固体物理学答案(朱建国版)

固体物理学·习题指导固体物理学·习题指导配合《固体物理学（朱建国等编著）》使用2019年11月18日固体物理学·习题指导i第1章晶体结构..............................................................................................................................1第2章晶体的结合........................................................................................................................12第3章晶格振动和晶体的热学性质.............................................................................................20第4章晶体缺陷............................................................................................................................33第5章金属电子论........................................................................................................................37固体物理学·习题指导1第1章晶体结构1.1有许多金属即可形成体心立方结构，也可以形成面心立方结构。从一种结构转变为另一种结构时体积变化很小.设体积的变化可以忽略，并以Rf和Rb代表面心立方和体心立方结构中最近邻原子间的距离，试问Rf/Rb等于多少？答：由题意已知，面心、体心立方结构同一棱边相邻原子的距离相等，都设为a：对于面心立方，处于面心的原子与顶角原子的距离为：Rf=22a对于体心立方，处于体心的原子与顶角原子的距离为：Rb=32a那么，RfRb=23aa=631.2晶面指数为（123）的晶面ABC是离原点O最近的晶面，OA、OB和OC分别与基失a1，a2和a3重合，除O点外，OA，OB和OC上是否有格点？若ABC面的指数为（234），情况又如何？答：晶面族（123）截a1,a2,a3分别为1,2,3等份，ABC面是离原点O最近的晶面，OA的长度等于a1的长度，OB的长度等于a2长度的1/2，OC的长度等于a3长度的1/3，所以只有A点是格点。若ABC面的指数为（234）的晶面族，则A、B和C都不是格点。1.3二维布拉维点阵只有5种，试列举并画图表示之。答：二维布拉维点阵只有五种类型，两晶轴ba、，夹角，如下表所示。序号晶系基矢长度与夹角关系布拉维晶胞类型所属点群1斜方任意2,ba、简单斜方（图中1所示）1，22正方2,ba简单正方（图中2所示）4，4mm3六角32,ba简单六角（图中3所示）3，3m，6，6mm4长方2,ba简单长方（图中4所示）有心长方（图中5所示）1mm，2mm1简单斜方2简单正方3简单六角固体物理学·习题指导24简单长方5有心长方二维布拉维点阵1.4在六方晶系中，晶面常用4个指数（hkil）来表示，如图所示，前3个指数表示晶面族中最靠近原点的晶面在互成120°的共平面轴a1，a2，a3上的截距a1/h，a2/k，a3/i，第四个指数表示该晶面的六重轴c上的截距c/l.证明：i=-（h+k）并将下列用（hkl）表示的晶面改用（hkil）表示：（001）(133)(110)(323)（100）（010）(213)答：证明设晶面族（hkil）的晶面间距为d，晶面法线方向的单位矢量为n°。因为晶面族（hkil）中最靠近原点的晶面ABC在a1、a2、a3轴上的截距分别为a1/h，a2/k，a3/i，因此123oooanhdankdanid………(1)由于a3=–（a1+a2）313()ooanaan把（1）式的关系代入，即得()idhdkd()ihk根据上面的证明，可以转换晶面族为（001）→（0001），(133)→(1323)，(110)→(1100)，(323)→(3213)，（100）→(1010)，（010）→(0110)，(213)→(2133)1.5如将等体积的硬球堆成下列结构，求证球可能占据的最大面积与总体积之比为（1）简立方：6（2）体心立方：38（3）面心立方：26（4）六方密堆积：26（5）金刚石：316。答：令Z表示一个立方晶胞中的硬球数，Ni是位于晶胞内的球数，Nf是在晶胞面上的球数，Ne是在晶胞棱上的球数，Nc是在晶胞角隅上的球数。