∴f（x）是偶函数．∵log23＞log32＞0，第9页（共29页）∴f（﹣log23）=f（log23）＞f（log32）＞f（0）．故选：C．【点评】本题考查了函数单调性与奇偶性的判断与应用，属于中档题．5．设不等式组表示的平面区域为M，若直线y=kx经过区域M内的点，则实数k的取值范围为（）A．B．C．D．【分析】画出不等式组对应的可行域，由于函数y=kx的图象是过点O（0，0），斜率为k的直线l，故由图即可得出其范围．【解答】解：由不等式组，作出可行域如图，如图．因为函数y=kx的图象是过点O（0，0），且斜率为k的直线l，由图知，当直线l过点A（1，2）时，k取最大值：2，当直线l过点B（2，1）时，k取最小值：，故实数k的取值范围是[，2]．故选：C．第10页（共29页）【点评】本题考查简单线性规划，利用线性规划的知识用图象法求出斜率的最大值与最小值．这是一道灵活的线性规划问题，还考查了数形结合的思想，属中档题．6．平面内直角三角形两直角边长分别为a，b，则斜边长为，直角顶点到斜边的距离为，空间中三棱锥的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别为S1，S2，S3，类比推理可得底面积为，则三棱锥顶点到底面的距离为（）A．B．C．D．【分析】三棱锥P﹣ABC，PA，PB，PC两两垂直，P在底面的射影为H，设PA=a，PB=b，PC=c，运用三棱锥的体积公式和等积法，计算可得所求距离．【解答】解：如图三棱锥P﹣ABC，PA，PB，PC两两垂直，P在底面的射影为H，设PA=a，PB=b，PC=c，可得S1=ab，S2=bc，S3=ca，可得abc=2，由题意可得底面积为，由等积法可得×abc=PH•，第11页（共29页）可得PH==，故选：C．【点评】本题考查类比推理的应用，注意平面与空间的区别和联系，考查等积法的运用，属于中档题．7．已知圆台和正三棱锥的组合体的正视图和俯视图如图所示，图中网格是单位正方形，那么组合体的侧视图的面积为（）A．6+B．C．D．8【分析】几何体为圆台和三棱锥的组合体，根据三视图的对应关系计算侧视图面积．【解答】解：由正视图和俯视图可知几何体为下部为圆台，上部为三棱锥，其中圆台的上下底面半径分别为1，2，高为2，三棱锥的高为2，底面为等腰三角形，由俯视图可知底面等腰三角形底边的高为，故侧视图下部分为上下底分别为2，4，高为2的梯形，上部分为底边为，高为第12页（共29页）2的三角形，∴侧视图的面积为×（2+4）×2+=．故选：B．【点评】本题考查了简单组合体的结构特征与三视图，属于中档题．8．执行如图程序框图，则输出的n等于（）A．1B．2C．3D．4【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟程序的运行，可得n=0，x=，a=﹣sin，不满足条件a=，执行循环体，n=1，x=π，a=sinπ=0，不满足条件a=，执行循环体，n=2，x=，a=sin=，不满足条件a=，执行循环体，n=3，x=，a=sin=，满足条件a=，退出循环，输出n的值为3．故选：C．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．9．函数f（x）=（﹣π≤x≤π）的图象大致