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工工程程流流体体力力学学主讲:冯进长江大学机械工程学院§§22流流体体静静力力学学流体静止包括两种情况：一是流体对绝对坐标系（地球）整体是静止的；另一种情况是流体整体对绝对坐标系是运动的，但流体内部没有相对运动，称为相对静止。研究绝对静止和相对静止液体的平衡状况，这是本章讨论的内容。§§22..11液液体体静静压压强强及及其其特特点点一、压强在静止或相对静止的流体中，单位面积上沿内法线方向的表面力称为压强。从静止液体中，取一微元体（如图），作用于上沿的内法线方向的作用力为，则根据定义二二、、静静压压强强有有两两个个特特点点1)．静压强的方向永远沿着作用面的内法线方向，理由如下：(1)如果静压强不垂直于作用面，则可分解为正应力和切应力。根据流体的特点，切应力存在必然引起相对运动，这与静止液体假设矛盾，故切应力必须为零。压强垂直于作用面。(2)正应力有拉应力和压应力之分，假如压强方向与作用面外法线方向一致，那么流体受到拉力，根据流体特性，流体不能承受拉应力，只能承受压应力，故压强方向与作用面内法线方向一致。2).静止流体的某一点压强大小与作用面的方位无关，任意一点的静压强在各个方向上相等。在静止流体中，任取一四面体，则各面受力情况如图示：斜面BCD的压力，如果质量力它在三个方向上的分量为:,。根据立体几何知道，四面体的体积为:，若流体的密度为ρ，根据理论力学可以写出四面体上诸力对各坐标轴的平衡方程式为：§§22..22静静止止流流体体平平衡衡微微分分方方程程一、平衡微分方程在静止流体中围绕某一点A取一六面体，A点的压强为p，表面力中只有沿内法线方向作用在六个面上的压力，各个面上的压强如图示。六面体的质量在坐标上的分量为：首先，沿X方向建立平衡方程，即：整理得：(4)同理在Y和Z方向上分别有：(5)(6)因此，用矢量表示：二二、、流流体体静静止止时时质质量量力力必必须须满满足足的的条条件件静止流体的平衡微分方程可以写成：两边取旋度，有：三三、、质质量量力力有有势势对于静止的不可压缩均值流体，其密度ρ等于常数，静止流体的平衡微分方程可写成：两边取旋度，有：上式说明对于静止的不可压缩均值流体，质量力有势。四四、、等等压压面面和和等等压压面面方方程程1.等压面定义若某连续曲面上各点的压强相等，则称为该曲面为等压面。不同流体的分界面等皆为等压面，如自由界面、不同液体的分界面。2.等压面方程按照多元函数全微分的定义，有：故：当某个面上压强等于常数时，dp=0。这时可以得到等压面方程：上式表明质量力沿等压面移动，其做功为零，也说明质量力垂直于等压面，这是等压面重要的性质。如果已知质量力方向，可求等压面的几何形状。当质量力仅为重力时，等压面必定为水平面。互不掺混的两种流体的分界面也是等压面。§§22..33绝绝对对静静止止液液流流体体的的压压强强分分布布一、绝对静止流体的压强基本方程1.不可压缩均值流体绝对静止液体所受到的质量力只有重力，取坐标轴如下图所示，则单位质量流体的质量力为：根据平衡微分方程，有：解得：对于点1和2的关系，则有：若质量力仅为重力，根据等压面方程：则有：这说明绝对静止流体的等压面为水平面，自由界面上各点的压力相等，所以自由面为等压面。22..可可压压缩缩流流体体可压缩流体的密度是随压强变化的，故不能象不可压缩流体那样进行简单积分，只有知道密度变化关系后才能积分。假设可压缩流体为气体，对完全气体的等温过程，有：p0为等压面Z=Z0面上的压强。二二、、测测量量标标准准压强的度量有两种标准，一是绝对压强标准，它以真空为起点，物理真空情况下压强为零。另一个是表压强，它是以大气压强为起点，把压强等于一个大气压作为零。正值叫表压强，负值叫真空度。压强除了用pa的单位表示外，也常用液柱高度来表示，即：代表某点的压强所对应的液柱高度。常见有水银柱压力表和酒精柱压力表。三三、、液液柱柱式式测测压压仪仪器器测量压强的仪表叫压力表，利用液柱高度测量压强称为液柱压力表。之间的作用力在作用面上的表现。1.气压计故，。因此，2.测压管3.U形管压力表建立等压面1-1，在等压面上建立平衡方程：4.U形管差压计建立等压面1-1，在等压面上建立平衡方程：§§22..44相相对对静静止止流流体体相对静止是指流体整体对绝对坐标系（地球）有相对运动，但液体内部各部分彼此间没有相对运动。对于这样的相对静止流体，其压强和等压面又是怎样的呢？现在我们讨论这个问题。一一、、等等加加速速直直线线运运动动容容器器中中的的液液体体1.任意点的压强设盛有液体的容器沿水平面以加速度a作等加速直线运动，除受到垂直向下的重力外，还受到惯性力的影响。惯性力大小等于液体的质量乘以运动加速度，方向与运动方向相反。即有：此时，压强增量的全微分方程为：积分得：积分常数C这样选定，取坐标点（0，H），即：2.等压面方程根据等压面方程，积分得：由上式可见，C取不同的常数，代表不同的等压面。等压面很多，但我们最关心的是自由面，即。