工程流体学第九章粘性流体绕过物体的流动

第九章粘性流体绕过物体的流动[e-mail]第九章第八章讨论理想流体（不考虑黏性）：结论适用于黏性很小的流体流动（边界层以外的流动－黏性作用小）。边界层以内的流动？一切实际流体都有黏性——切向应力——前述结论不适用！（达朗伯疑题）本章主要讨论内容：自然界和实际工程中存在的大量流体绕过物体流动的问题（绕流问题）。黏性——阻力——克服阻力（损失能量）。黏性流体运动微分方程（N－S方程）、边界层、近似计算和分离现象、绕流阻力。本章内容章节内容章节内容（（11））第一节黏性流体运动微分方程（N－S方程）第二节不可压缩黏性流体层流第三节边界层概念第四节层流边界层微分方程第五节边界层动量积分关系式第六节边界层的位移厚度和动量损失厚度第七节平板层流边界层的近似计算第八节平板紊流边界层的近似计算章节内容章节内容（（22））第九节平板混合边界层的近似计算第十节曲面边界层的分离现象第十一节绕过圆柱体的流动卡门涡街第十二节物体阻力自由沉降速度第十三节自由淹没射流第一节黏性流体运动微分方程（Navier－Stokes方程）一、方程的推导粘性流体微团受到的力:质量力法向力切向力pii——法向应力ij——切向应力fi——质量力yxzodydzdxxfzfyfdzzzxzxAdxxppxxxxdxxxzxzdxxxyxyyxxzxyxxpzxdyyyxyx第一个下标表示应力所在平面的法线方向第二个下标表示应力本身的方向。dxdydzzyxpfdxdydzzdxdydxdzdyydxdzdydzdxxppdydzpdxdydzfzxyxxxxzxzxzxyxyxyxxxxxxxx1x方向的质量力、法向应力和切向应力的合力为：同理，y方向的合力为：dxdydzxzypfxyzyyyy1dxdydzyxzpfyzxzzzz分析x方向微元体受力：z方向的合力为：根据牛顿第二定律:zyxpfdtdzxyxxxxx11xzypfdtdxyzyyyyy11yxzpfdtdyzxzzzzz11（9-1a）方程（9-1a）就是以应力表示的粘性流体运动微分方程，通常X、Y、Z作为已知量，不可压缩流体ρ已知，方程应包含六个应力及三个速度分量，共9个未知数。而方程（9-1a）加上连续性方程也只有4个方程，无法求解，必须找出新的补充关系式。切向应力之间的关系02)(22)(2dxdydzdxxdxdydzdydxdzdyydydxdzxyxyxyyxyxyxyxxy同理xzzxzyyzyxxy根据达朗伯原理，所有力矩之和等于零。对z轴的力矩：这样，在式（9-1a）中六个应力只有三个是独立的。假若流体的粘度在个方向上都是相同的，可得yzxxzzxxyzzyyzzxyyxxyxzzyyx222广义牛顿内摩擦定律（9-3）zyxppppzppyppxppzyxzzyyxxzzzyyyxxx23222zzyyxxpppp31连续性方程，等于０法向应力之间的关系法向应力表现为压强：（9-4）将切向应力和法向应力关系式（9-3）、（9-4）代入（9-1a）222222222222222222111zyxvzpfzyxtzyxvypfzyxtzyxvxpfzyxtzzzzzzzyzxzyyyyyzyyyxyxxxxxzxyxxx方程就是不可压缩黏性流体的运动微分方程，Navier-Stokes方程，简称N-S方程。该方程是一个二阶非线性偏微分方程组，目前尚无普遍解，但对于一些简单流动可化成线性方程求解。当流体为理想流体时，运动粘度等于0，N－S方程简化为：zpfzyxtypfzyxtxpfzyxtzzzzyzxzyyzyyyxyxxzxyxxx111理想流体运动的欧拉微分方程当流体为理想流体时，并且加速度等于0时，N－S方程简化为：010101zpfypfxpfzyx理想流体平衡的欧拉微分方程纳维－斯托克斯方程是不可压缩流体最普遍的运动方程。第三节边界层的基本概念现在来研究粘性流体在大雷诺数下平滑地绕流某静止物体（例如机翼的翼型，图9-10）的情况。这种在大雷诺数下紧靠物体表面流速从零急剧增加到与来流速度相同数量级的薄层称为边界层。在边界层内，流体在物体表面法线方向上的速度梯度很大，即使粘度很小的流体，表现出的粘滞力也较大，决不能忽略。所以，边界层内的流体有相当大的涡通量。当边界层内的有旋流离开物体而流入下游时，在物体后形成尾涡区域。在边界层外，速度梯度很小，即使粘度较大的流体，粘滞力也很小，可以忽略不计。所以可以认为，在边界层外的流动是无旋的势流。当粘性流体绕过物体流动时，物体外面的流场划分为：１、在边界层和尾涡区域内，必须考虑流体的粘滞力，看作粘性流体的有旋流动；２、在边界层和尾涡区以外的区域内，粘滞力很小，看作是理想流体的无旋流动。一般在实际应用中规定：从固体壁面沿外法线到速度达到势流速度的99%处距离为边界层的厚度，以δ表示。实际上边界层很薄（通常仅为弦长的几百分之一）。例如：在汽轮机叶片出汽边上，最大边界层厚度一般为零点几毫米。