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第23讲相似三角形考点一相似三角形的定义如果两个三角形的各角对应相等，各边对应成比例，那么这两个三角形相似．考点二相似三角形的性质1．相似三角形的对应角相等，对应边成比例．2．相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比．3．相似三角形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．温馨提示：运用相似三角形的性质要特别注意“对应”，并不是任意高的比、角平分线的比、中线的比都等于相似比，而只有对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比等于相似比.考点三相似三角形的判定1．平行于三角形一边的直线和其他两边(或其他两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．2．两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似．3．两角对应相等的两个三角形相似．4．三边对应成比例的两个三角形相似．温馨提示：直角三角形相似的判定：1两直角边对应成比例的两个直角三角形相似；2有一个锐角对应相等的两个直角三角形相似；3有斜边和一直角边对应成比例的两个直角三角形相似；4直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似.考点四利用相似三角形解决实际问题在实际生活中利用影子测量树高、楼房高以及利用反射构造相似等问题常常用到相似三角形的性质来解决．考点一相似三角形的性质例1(2014·重庆)如图，△ABC∽△DEF，相似比为1∶2，若BC＝1，则EF的长是()A．1B．2C．3D．4【点拨】由△ABC∽△DEF，相似比为1∶2，可得BC∶EF＝1∶2，又BC＝1，所以EF＝2.故选B.【答案】B方法总结：相似三角形的对应边长之比、周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方.考点二相似三角形的判定例2(2014·岳阳)如图，矩形ABCD为台球桌面．AD＝260cm，AB＝130cm.球目前在E点位置，AE＝60cm.如果小丁瞄准BC边上的点F将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到D点的位置．(1)求证：△BEF∽△CDF；(2)求CF的长．【点拨】本题考查相似三角形的判定和性质，能根据条件选择合适的方法是解题的关键．解：(1)证明：由题意，得∠EFG＝∠DFG.∵∠EFG＋∠BFE＝90°，∠DFG＋∠CFD＝90°，∴∠BFE＝∠CFD.∵∠B＝∠C＝90°，∴△BEF∽△CDF.(2)∵△BEF∽△CDF，∴BECD＝BFCF，∴130－60130＝260－CFCF，∴CF＝169.方法总结：判定两个三角形相似时，方法有多种，要结合题目给出的条件和图形中隐含的条件，确定合适的方法.常用的方法：①两个角对应相等；②平行线法.考点三相似三角形的应用例3(2014·潍坊)如图，某水平地面上建筑物的高度为AB，在点D和点F处分别竖立高是2米的标杆CD和EF，两标杆相隔52米，并且建筑物AB、标杆CD和EF在同一竖直平面内．从标杆CD后退2米到点G处，在G处测得建筑物顶端A、标杆顶端C在同一条直线上；从标杆FE后退4米到点H处，在H处测得建筑物顶端A和标杆顶端E在同一直线上，则建筑物的高是________米．【点拨】设建筑物的高为x米，根据题意，易得△CDG∽△ABG，∴CDAB＝DGBG，∵CD＝DG＝2米，∴BG＝AB＝x米．再由△EFH∽△ABH，可得EFAB＝FHBH，即2x＝4BH，∴BH＝2x(米)，即BD＋DF＋FH＝2x，即x－2＋52＋4＝2x，解得x＝54.【答案】54方法总结：在实际生活中，处处存在相似三角形.相似三角形的应用体现在：①同一时刻物高与影长的问题；②利用相似测量无法直接测量的物体；③利用相似进行图形设计等.1．