自动控制原理(黄家英)第二版课后答案-10

1第十章非线性控制系统自动控制原理2本章主要内容1.引言2.相平面法3.非线性系统的相平面分析4.描述函数法5.非线性系统的描述函数分析了解熟悉掌握3非线性：指元件或环节的静特性不是按线性规律变化。非线性系统：如果一个控制系统，包含一个或一个以上具有非线性静特性的元件或环节，则称这类系统为非线性系统.特性不能用线性微分方程来描述。10.110.1非线性控制系统概述非线性控制系统概述线性：指元件或环节的静特性是按线性规律变化。线性系统：控制系统中的所有元件或环节都具有线性静特性,通常用线性微分方程来描述。基本概念4柱形液位系统中，为液位高度，为液体流入量，为液体流出量，为贮槽的截面积。HiQ0QCHkQ0HkQQQdtdHCii0根据水力学原理知动态方程:液位和液体输入量的数字关系式为非线性微分方程。K取决于液体的粘度的阀阻1.非线性现象的普遍性非线性是宇宙间的普遍规律非线性系统的运动形式多样，种类繁多线性系统只是在特定条件下的近似描述10.110.1非线性控制系统概述非线性控制系统概述52.非线性系统的一般数学模型一个单输入单输出非线性特性的数学描述为：非线性特性中，死区特性、饱和特性、继电特性、间隙特性是最常见的，也是最简单。(,,,,)(,,,,)nmnmdydydrdrftygtrdtdtdtdt其中和为非线性函数)(f)(g610.1.2非线性控制系统的特点•(1)不适用叠加性原理•(2)稳定性分析复杂–稳定性不仅与系统的结构和参数有关，也与初始条件以及系统的输入信号的类型和幅值有关。•线性系统：只有一个平衡点•非线性系统：可能有多个平衡点xx例：讨论线性的平衡点和稳定性0txxe0解为：(t0时系统的初始状态为x)0xtx(t)'0x无论x0为何值，x(t)0系统稳定，只有一个平衡状态x=07分析：。x时,1xxln即：t011，xexx1，并当：1exx11x1时(1)当x00t00t0001x1时(2)当x00，x，而且当t1ek11exx11x的t值，因此上式不存在使x1时(3)当xtt0002xxx非线性一阶系统：令，可知该系统存在两个平衡状态0x0x1x系统的初始状态为X0,解为：ttexxextx0001)(非线性系统可能存在多个平衡状态，各平衡状态可能是稳定的也可能是不稳定的；平衡状态的稳定性不仅与系统的结构和参数有关，而且与系统的初始条件有直接的关系。8•(3)可能存在自持振荡（极限环）现象–自持振荡：指没有外界周期变化信号的作用时，系统内部产生的具有固定振幅和频率的稳定周期运动。–线性系统的运动状态只有收敛和发散，只有在临界稳定的情况下才能产生周期运动。而这一周期运动是物理上不可能实现的–非线性系统，在没有外作用时，可能会发生一定频率和振幅的稳定的周期运动，即自持振荡，这个周期运动在物理上是可以实现的。10.1.2非线性控制系统的特点自持振荡是某些非线性系统的重要特征，也是研究非线性系统的一个重要内容长时间大幅度的振荡会造成机械磨损，增加控制误差，因此多数情况下不希望系统有自振发生9(4)频率响应发生畸变非线性系统的频率响应除了含有与输入同频率的正弦信号分量外，还含有的高次谐波分量，使输出波形发生非线性畸变。•G(s)、G(j)对非线性系统不适用10.1.2非线性控制系统的特点cA线性系统123456cA非线性系统1010.1.2常见非线性特性x(t)y(t)(1)死区特性（不灵敏区特性）特点：当输入信号较小而达不到某一数值时，系统没有输出。当输入信号大于某一数值时才有输出。测量元件、放大元件及执行机构的不灵敏区。