从图９-10中可以看出，流体在前驻点O处速度为零，所以边界层的厚度在前驻点处等于零，然后沿着流动方向逐渐增加（为了清晰起见，图上将边界层的尺寸放大了）。另外，边界层的外边界和流线并不重合，流线伸入边界层内，这是由于层外的流体质点不断地穿入到边界层里去的缘故。1.与物体的长度相比，边界层的厚度很小；2.边界层内沿边界层厚度的速度变化非常急剧，即速度梯度很大；3.边界层的厚度δ，流速越大，厚度越薄；在物体前缘为0，愈往下愈厚；4.由于边界层很薄，因而可近似地认为，边界层中各截面上的压强等于同一截面上边界层外边界上的压强；5.在边界层内粘滞力和惯性力是同一数量级的；6.边界层内流体的流动与管内流动一样，也可以有层流和紊流两种流动状态。边界层的基本特征：当610,0001Rel.当410,001Rel.临界雷诺数决定于许多因素:如来流的紊流度、物体壁面的粗糙度等。实验证明，增加紊流度或增加粗糙度都会使临界雷诺数值降低，即提早使层流转变为紊流。如机翼前端的边界层很薄，不大的粗糙度凸出就会透过边界层，导致层流变为紊流。56Re.10~310xcr３２临界雷诺数对平板，层流变紊流临界雷诺数:一般取平板边界层层流态向湍流态转捩的雷诺数为:边界层的流态判别边界层内流动状态转变的准则为：离前缘距离的Re数：，x为离前缘的距离。据此确定转变点的位置。Rex从而可以确定层流边界层转为湍流边界层转捩点的位置坐标：5510xcrRe5510crx当平板边界层为层流边界层；当平板边界层为湍流边界层；当平板边界层为混合边界层；设板长为LcrxLcrxLcrxL第四节层流边界层微分方程在大Re数情况下的边界层流动有下面两个主要性质：1.边界层厚度较物体特征长度小得多，即2.边界层内粘性力和惯性力具有相同的数量级。依此应用数量级比较方法，忽略一些高阶小量，对N-S方程、连续性方程进行简化。得到p241的(9-32)、式的Prandtl方程。自看，不作要求。L第五节边界层动量积分关系式在定常流动的流体中，沿边界层划出一个单位宽度的微小控制体，它的投影面ABDC由作为x轴的物体壁面上的一微元距离BD、边界层的外边界AC和彼此相距dx的两直线AB和CD所围成。现在应用动量方程来研究该控制体内的流体在单位时间内沿x方向的动量变化和外力之间的关系。图9-13推导边界层动量积分关系式用图Abdxxpp21CxpdxxppDwdydyBxdx推导边界层动量积分关系式单位时间经过AB面流入的质量和带入的动量分别为单位时间经过CD面流出的质量和带出的动量分别为200xxdydy002200xxxxdydxdyxdydxdyx对于不可压缩流体，根据连续方程从边界层外边界AC面流入的质量和带入的动量必分别为00xbxdxdydxdyxx式中为边界层外边界上的速度。b这样，可得单位时间沿x方向经控制面的动量净通量为200xbxdxdydyxx现在求作用在该控制体上沿x方向的一切外力。作用在AB、CD和AC诸面上的总压力沿x方向的分量分别为ddxxppddxxppp21式中是A与C之间的平均压强。壁面BD作用在流体上的切向应力的合力为dxxpp21wdx于是，作用在该控制体上沿x方向诸外力之和为dxdxxpdxddxxppddxxppp21（略去高阶小量后得到）根据动量方程，即单位时间经控制面流体动量的通量等于外力之和，就可得到定常流动条件下卡门的边界层动量积分关系式：200xbxwpdydyxxx（9-33）由上述已知，在边界层内；在给定截面上。所以，上式两个积分都只x的函数，因此式中的偏导数可改写为全导数，上式成为()xxxxy200xbxwdddpdydydxdxdx在推导中对壁面上的切向应力未作任何本质的假设，所以，式（9-33）对层流和紊流边界层都适用。边界层外边界上的速度可以用实验或解势流问题的wb办法求得，并可根据伯努力方程求出的数值。所以，在边界层的动量积分关系式（9-33）中，实际可以把和看作已知数，而未知数只有和三个。因此，要解这个关系式，还需要两个补充关系式。通常把沿边界层厚度的速度分布以及切向应力与边界层厚度的关系式作为两个补充关系式。一般在应用边界层的动量积分关系式（9-33）来求解边界层问题时，边界层内的速度分布是按已有的经验来假定的。假定的愈接近实际，则所得到的结果愈正确。所以，选择边界层内的速度分布函数是求解边界层问题的重要关键。dxdpbdpdx、xw、/xfyxxyxy第七节平板层流边界层的近似计算在实际应用中，大都采用边界层的动量积分关系式（在实际应用中，大都采用边界层的动量积分关系式（99--3333））对边界层进行对边界层进行近似计算近似计算。。这方法比较简单，所得的结果也有足这方法比较简单，所得的结果也有足够的精确度够的精确度。。现在以纵向流动中的平板层流边界层为例现在以纵向流动中的平板层流边界层为例加以说加以说明。均匀来流速度为明。均匀来流速度为的不可压缩粘性流体纵向流过一块的不可压缩粘性流