导数的概念80733

返回上页下页目录2019/11/181高等数学(经管类)多媒体课件牛顿（Newton）莱布尼兹（Leibniz）返回上页下页目录2019/11/182第一节导数概念第二章三、导数的几何意义二、导数的定义一、引例五、可导与连续的关系五、小结与思考题（TheConceptofDerivative）四、单侧导数返回上页下页目录2019/11/183例1.瞬时速度问题求:质点在0tv时刻的瞬时速度tSS设有一质点作变速直线运动,其运动方程为一.导数问题举例0t返回上页下页目录2019/11/184ttsttsvtv000ttsttsvtv0000t时刻瞬时速度变化不大,所以质点在在Δt时间内速度2.若质点作变速直线运动1.若质点作匀速直线运动s0tstts00由于速度是连续变化的,v可以近似地用平均速度0tv代替瞬时速度分析：返回上页下页目录2019/11/185vtstt00limlim于是当时,0t的极限即为ts0tvt越小,近似的程度越好ttsttstvt0000lim返回上页下页目录2019/11/186称为曲线L上点P处的切线例2:曲线的切线斜率切线的一般定义:设P是曲线L上的一个定点,Q是曲线L上的另一个点,过点P与点Q作一条直线PQ,称PQ为曲线L的割线,当点Q沿着曲线L趋向定点P时,割线PQ的极限位置PTLPQxTxx00xy返回上页下页目录2019/11/187设曲线L的方程为y=f(x),xxfxxfxy)()(tan00tan越接近于k,Δx越小,Q越接近于P,PQ越接近于PT,切线的倾角为α,则有:分析:如图,割线的倾角为θ,求此曲线上点P处的切线斜率k.LPQxTxx00xy返回上页下页目录2019/11/188曲线在P处的切线斜率为:当自变量的增量趋于0时的极限.xxfxxfx)()(lim000即:xykx0limtan函数的增量与自变量增量之比,返回上页下页目录2019/11/189二、导数的定义（DefinitionofDerivatives）1.函数在一点的导数与导函数.定义1设函数)(xfy在点0x0limxx00()()fxfxxx0limxyx)()(0xfxfy0xxx存在,)(xf并称此极限为)(xfy记作:;0xxy;)(0xf;dd0xxxy0d)(dxxxxf则称函数若的某邻域内有定义,在点0x处可导,在点0x的导数.0xxy)(0xf0limxyxxxfxxfx)()(lim000hxfhxfh)()(lim000即返回上页下页目录2019/11/1810若上述极限不存在,在点不可导.0x若0lim,xyx也称)(xf在0x就说函数的导数为无穷大.0limxx00)()(xxxfxfxyx0lim)()(0xfxfy0xxx返回上页下页目录2019/11/18113()fxx300(1)(1)(1)1(1)limlimxxfxfxfxx23033()()limxxxxx例.求函数在x=1处的导数.解由导数定义有3返回上页下页目录2019/11/1812在点0x的某个右邻域内)(xfy若极限xxfxxfxyxx)()(limlim0000则称此极限值为)(xf在处的右导数,0x记作0()fx(左)(左))0(x)0(x))((0xf定义2设函数有定义,存在,2.单侧导数.在点0x)(xfy可导的充分必要条件注1：函数,)()(00存在与xfxf且)(0xf.)(0xf是注2：若函数)(xf)(af)(bf与在开区间内可导,),(ba且都存在,则称)(xf在闭区间上可导.],[ba返回上页下页目录2019/11/1813xxf)(在x=0不可导.例证明函数证:0()fx0(0)(0)limxfxfx0limxxx1因此，函数xxf)(在x=0不可导.0()fx0(0)(0)limxfxfx0limxxx100()()fxfx一般地，如果函数的图形在某点出现“尖角”，那么在该点就没有切线，从而函数在该点不可导.返回上页下页目录2019/11/1814若函数在开区间I内每点都可导,此时导数值构成的新函数称为导函数.记作:;y;)(xf;ddxy.d)(dxxf注意:)(0xf0)(xxxfxxfd)(d0就称函数在I内可导.二.