2015中考数学全景透视一轮复习课件-第15讲-函数的综合应用(共123张PPT)(共123张PPT

第15讲函数的综合应用考点一一次函数与方程、不等式1．解一元一次方程可以转化为：当一次函数值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，kx＋b＝0的解就是直线y＝kx＋b与x轴交点的横坐标．2．解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大于(或小于)0时，求自变量相应的取值范围．考点二二次函数与一元二次方程判别式情况Δ＞0Δ＝0Δ＜0a＞0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的交点a＜0一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的实数根有两个不相等的实数根x1，x2有两个相等的实数根x1＝x2没有实数根温馨提示：解一元二次方程实质上就是求当二次函数值为0时的自变量x的取值，反映在函数图象上就是求抛物线与x轴交点的横坐标.考点三二次函数与几何图形结合1．通过几何图形和几何知识建立函数模型，提供设计方案或讨论方案的可行性．2．利用二次函数求最大面积的方法(1)求几何图形的最大面积，应先在分析图形的基础上，引入自变量，用含自变量的代数式分别表示出与所求几何图形相关的量，再根据图形的特征列出其面积的计算公式，并且用函数表示这个面积，最后根据函数关系式求出最值及取得最值时自变量的值．(2)在求解几何图形的最大面积时，还应注意自变量的取值范围，一定要注意题目中的每一个几何量的可能范围，一般有几种情况：边长、周长、面积大于0，三角形中两边之和大于第三边，圆的周长与半径的关系．3．考查方向(1)与三角形结合，涉及三角形面积、三角形相似、等腰三角形和直角三角形的性质等知识的相关计算问题；(2)与特殊平行四边形结合，涉及特殊平行四边形的判定、某些线段长度的计算问题；(3)涉及动点的存在探究性问题．温馨提示：此类问题中常常涉及的数学思想有：数形结合思想、分类讨论思想，解题时一定要根据具体题目有针对性地分析，求解.考点四函数的综合应用1．利用数形结合思想，借助函数的图象和性质，形象直观地解决有关不等式的最大(小)值、方程的解以及图形的位置关系等问题．2．利用转化思想，通过一元二次方程根的判别式及根与系数的关系来解决抛物线与x轴交点的问题．3．建立函数模型后，往往涉及方程、不等式、相似等知识，最后必须检验与实际情况是否符合．4．综合运用函数知识，把生活、生产、科技等方面的问题通过建立函数模型求解，涉及最值问题时，要想到运用二次函数．考点一在同一坐标系中确定多个函数的图象例1(2014·遵义)已知抛物线y＝ax2＋bx和直线y＝ax＋b在同一坐标系内的图象如图所示，其中正确的是()【点拨】由四个选项看出，抛物线的对称轴都在y轴右侧，则a与b异号，可分两种情况讨论：(1)当a＞0，b＜0时，抛物线开口向上，此时直线y＝ax＋b经过第一、三、四象限，选项D符合要求；(2)当a＜0，b＞0时，抛物线开口向下，直线y＝ax＋b经过第一、二、四象限，没有符合要求的选项．综上所述，故选D.【答案】D方法总结：在同一个直角坐标系中同时考查两个函数的图象，是各类考试中常见的题型，解决此类问题一般需要分类讨论.考点二反比例函数与一次函数的综合应用例2(2014·遂宁)已知：如图，反比例函数y＝kx的图象与一次函数y＝x＋b的图象交于点A(1,4)、点B(－4，n)．(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)求△OAB的面积；(3)直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x的取值范围．【点拨】本题对反比例函数与一次函数进行综合考查，熟练运用待定系数法、两个函数的性质是解决问题的关键．解：(1)把点A(1,4)分别代入反比例函数y＝kx、一次函数y＝x＋b，得k＝1×4,1＋b＝4，解得k＝4，b＝3，∴反比例函数的解析式是y＝4x，一次函数的解析式是y＝x＋3.(2)把x＝－4代入y＝x＋3，得y＝－1，∴B(－4，－1)．