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第五章等效点系1.点群中国际符号的取向2.点群国际符号的推导3.点群中的熊夫里斯符号4.等效点系5.等效点系的推导6.单形和复形点群的国际符号•最多有三位,分别代表不同方向，如mmm,432,4/m……；•每个点群的3个对称元素符号，它们的取向只有在它们所属的晶系的特定坐标系中才有意义；•取向是指在特定坐标系中某一通过坐标原点的直线的方向，这直线既可以是坐标轴，也可以是对称面的法线；每个点群符号都包含了该对称类型中最基本的对称元素，其它未指出的对称元素可通过这些已经标出的最基本的对称元素的组合推导出来。全面掌握(!)32种点群的国际符号点群的国际符号三方晶系及其六方晶系：取向示意图4/mmm123晶系三个位所表示的方向(依次列出)立方ca+b+ca+b[001][111][110]四方caa+b[001][100][110]正交abc[100][010][001]单斜b[010]三斜任意方向任意方向六方&三方caa+2b[001][100][120]112332点群的国际符号各晶系取向表点群的国际符号正交、四方、立方晶系主要晶棱指数及晶面指数注意：1.旋转轴用数字n表示，反轴用n，反映面用m表示，旋转轴和与之垂直的反映面用n/m表示，对称中心用1表示。2.在既可写轴又可以写反映面时尽量写反映面，因为反映面组合可以得到旋转轴，而旋转轴组合不可以得到反映面。例如：2/m2/m2/m是正交晶系全对称型的国际符号，一般简写成mmm，但不能简写成2mm。因为mmm可以推导出点群中所有的对称元素，而从2mm中却不能推导出点群中所有的对称元素。请注意m是指与该方向垂直的反映面。点群的国际符号点群国际符号的推导实例1：由点群L44L25PC导出国际符号：1.L44L25PC属四方晶系，国际符号规定的窥视方向：co、ao、(ao+bo)。Why？2.co方向(Z轴)上存在的对称要素有一个L4和垂直此L4的对称面P，第一位写做4/m；3.ao方向(X轴)上存在的对称要素有一个L2和垂直此L2的对称面P，第二位写做2/m；4.(ao+bo)方向(X与Y轴平分线)上的对称要素有一个L2和垂直此L2的对称面P，第三位写作2/m；5.排列起来应写为：最后简化为。422mmm4mmm①首位6表示六方晶系，其国际符号的三个窥视方向为c0、a0、(2a0+b0)。②c0方向有一个L6和垂直L6的P，有L6×P⊥→L6P⊥C；③a0方向有一个平行L6的P，有L6×P//→L66P//；④包含L6的P与垂直L6的P的交线必为垂直于L6的L2,于是有L6×L⊥2→L66L⊥2；⑤最后将所有对称要素组合得到点群L66L27PC。6mmm点群国际符号的推导实例2：由国际符号导出点群全部对称元素：L6abcL21.由点群L66L27PC导出其国际符号；2.由点群Li33L23PC导出其国际符号；3.由点群6m2的国际符号推导其所有的宏观对称元素；掌握这些推导的关键是要熟悉有关宏观对称元素组合的几个定理以及7个晶系的定向规则！！！练习：点群用熊夫利斯符号表示时有如下规则：1.仅有一个旋转轴的点群用Cn表示，n为轴次；2.由2次轴组合产生的点群用Dn表示；3.有几个高次轴时，轴组合相当于正四面体用T表示(Tetrahedral)；轴组合相当于正八面体时用O表示(Octahedral)4.存在反映面时：1.反映面与主轴平行（即穿过主轴），这个反映面是直立的，以下标v（vertical）表示；而当反映面穿过主轴又平分两个2次轴间的夹角时以下标d表示（diagonal）；2.反映面垂直主轴时，反映面是水平的，以下标h(horizontal)表示；5.S4表示4次反轴；Cs表示反映面。点群中的熊夫利斯符号点群的所有的熊夫利斯符号如下：•Cn:具有一个n次旋转轴的点群；Cnh:具有一个n次旋转轴和一个垂直于该轴的镜面的点群；Cnv:具有一个n次旋转轴和n个通过该轴的镜面的点群。