如图，在△ABC中，∠AED＝∠B，则下列等式成立的是()A.DECB＝ADDBB.AECB＝ADBDC.DECB＝AEABD.ADAB＝AEAC解析：∵∠AED＝∠B，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB.且边AD与AC对应，AE与AB对应，DE与CB对应．∴ADAC＝AEAB＝DECB.故选C.答案：C2．如图，在△ABC中，AB＝9，BC＝6，DE∥AB，BD是∠ABC的平分线，那么△DCE的面积与四边形ABED的面积之比是()A．4∶21B．4∶9C．9∶16D．2∶3解析：∵DE∥AB，∴∠BDE＝∠DBA，又∵BD是∠ABC的平分线，∴∠DBA＝∠DBE，∴∠DBE＝∠BDE，∴BE＝DE.∵AB＝9，BC＝6，设CE＝x，又∵DE∥AB，∴DEAB＝CECB，6－x9＝x6，解得x＝125.∵DE∥AB，∴S△CDES△CAB＝CE2CB2，即S△CDES△CAB＝425.∴S△CDES四边形ABED＝421.故选A.答案：A3．如图，点P是△ABC的边AC上一点，连接BP，以下条件中，不能判定△ABP∽△ACB的是()A.ABAP＝ACABB.BCBP＝ACABC．∠ABP＝∠CD．∠APB＝∠ABC解析：△ABP和△ACB有公共角∠A，故添加ABAP＝ACAB，由“两组对应边的比相等且夹角相等”可得△ABP∽△ACB；添加∠ABP＝∠C或∠APB＝∠ABC，由“两角对应相等”可得△ABP∽△ACB；只有添加BCBP＝ACAB，不能得出△ABP∽△ACB.故选B.答案：B4．如图，在一场羽毛球比赛中，站在场内M处的运动员林丹把球从N点击到了对方内的B点，已知网高OA＝1.52米，OB＝4米，OM＝5米，则林丹起跳后击球点N离地面的距离NM＝米．解析：∵AO∥NM，∴△BOA∽△BMN.∴AONM＝BOBM，即1.52NM＝44＋5，解得NM＝3.42(米)．答案：3.425．已知点P是边长为4的正方形ABCD内一点，且PB＝3，BF⊥BP，垂足是点B,若在射线BF上找一点M，使以点B,M,C为顶点的三角形与△ABP相似，则BM为.解析：∵∠FBP＝∠ABC＝90°，∴∠CBF＝∠ABP.当△MBC∽△ABP时，BM∶BA＝BC∶BP，得BM＝4×4÷3＝163；当△ABP∽△CBM时，BM∶BP＝CB∶AB，得BM＝4×3÷4＝3.∴BM为163或3.答案：163或36．如图，已知四边形ABCD是平行四边形．(1)求证：△MEF∽△MBA；(2)若AF，BE分别是∠DAB，∠CBA的平分线，求证：DF＝EC.证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB.∴△MEF∽△MBA.(2)在▱ABCD中，∵CD∥AB，∴∠DFA＝∠FAB.又∵AF是∠DAB的平分线，∴∠DAF＝∠FAB，∴∠DAF＝∠DFA，∴AD＝DF.同理可得EC＝BC.又∵AD＝BC，∴DF＝EC.考点训练一、选择题(每小题3分，共33分)1．(2014·南京)若△ABC∽△A′B′C′，相似比为1∶2，则△ABC与△A′B′C′的面积的比为(C)A．1∶2B．2∶1C．1∶4D．4∶1解析：∵△ABC∽△A′B′C′，∴S△ABCS△A′B′C′＝122＝14，故选C.2．(2014·天津)如图，在▱ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF∶FC等于()A．3∶2B．3∶1C．1∶1D．1∶2解析：在▱ABCD中，∵AD∥BC，∴△DEF∽△BCF，∴DEBC＝EFFC.∵点E是边AD的中点，∴DE＝12AD＝12BC，∴EFFC＝12.故选D.答案：D3．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC.已知AE＝6，ADDB＝34，则EC的长是()A．4.5B．8C．10.5D．14解析：∵DE∥BC，∴ADDB＝AEEC＝34.∵AE＝6，∴EC＝8.故选B.答案：B4．(2014·贵阳)如图，在方格纸中，△ABC和△EPD的顶点均在格点上，要使△ABC∽△EPD，则点P所在的格点为()A．P1B．P2C．P3D．