设直线y＝x＋3与x轴的交点为C，当y＝0时，x＋3＝0，解得x＝－3，∴C(－3,0)．S△AOB＝S△AOC＋S△BOC＝12×3×4＋12×3×1＝152.(3)∵B(－4，－1)，A(1,4)，∴根据图象可知：当x＞1或－4＜x＜0时，一次函数值大于反比例函数值．考点三二次函数与几何图形的面积相结合例3(2014·成都)在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长)，用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB，BC两边)，设AB＝xm.(1)若花园的面积为192m2，求x的值；(2)若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内(含边界，不考虑树的粗细)，求花园面积S的最大值．【点拨】本题考查利用二次函数求几何图形面积最值的问题．(1)直接根据矩形的面积列出一元二次方程，求出其解即可；(2)首先根据矩形的面积公式建立S与x之间的函数关系式，然后配方，把二次函数的解析式转化为顶点式，然后根据二次函数的性质求函数的最值．解：(1)∵AB＝xm，则BC＝(28－x)m，∴x(28－x)＝192，解得x1＝12，x2＝16.∴当x＝12时，BC＝16m；当x＝16时，BC＝12m.∴x的值为12m或16m；(2)由题意可得出S＝x(28－x)＝－x2＋28x＝－(x－14)2＋196，∵在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，∴x≥6，28－x≥15，解得6≤x≤13.∵a＝－1≤0，且对称轴为x＝14，∴在6≤x≤13范围内，S随x的增大而增大，∴当x＝13时，S有最大值，S最大值＝－(13－14)2＋196＝195(m2)．答：花园面积S的最大值为195m2.考点四函数知识的综合应用例4(2014·威海)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过A(－1,0)，B(4,0)，C(0,2)三点．(1)求这条抛物线的解析式；(2)E为抛物线上一动点，是否存在点E，使以A，B，E为顶点的三角形与△COB相似．若存在，试求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；(3)若将直线BC平移，使其经过点A，且与抛物线相交于点D，连接BD，试求出∠BDA的度数．【点拨】本题考查用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数与相似等知识的综合应用．解：(1)把A(－1,0)，B(4,0)，C(0,2)代入y＝ax2＋bx＋c，得0＝a－b＋c，0＝16a＋4b＋c，2＝c.解得a＝－12，b＝32，c＝2.∴这条抛物线的解析式为y＝－12x2＋32x＋2.(2)若∠EAB＝90°时，此时抛物线上不存在点E，使△ABE与△COB相似．若∠ABE＝90°时，此时抛物线上不存在点E，使△ABE与△COB相似．若∠AEB＝90°时，此时在x轴上方的抛物线上存在点E(以AB为直径画圆与抛物线相交于两个点)，使△ABE与△COB相似．①当△AEB∽△COB时，则∠ABE＝∠CBO.∴点E与点C重合．∴E(0,2)．②当△BEA∽△COB时，由抛物线的对称性知，此时点E是①中点(0,2)关于对称轴x＝32的对称点．∴E(3,2)．综上可知，点E的坐标为(0,2)或(3,2)．(3)如图，连接AC，过点B作BF⊥AD于点F，AD与y轴交于点H，过点D作DM⊥x轴于点M.∵A(－1,0)，B(4,0)，C(0,2)，∴OA＝1，OB＝4，OC＝2，AB＝5.在Rt△AOC中，由勾股定理，得AC＝AO2＋OC2＝12＋22＝5.在Rt△BOC中，由勾股定理，得BC＝BO2＋OC2＝42＋22＝25.∵AC2＋BC2＝(5)2＋(25)2＝25，AB2＝52＝25，∴AC2＋BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°.∵AD∥BC，∴∠CAF＝90°.又∵BF⊥AD，∴四边形AFBC是矩形．∴BF＝AC＝5，AF＝BC＝25，∠BFD＝90°.