•Dn:具有一个n次旋转主轴和n个垂直该轴的二次轴的点群；Dnh：在Dn的基础上再加上一个垂直与主轴的对称面的点群；Dnd：在Dn的基础上，再含有n个包含n重轴但不包含2重轴，而是平分相邻2个2重轴夹角的对称面。•Sn:具有一个n次反轴的点群。•T:具有4个3次轴和4个2次轴的正四面体点群；Th：在T群基础上再含有与2次轴垂直的对称面的点群；Td：四面体中，具有平分二次轴夹角平面的点群。•O:具有3个4次轴,4个3次轴和6个2次轴的八面体点群；Oh：在O群基础上再含有对称面的点群。32种点群国际符号和熊夫利斯符号的对应关系32种点群国际符号和熊夫利斯符号的对应关系等效点系一般位置等效点系：在给定点群里，若初始点x,y,z是位于任意位置，所推导出来的等效点系称为该点群的“一般位置等效点系”。特殊位置等效点系：若初始点位于特殊位置，即三个坐标变量中具有常数值（如x,0,z;x,0,0;0,0,0等），或者三个变量之间具有某种特定关系（如x,x,z;x,x,x;2x,x,z等），例如处于对称元素的位置上，所导出的等效点系就为该点群的特殊位置等效点系。等效点：也叫做对称等效点，是指一个点经某一指定的对称元素的对称操作后，与另外一个点完全重合，那么这两个点就互为对称等效点。在晶体学里，等效点可以代表晶体外形多面体的晶面（在几何晶体学），也可以代表基元结构（在微观空间对称里）。等效点系：从一个初始点出发，经某一个给定的对称群（几何晶体学里就是点群，它可能含有一个对称元素，也可能是一组对称元素的组合）全部对称操作的反复进行直至循环重复为止。所导出的一组对称等效点称为该点群的“等效点系”。显然在所有的32点群里，每个点群都有一个一般位置等效点系，而大多数点群里，它的特殊位置等效点系却可能有很多种。下面以2/m点群为例进行说明：（1）初始点位置位于对称面；（2）初始点位于二次轴；（3）初始点位于对称面与二次轴的交点上。一般位置等效点系1234XY(1)(1)(2)(3)XY(2)特殊位置等效点系等效点系每个点群只有一个等效点系，而且它具有的等效点数目是最多的，特殊位置等效点系中的等效点数目总是比一般位置等效点系的等效点数目少一个整数倍。例如上面的2/m点群：一般位置：等效点数目为4特殊位置：（1）初始点位置位于对称面：等效点数目为2；（2）初始点位于二次轴：等效点数目为2；（3）初始点位于对称面与二次轴交点上：等效点数目为1。等效点系等效点系的推导例1已知点群的国际符号为6mm，请推导出此点群的全部对称元素及其坐标，以及此点群的一般位置等效点系和各种特殊位置等效点系的坐标。解：(1)从国际符号6mm知道该点群属于六方晶系。选取坐标系X,Y,Z,以极射赤平投影表示于下图：第一步：确定坐标系(2)确定基本对称元素在坐标系里的方位，并将他们标在投影图中。从六方晶系的定向中可知，点群符号里面的6次轴于晶棱[001]方向重合，而两个对称面mm的法线分别于[100]和[120]重合。第二步：引入对称元素等效点系的推导(3)运用对称元素组合的原理和推导方法，在极射赤平投影图上，从任意初始点出发，推导出各个等效点及所有对称元素。第三步：一般位置等效点系（4）参考图中各等效点的坐标，确定其中所有对称元素的坐标。6:(00z);m:(x0z)m:(2xxz);m:(xxz)m:(x2xz);m:(0yz)m:(xxz)等效点系的推导参照教材有关等效点系的坐标变换（P71和P25），从任意点出发，可以导出所有12个一般等效点系的坐标。