导函数返回上页下页目录2019/11/1815根据导数的定义，求函数()fx的导数的一般步骤如下：(1)写出函数值的改变量()();yfxxfx(2)计算比值()();yfxxfxxx(3)求极限0()()()lim.xfxxfxyfxx返回上页下页目录2019/11/1816三、导数的几何意义（GeometricInterpretation）xyo)(xfyCT0xM曲线)(xfy在点),(00yx的切线斜率为0tan()fx若,0)(0xf曲线过上升;若,0)(0xf曲线过下降;xyo0x),(00yx若,0)(0xf切线与x轴平行,称为驻点;),(00yx),(00yx0x若,)(0xf切线与x轴垂直.曲线在点处的),(00yx切线方程:))((000xxxfyy法线方程:)()(1000xxxfyy)0)((0xfxyo0x,)(0时xf返回上页下页目录2019/11/1817例4求曲线yx过(1，1)点的切线方程和法线方程.解过点(1，1)的切线斜率11()(1)11(1)limlim112xxfxfxkfxx法线斜率为12k故过点(1，1)的切线方程为11(1),2yx即210yx.故过点(1，1)的法线方程为12(1),230yxyx即返回上页下页目录2019/11/1818五、函数的可导性与连续性的关系处可导在点xxf)(定理处连续在点xxf)(证:设)(xfy在点x处可导,)(lim0xfxyx存在,故0limxy即0limxyxx00limlimxxyxx0所以函数)(xfy在点x连续.注意:函数在点x连续未必可导.反例:xyxyoxy在x=0处连续,但不可导.返回上页下页目录2019/11/1819例7讨论下列函数在0x处的可导性和连续性.(1)sin,0,e,0.xxxfxx；(2)2+1,0,1,0.xxfxxx；解(1)因为00limlime1xxxfx00limlimsin0xxfxx所以，fx在0x不连续,从而fx在0x处不可导.返回上页下页目录2019/11/1820(2)因为00limlim(1)1xxfxx200limlim(1)1xxfxx有00limlim(0)xxfxfxf所以fx在0x连续.又00()(0)110limlim10xxfxfxfxx200()(0)110limlim00xxfxfxfxx00ff，所以fx在0x处不可导.返回上页下页目录2019/11/1821内容小结1.本节通过两个引例抽象出导数的定义：0xxy)(0xf000()()limxxfxfxxx)()(0xfxfy0xxx0limxyx000()()limxfxxfxx000()()limhfxhfxh返回上页下页目录2019/11/18222.利用导数的定义得出以下导数公式：()C)(x)(sinx(cos)x(ln)x0;;1x;cosxsin;x1,x()ln;xxaaa(e)e.xx3.判断可导性不连续,一定不可导.直接用导数定义;看左右导数是否存在且相等.4.导数的几何意义:切线的斜率;5.函数的可导性与连续性的关系：可导必连续,但连续不一定可导。返回上页下页目录2019/11/1823课后练习习题2-11；4；5；6;思考与练习1.函数在某点处的导数)(xf0x)(0xf)(xf有什么区别与联系?与导函数区别:()fx是函数,0()fx是数值;联系:0()xxfx0()fx注意:])([)(00xfxf？返回上页下页目录2019/11/1824.________)()(lim000hxfhxfh3.已知,)0(,0)0(0kff则.____)(lim0xxfx0()fx)(0xf存在,则2.设4.设)(0xf存在,求极限.2)()(lim000hhxfhxfh解:原式0limhhhxf2)(00()fxhhxf2)(00()fx)(210xf)(210xf0()fx)(2)(0hhxf0()fx返回上页下页目录2019/11/18250,0,sin)(xxaxxxf,问a取何值时,)(xf在),(都存在,并求出.)(xf解:)0(f00sinlim0xxx1)0(f00lim0xxaxa故1a时,1)0(f此时)(xf在),(都存在,)(xf0,cosxx0,1x显然该函数在x=0连续.5.设返回上页下页目录2019/11/1826解:因为)(xf存在,且,12)1()1(lim0xxffx求).1(fxxffx2)1()1(lim0所以.2)1(fxfxfx2)1()1(lim001(1())(1)lim2()xfxfx1)1(21f6.设返回上页下页目录2019/11/1827)(xf在0x处连续,且xxfx)(lim0存在，证明:在0x处可导.证：因为存在，则有又在处连续,所以即在处可导.故7.设