P4解析：设方格纸中每个方格的边长为1，则AB＝3，AC＝2，DE＝4，∵△ABC∽△EPD，∴ABEP＝ACDE，即3EP＝24，∴EP＝6.故选C.答案：C5.如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE＝20m，EC＝10m，CD＝20m，则河的宽度AB等于()A．60mB．40mC．30mD．20m解析：根据题意，知△ABE∽△DCE，∴ABCD＝BEEC，即AB20＝2010，∴AB＝40(m)．故选B.答案：B6．(2014·本溪)如图，已知△ABC和△ADE均为等边三角形．D在BC上，DE与AC相交于点F，AB＝9，BD＝3，则CF等于()A．1B．2C．3D．4解析：∵△ABC和△ADE均为等边三角形，∴∠B＝∠BAC＝60°，∠E＝∠EAD＝60°，∴∠B＝∠E，∠BAD＝∠EAF，∴△ABD∽△AEF，∴AB∶BD＝AE∶EF.同理可证△CDF∽△EAF，∴CD∶CF＝AE∶EF，∴AB∶BD＝CD∶CF，即9∶3＝(9－3)∶CF，∴CF＝2.故选B.答案：B7．如图，点D是△ABC的边BC上任一点，已知AB＝4，AD＝2，∠DAC＝∠B.若△ABD的面积为a，则△ACD的面积为()A．aB.12aC.13aD.25a解析：∵∠DAC＝∠B，∴△CAD∽△CBA.∴ADAB＝ACBC＝CDAC.∵AB＝4，AD＝2，∴ACBC＝CDAC＝24＝12.∴BC＝2AC，AC＝2CD，∴BC＝4CD，∴BD＝3CD.∵△ABD的面积为a，∴△ACD的面积为13a.故选C.答案：C8．小明在测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长BA为15米(如图)，然后在A处树立一根高2米的标杆，测得标杆的影长AC为3米，则楼高为()A．10米B．12米C．15米D．22.5米解析：由太阳光是平行光线，可得△ACD∽△BAE，∴BAAC＝BEAD，即153＝BE2，解得BE＝10(米)．故选A.答案：A9．(2014·宁波)如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠ACD＝90°，AB＝2，DC＝3，则△ABC与△DCA的面积比为()A．2∶3B．2∶5C．4∶9D.2∶3解析：∵AD∥BC，∴∠ACB＝∠CAD.又∵∠B＝∠ACD＝90°，∴△ABC∽△DCA.∵AB＝2，DC＝3，∴S△ABC∶S△DCA＝AB2∶CD2＝4∶9.故选C.答案：C10．(2014·荆州)如图，AB是半圆O的直径，D，E是半圆上任意两点，连接AD，DE，AE与BD相交于点C，要使△ADC与△ABD相似，可以添加一个条件．下列添加的条件其中错误的是()A．∠ACD＝∠DABB．AD＝DEC．AD2＝BD·CDD．AD·AB＝AC·BD解析：对于A，∵∠ACD＝∠DAB，∠ADC＝∠BDA，∴△ADC∽△BDA；对于B，∵AD＝DE，∴∠DAE＝∠B，∴∠DAC＝∠B.又∵∠ADC＝∠BDA，∴△ADC∽△BDA；对于C，∵AD2＝BD·CD，∴CDAD＝ADBD，而∠ADC＝∠BDA，∴△ADC∽△BDA；对于D，∵AD·AB＝AC·BD，∴ADBD＝ACBA，而∠ADC＝∠BDA不是两边的夹角，∴不能判定两个三角形相似．故选D.答案：D11．(2014·铜仁)如图，在矩形ABCD中，F是DC上的一点，AE平分∠BAF交BC于点E，且DE⊥AF，垂足为点M，BE＝3，AE＝26，则MF的长是()A.15B.1510C．1D.1515解析：∵AE平分∠BAF，且DE⊥AF，∠B＝90°，∴BE＝EM＝3.由勾股定理可得AB＝AM＝AE2－BE2＝24－9＝15.设EC＝x(x＞0)，利用勾股定理可得ED＝CD2＋CE2＝15＋x2，∴DM＝15＋x2－3.在Rt△AMD中，AM2＋DM2＝AD2，即15＋(15＋x2－3)2＝(x＋3)2，解得x＝1.可得DM＝1.易知∠DAM＋∠ADM＝90°，∠ADM＋∠MDF＝90°，∴∠DAM＝∠MDF.∴△DMF∽△AMD，∴MFDM＝DMAM，即MF1＝115，解得MF＝1515.故选D.答案：D二、填空题(每小题4分，共24分)12．(2014·长沙)如图，在△ABC中，DE∥BC，D