()0()()[()sign()]xtaytxtakxtaxt11•死区特性的不利影响：•—些场合，将导致系统不稳定或自激振荡，•在一些系统中(例如位置随动系统中)，死区的存在，将使稳态误差与输入信号大小有关，会使控制的灵敏度下降，稳态误差加大。有利的影响：•在另外—些场合，由于系统不灵敏，有利于系统的稳定或者自激振荡的抑制；•有时为了提高系统抗干扰能力，故意引入或增大死区；典型的非线性特性12特点：当输入信号超出其线性范围后，输出信号不再随输入信号变化而保持恒定。x(t)y(t)放大器及执行机构受电源电压或功率的限制导致饱和现象(2)饱和特性()()()()sgn()xtakxtytxtakaixt典型的非线性特性饱和特性将使系统在大信号作用下之等效于放大系数减小，因而降低稳态精度。在有些系统中利用饱和特性做信号限幅。13(3)滞环（间隙）特性特点：•输入输出之间具有多值关系。•元件开始运动：输入信号a时，无输出信号；当输入信号a以后，输出随输入线性变化。•元件反向运动：保持在运动方向发生变化瞬间的输出值；输入反向变化2a，输出随输入线性变化。•齿轮传动中的齿隙•液压传动中的油隙滞环输出相位滞后，减小稳定性裕量，动态特性变坏。[()]()0()[()]()0sgn()()0kxtaxtytkxtaxtcxtxty(t)x(t)c典型的非线性特性14(4)继电器特性理想继电器具有死区的单值继电器y(t)x(t)y(t)x(t)y(t)x(t)典型的非线性特性00MxyMx0||MxayxaMxa功能：改善系统性能的切换元件15y(t)x(t)具有滞环的继电器具有死区和滞环的继电器包含有死区、饱和、滞环特性x(t)y(t)(4)继电器特性221111220000::..MxhyhxhxMxhMxhyhxhxMxh继电器非线性会使系统产生自持振荡，甚至会导致系统不稳定，并且使稳态误差加大。1610.1.3.非线性系统的分析与设计方法•非线性系统分析的重点–某一平衡点是否稳定，如果不稳定应如何校正；–系统中是否会产生自持振荡，如何确定其周期和振幅；–如何利用或消除自持振荡以获得需要的性能指标。17•基本的非线性系统研究方法小范围线性近似法逐段线性近似法相平面法非线性系统的图解法，只适用于阶数最高为二阶的系统。（重点）描述函数法非线性系统的频域法，适用于具有低通滤波特性的各种阶次的非线性系统。李雅普诺夫法计算机仿真注意：对于非线性系统，目前还没有统一的且普遍适用的处理方法。线性系统是非线性系统的特例，线性系统的分析和设计方法在非线性控制系统的研究中仍将发挥非常重要的作用。1810.2相平面法10.2.1相平面的基本概念10.2.2相轨迹的绘制方法10.2.3线性系统的相轨迹10.2.4奇点和奇线10.2.5由相轨迹图求时间响应19相平面：相轨迹：)1(5)(sssGcc,由系统某变量及其导数(如)构成的用以描述系统状态的平面。例1单位反馈系统2236.0236.2n)(1)(ttr相轨迹图：相平面+相轨迹簇10.2.1相平面的基本概念二阶时不变微分方程:(,)...fccc系统变量及其导数从初始时刻所对应的状态点（）出发，随时间变化在相平面上描绘出来的轨迹。00,cc20相平面法的基本思路二阶非线性系统的零输入响应规律可以由相平面上的相轨迹来描述；绘制各种典型初始状态点下系统的相轨迹图，可以全面而形象地描述非线性系统的运动规律（包括稳定性、自持振荡、暂态响应和稳态误差）；对于单位阶跃或单位斜坡输入下的响应可以转化为对应不同的初始状态点下的系统相轨迹。