,zyy,.xx,z;.y,y,z;x,y.,z;xx,.yx,z;,yx.y,z;,x.x,y,z;.yy,z;,xy..y,x,z;y,x,z;.xy,z;.x,x.x,y,z;211129107856341计算结果可参看P77-78（5）特殊位置等效点系初始点位于特殊位置上有如下三种情况：①初始点A位于对称面m(xoz)，此初始点坐标为xoz,将此初始点坐标分别带入上述一般等效点系12个坐标点中，可以推导出如下图所示的6个等效点组成的特殊位置等效点系；zxzxxzxzxzxxzx,,0;,,;,0,;,,0;,,;,0,zxx,,②初始点B位于对称面m，此初始点坐标为,将此初始点坐标分别带入上述一般等效点系12个坐标点中，可以推导出如下图所示的6个等效点组成的特殊位置等效点系；zxx,,zxxzxxzxxzxxzxxzxx,2,;,,2;,,;,,2;,2,;,,③初始点C位于6个对称面与六次轴相交的直线上，此直线的对称性为6mm，此时初始点的坐标为00z。将此初始点带入一般位置等效点系的等效点坐标，最终只获得一套特殊位置等效点系：00z。等效点系的等效点数目等效点系的等效点数目决定于点群所包含的对称元素的种类与数量，也决定于初始点所处的坐标位置。一个等效点系的组成是从一个初始点出发，经过该点群全部对称元素的反复对称操作直至互相重复封闭所导出的一组对称等效点。一个点群里的对称元素可以分为独立对称元素和派生对称元素，派生的对称元素可以从独立对称元素的对称组合派生出来。例如：点群mmm中具有3个互相垂直的对称面，还有3个互相垂直的2次轴和一个对称中心。3个对称面可以当作独立对称元素，其他对称元素可以由3个对称面推导出来；或者把2个2次轴和对称中心当做独立对称元素，可以推导出点群中其他对称元素。一般位置等效点系的等效点数目，是此点群中独立对称元素的等效点的乘积。例如mmm点群，每个m的等效点数目为2，可知等效点数目为2×2×2=8练习：1.试推导点群422、6/m、全部对称元素及其坐标，以及此点群的一般位置等效点系和各种特殊位置等效点系的坐标。2.试判断2/m、6mm、、4/mmm点群一般等效点系等效点的数目。3.点群的熊夫利斯C3v、D2、D2d、D6、Th、Td、O对应的点群的国际符号是什么？24m24m这类推导请灵活掌握，考试题。单形和复形同一对称型的晶体，可以有不同的形态，如下图所示的立方体和八面体，对称型均为3L44L36L29PC。因此需要进一步研究晶体的形态。为了了解晶体的形态，必须认识晶体在理想发育状态下可能出现的各种理想的几何形状，这些理想的几何形状就是由一些理想的晶面组成的理想多面体。这些理想的多面体可能是由一组对称等效的晶面所构成的封闭体，也可能是由一组以上的对称等效面构成。从一个初始平面出发在对称类型（点群）中经全部对称元素的对称操作所推导出来的几何图形，称之为单形。同一单形中的各个晶面，就像点群中的等效点系中各点一样，相互之间是对称等效的，这些晶面在晶体学上的各种性质（晶体物理和化学性质）都彼此相同。对称类型中所包含的对称元素越多，则属于这一对称类型的单形越复杂，其种类也就越多。若初始晶面位于一般任意位置上，所推导出来的单形为“一般形”；如在特殊位置上，所推导出的单形为“特殊形”。单形和复形举例：点群2/m，可有如下下面几种等效点系：1.初始点在非对称元素上的一般位置，等效点数目为4；4个晶面如图所示，组成的单形为斜方柱，柱的两端是空的。单形和复形2.初始点在对称面P上，等效点数目为2；2个晶面如图所示，组成的单形为平行双面。单形和复形3.初始点在二次对称轴L2上，等效点数目为2；2个晶面如图所示，组成的单形也为平行双面。单形和复形4.初始点在二次对称轴与对称面的交点上，等效点数目为1；即只有点自身而无其它等效点，其单形称为单面。立方晶系Oh的单形一般形：48个晶面出发面与一个L4轴平行---24个晶面出发面与一个晶轴截距相等---24个晶面出发面与一个晶轴截距相等---24个晶面出发面与一个晶轴截距相等，并与另一晶轴平行---12个晶面出发面三个晶轴截距相等---12个晶面出发面和4次轴垂直---6个晶面单形和复形关于单形的几点说明在同一对称型中，初始晶面与对称要素的相对位置不同，可以导出不同的单形。对32种对称型逐一进行推导可以得到晶体应有的全部单形。同一对称型，最多能导出七种单形（初始晶面与对称要素相对位置最多有7种）。47种几何单形：对32种对称型逐个进