自由面方程为：二、等角速度旋转容器中的液体1.任意一点的压强设容器以等角速度绕Z轴旋转，此时流体相对于容器没有相对运动，同时流体之间也没有相对运动，因此，作用于流体上的力有重力和水平离心力。2.等压面方程根据等压面方程，积分得：当r=0时，z=z0,p=p0，为自由界面，故：例：如图示，有一圆柱形敞口容器，半盛以水，若已知D＝300mm，H＝500mm，h＝300mm。当此容器绕其立轴等角速旋转时，问当转速n多大时，水面恰好达到容器的边缘?作用在容器底面上的静水总压力与旋转前相比有什么不同？为什么？§§22..55平平面面上上的的液液体体总总压压力力工程上进行结构设计时，如果这些结构与液体相接触，常常需要计算作用在面上的总压力及其位置，总压力的作用点在流体力学中称为压力中心。现在通过下例来说明计算液体作用在平面上的总压力的一般原理。如图，平面AB是一个垂直于纸面并与水平面成的斜面，其面积为S，根据静压强的物理性质。①某点的压强在各个方向上相等，②作用方向与作用面的内法线方向一致。故作用在平面上各点的力的方向是相同的，属于平行力系。因此，可根据力学原理来求液体的总压力的大小和作用点。一一、、平平面面与与液液体体接接触触侧侧的的总总压压力力及及其其作作用用点点1.总压力的大小设液面上受到的大气压强为pa，平面的一侧与液体接触，另侧与大气接触或不接触。当另侧与大气接触时也受到大气压强的作用。现在讨论与液体接触侧斜面上的压力。在点(0,y)处，压强有：2.总压力的作用点（压力中心）总压力的作用点在流体力学上称为压力中心。根据力学上平行力系的力矩原理，诸分力对某轴的力矩之和等于合力对该轴的力矩。对X轴求力矩有：二二、、平平面面与与大大气气接接触触侧侧的的总总压压及及作作用用点点当平面的另一侧与大气接触时，作用于该侧面的总压力为:对X轴的力矩。当平面的另一侧与大气不接，有：三三、、平平面面受受到到的的总总压压力力及及其其压压力力中中心心当平面另一侧未受到大气作用时，总压力P=P内，压力中心YD=YD内。当平面外侧受到大气压作用时，总压力为：压力中心为：例1：如图示,一直径为1m的园形平板闸阀与水平面成夹角α=300，用铰链连于O点，H0=5m,闸门质量m1=1000kg。背面暴露在大气中，求①闸阀受到的液体总压力和压力中心；②为保持闸门关闭，水平力F应为多大？解1）求作用在闸门上的总压力液面上作用有大气压，闸门背面也作用有大气压，故在计算时可以不考虑大气压强的影响。总压力为：2）求压力中心3）求F根据力矩平衡原理，作用在闸板的诸力对铰结点的力矩和为零。故：对于圆来说形心必在圆心，yc=R，S=πR2。对通过形心的X轴的惯性矩。例2：如图示，有一圆柱形容器，直径D＝1.2m，顶盖上在r0＝0.43m处开一小孔，安装敞口测压管。完全充满水，当此容器绕其立轴旋转时测压管中的水位y＝0.5m。问多大转速n下使顶盖受到的静水总压力为零？§§22..66曲曲面面上上的的液液体体总总压压力力在平面上由于各点的压强方向相互平行且成线性变化，因此，求解总压力是比较容易的。而在曲面上，由于各点随深度的变化不是直线变化，且方向也不相同，这样就增加了分析问题的复杂性。为了方便起见，以1/4园柱面为例来分析，所得结论将同样适合于空间曲面。这里仅研究液体与曲面接触侧的压力。例：贮水容器上有三个半球形的盖，设D=0.5m，h=1.5m，H=2.5m。试求作用在每个盖上的总压力的大小。§§22..77物物体体在在绝绝对对静静止止液液体体中中的的受受力力一、浮体和潜体在静止流体中的物体存在两种状态，一种情况是物体部分淹没在液体中，另一部分暴露在气体中，这时把物体称为浮体。另一种情况是物体完全淹没在液体中，这时把物体称为潜体。无论是浮体或潜体，要受到液体对它的作用力，其合力称之为浮力，方向与重力方向相反。二二、、物物体体受受到到的的浮浮力力1.绝对静止液体中任意点的压强2.物体在绝对静止液体中受到的作用力上式表明物体在绝对静止液体中受到的浮力方向向上，其大小等于被物体排开的液体的重量。三、物体在绝对静止液体中受到的浮力矩浮力对坐标原点的力矩可表示为：四、物体在绝对静止液体中的平衡及其稳定性1.物体在绝对静止液体中的平衡物体在绝对静止液体处于平衡位置时，必须满足：重力与浮力的平衡，重力对某点的力矩与浮力对同一点的力矩的平衡。根据平衡条件，要求重力与浮力大小相等方向相反，且作用线重合。设物体的质量为m，其质心坐标为（xC，yC，zC），则重力与浮力的平衡关系有：重力对坐标原点的力矩为：则重力与浮力的力矩平衡关系有：故：因此，重心C（质心）和浮力中心B必定在同一铅垂线上。2.物体在绝对静止液体中的平衡稳定性在绝对静止液体中的物体,当受到较小的倾覆力矩作用且在倾覆力矩消失后能否恢复到平衡位置的问题称为浮体的稳定性问题。平衡时，重心C（质心）和浮力中心B必定在同一铅垂线上，存在如下关系：必然存在三种情况：若，则平衡是稳定的。因为物体受力稍倾时，Fz和mg所构成的力偶力图恢复平衡位置。若，则平衡是不稳定的。因为Fz和mg构成的力偶将物体倾翻(参看图)。