10.2.1相平面的基本概念210),(xxfx设非线性系统方程为：(1)相轨迹的斜率(,)dxdxdtfxxdxdxdtx(,)dxdxdxdxxxfxxdtdxdtdx2.相轨迹的基本特征00xx(,)00dxfxxdxx通过奇点的相轨迹可能不止一条，甚至有无穷多条；任一普通点有且只有一条相轨迹通过（解的存在性和唯一性）；对于线性定常系统，原点是唯一的平衡点(2)相轨迹的奇点(平衡点)相轨迹上斜率不确定的点满足显然奇点一定在x轴上表示相轨迹通过该点的运动方向22(3)相轨迹的运动方向上半平面:—向右移动0x0x下半平面:—向左移动顺时针运动(4)相轨迹通过横轴的方向(,)00fxxx相轨迹以90°穿越x轴(,)dxfxxdxx相轨迹的基本特征：（除去奇点）dxdx231.解析法相轨迹的绘制1.解析法；2.等倾线法(,)xfxx二阶时不变微分方程:在某些特定条件下，也可以通过积分法，直接由微分方程获得和的解析关系式()xt()xtdxxxdx(,)dxxfxxdx若该式两个变量可以分离()()gxdxhxdx两端积分00()()xxxxgxdxhxdx由此可得和的解析关系式，其中和为初始条件xx0x0x相轨迹方程直接求解和的关系()xt()xt24例7-1考虑二阶系统：00000,0,(),()xaxaxtxxtx1.解析法(1)导出相轨迹方程dxdxdxdxxxdtdxdtdxxdxaxdx两边积分得222200xaxxaxA相轨迹方程（2）根据不同的初始条件，绘制相轨迹25(,)(,)(,)dxdxfxxxfxxxfxxdxdxx2.等倾线法一种图解方法，先确定相轨迹的等倾线，进而绘出相轨迹的切线方向场，然后从初始条件出发，沿方向场绘制相轨迹。绘制步骤：（1）改写二阶微分方程相轨迹的切线斜率（2）导出等倾线方程(,)•dxfxxdxxα是常数(,)0fxxx表示相平面上的一条曲线，当相轨迹经过该曲线上任一点时，其切线的斜率都相等（α）,这条曲线就称为等倾线。26（3）α取不同值时，画出若干不同的等倾线，在每条等倾线上画出表示斜率为α的小线段，构成相轨迹的切线方向场（4）从相轨迹的初始状态点按顺序将各小线段连接起来，就得到了所求的相轨迹。2.等倾线法一般地，等倾线分布越密，则所作的相轨迹越准确。但绘图工作量增加，同时也使作图产生的积累误差增大27320xxx解3232dxdxxxxxxdxdxx3232dxxxxxxdxx23xx例：作出下列二阶系统的相轨迹（1）改写二阶微分方程（2）导出等倾线方程求出奇点为（0，0）。282令β3β1时1β2时2；-2-0.50∞1-1-0.67β-21∞-3-5-10α23xx列出等倾线斜率与相轨迹切线斜率α的关系：两条特殊的等倾线：两条特殊的等倾线对应系统的两个极点只有线性系统才可能有渐近线。295,1)t(x)t(x3,,01,5.00,67.012)t(x)t(x3,从相轨迹图可以直观地看到：所有的相轨迹都最终收敛到奇点（0，0），这说明系统是渐近稳定的；相轨迹都趋向于两条特殊的等倾线，说明系统的响应为非振荡衰减形式-2-0.50∞1-1-0.67β-21∞-3-5-10α30例：作出下列二阶系统的相轨迹0000.....)(,)(,0xtxxtxxxxdxxdtdxxxdt容易求出奇点为（0，0）。解：（1）导出等倾线方程dxxxdxx()111xxxxx)1(31§7.2相平面法（14)从相轨迹图可以直观地看到：所有的相轨迹都最终收敛到奇点（0，0），这说明系统是渐近稳定的；可以证明，每一条相轨迹都是向心螺旋线，这说明系统的运动过程是衰减振荡的。323.MATLAB相轨迹绘图法P518