∵AD∥BC，∴△AOH∽△BOC.∴AOOH＝BOOC，即1OH＝42，OH＝12.∴H0，－12.设直线AD的函数解析式为y＝kx＋b.把A(－1,0)，H0，－12代入，得∴0＝－k＋b，－12＝b.解得k＝－12，b＝－12.∴直线AD的函数解析式为y＝－12x－12.由y＝－12x－12，y＝－12x2＋32x＋2，解得x＝－1，y＝0或x＝5，y＝－3.∴D(5，－3)．∴AM＝6，DM＝3.在Rt△ADM中，由勾股定理，得AD＝AM2＋DM2＝62＋32＝35.∴DF＝AD－AF＝35－25＝5.在Rt△BDF中，tan∠BDF＝BFFD＝55＝1.∴∠BDA＝∠BDF＝45°.1．若反比例函数y＝kx与一次函数y＝x＋2的图象没有交点，则k的值可以是()A．－2B．－1C．1D．2解析：∵反比例函数y＝kx与一次函数y＝x＋2的图象没有交点，∴方程组y＝kx，y＝x＋2无解，∴方程kx＝x＋2无解，即x2＋2x－k＝0无解．∴Δ＝4－4×(－k)＜0.解得k＜－1.故选A.答案：A2．如图，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象过点B(0，－2)，它与反比例函数y＝－8x的图象交于点A(m,4)，则这个二次函数的解析式为()A．y＝x2－x－2B．y＝x2－x＋2C．y＝x2＋x－2D．y＝x2＋x＋2解析：将点A(m,4)代入y＝－8x，得m＝－2，因此点A的坐标为(－2,4)，将点A和点B的坐标分别代入y＝x2＋bx＋c，得－22－2b＋c＝4，c＝－2，解得b＝－1，c＝－2，所以二次函数的解析式为y＝x2－x－2.故选A.答案：A3．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则反比例函数y＝ax与一次函数y＝bx＋c在同一坐标系中的大致图象是()解析：由二次函数的图象可知，c＝0，a＜0，b＜0.所以反比例函数的图象位于第二、四象限，一次函数的图象经过第二、四象限和原点．故选D.答案：D4．如图，在平面直角坐标系xOy中，若动点P在抛物线y＝ax2上，⊙P恒过点F(0，n)，且与直线y＝－n始终保持相切，则n＝(用含a的代数式表示)．解析：设点P的坐标为(x，y)，∵⊙P与直线y＝－n始终保持相切，∴⊙P的半径为y＋n.∵⊙P恒过点F(0，n)，∴PF＝y＋n，即x2＋(y－n)2＝(y＋n)2，x2＋y2－2yn＋n2＝y2＋2yn＋n2，x2＝4yn.又∵y＝ax2，∴x2＝4ax2n，∴n＝14a.答案：14a5．如图，在平面直角坐标系中，双曲线y＝mx和直线y＝kx＋b交于A，B两点，点A的坐标为(－3,2)，BC⊥y轴于点C，且OC＝6BC.(1)求双曲线和直线的解析式；(2)直接写出不等式mx＞kx＋b的解集．解：(1)∵点A(－3,2)在双曲线y＝mx上，∴2＝m－3，∴m＝－6.∴双曲线的解析式为y＝－6x.∵点B在双曲线y＝－6x上，且OC＝6BC，设点B的坐标为(a，－6a)，∴－6a＝－6a，解得a＝±1(负值舍去)．∴点B的坐标为(1，－6)．∵直线y＝kx＋b过点A，B，∴2＝－3k＋b，－6＝k＋b，解得k＝－2，b＝－4.∴直线的解析式为y＝－2x－4.(2)不等式mxkx＋b的解集为－3x0或x1.6．如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c的顶点坐标为M(0，－1)，与x轴交于A，B两点．(1)求抛物线的解析式；(2)判断△MAB的形状，并说明理由；(3)过原点的任意直线(不与y轴重合)交抛物线于C，D两点，连接MC，MD，试判断MC，MD是否垂直，并说明理由．解：(1)∵抛物线y＝x2＋bx＋c的顶点坐标为M(0，－1)，∴－b2＝0，4c－b24＝－1，解得b＝0，c＝－1.∴抛物线的解析式为y＝x2－1.(2)△MAB是等腰直角三角形．理由如下：由抛物线的解析式为y＝x2－1，可知A(－1,0)，B(1,0)，∴OA＝OB＝OM＝1，∴∠AMO＝∠MAO＝∠BMO＝∠MBO＝45°，∴∠AMB＝∠AMO＋∠BMO＝90°，AM＝BM，∴△MAB是等腰直角三角形．(3)MC⊥MD.理由如下：如图，分别过点C，D作y轴的平行线，交x轴于点E，F，过点M作x轴的平行