于是有：111248ifecZNNNN固体物理学·习题指导3边长为a的立方晶胞中堆积比率为334*3rFZa假设硬球的半径都为r，占据的最大面积与总体积之比为θ，依据题意（1）对于简立方，晶胞中只含一个原子，简立方边长为2r，那么：θ=334/3(2)rr=6（2）对于体心立方，晶胞中有两个原子，其体对角线的长度为4r，则其边长为43r，那么：θ=332(4/3)(4/3)rr=38（3）对于面心立方，晶胞中有四个原子，面对角线的长度为4r，则其边长为22r，那么：θ=334(4/3)(22)rr=26（4）对于六方密堆积一个晶胞有两个原子，其坐标为（000）（1/3，2/3，1/2），在理想的密堆积情况下，密排六方结构中点阵常数与原子半径的关系为a=2r，因此θ=3242()332rac=26（5）对于金刚石结构Z=838ar那么333443*8()338rFZa=316.1.6有一晶格，每个格点上有一个原子，基失（以nm为单位）a=3i，b=3j，c=1.5（i+j+k），此处i，j，k为笛卡儿坐标系中x，y，z方向的单位失量.问：（1）这种晶格属于哪种布拉维格子？（2）原胞的体积和晶胞的体积各等于多少？答：（1）因为a=3i，b=3j，而c=1.5（i+j+k）=1/2（3i+3j+3k）=1/2（a+b+c′）式中c′=3c。显然，a、b、c′构成一个边长为3*10-10m的立方晶胞，基矢c正处于此晶胞的体心上。因此，所述晶体属于体心立方布喇菲格子。（2）晶胞的体积=c(ab)=3k(3i3j)=27*10-30(m3)原胞的体积=c(ab)=1(333)(33)2ijkij=13.5*10-30(m3)1.7六方晶胞的基失为：322aaaij，322abaij，cck固体物理学·习题指导4求其倒格子基失，并画出此晶格的第一布里渊区.答：根据正格矢与倒格矢之间的关系，可得：正格子的体积Ω=a·（b*c）=232ac那么，倒格子的基矢为12()bcb223ijaa，22()cab223ijaa，32()abb2kc其第一布里渊区如图所示：1.8若基失a，b，c构成正交晶系，求证：晶面族（hkl）的面间距为2221()()()hkldhklabc答：根据晶面指数的定义，平面族（hkl）中距原点最近平面在三个晶轴a1，a2，a3上的截距分别为1ah，2ak，3al。该平面（ABC）法线方向的单位矢量是123dhdkdlnxyzaaa这里d是原点到平面ABC的垂直距离，即面间距。由|n|=1得到222123()()()1dhdkdlaaa故12222123[()()()]hkldaaa1.9用波长为0.15405nm的X射线投射到钽的粉末上，得到前面几条衍射谱线的布拉格角θ如下序号12345θ/（°）19.61128.13635.15641.15647.769已知钽为体心立方结构，试求：（1）各谱线对应的衍射晶面族的面指数；（2）上述各晶面族的面间距；（3）利用上两项结果计算晶格常数.答：对于体心立方结构，衍射光束的相对强度由下式决定：2222|[1cos()]sin()hklIFfnhklfnhkl考虑一级衍射，n=1。显然，当衍射面指数之和（h+k+l）为奇数时，衍射条纹消失。只有当（h+k+l）为偶数时，才能产生相长干涉。因此，题给的谱线应依次对应于晶面（110）、（200）、固体物理学·习题指导5（211）、（220）和（310）的散射。由布喇格公式2sin(1)hkldn得1011011.54052.29510()2sin2sin19.611odm同法得1020021.633410()2sindm1021131.337710()2sindm1022031.160910()2sindm1031041.040310()2sindm应用立方晶系面间距公式222hkladhkl可得晶格常数222hkladhkl把上面各晶面指数和它们对应的面间距数值代入，依次可得a的数值*10-10m为3.2456，3.2668，3.2767，3.2835，3.2897取其平均值则得103.272510()am1.10平面正三角形，相邻原子的间距为a，试给出此晶格的正格矢和倒格矢；画出第一和第二布里渊区.答：参看下图，晶体点阵初基矢量为1aai21322aaiaj用正交关系式022,ijijijijba求出倒易点阵初基矢量b1，b2。设111xybbibj222xybbibj固体物理学·习题指导6由112ba120ba210ba222ba得到下面四个方程式11()2xyaibibj（1）1113()()022xyaiajbibj（2）22()0xyaibibj（3）2213()()222xyaiajbibj（4）由（1）式可得：12xba由（2）式可得：123yba由（3）式可得：20xb由（4）式可得：243yba于是得出倒易点阵基矢1223bijaa243bja补充习题：1.11什么是晶体？什么是非晶体？试各举一例说明。答：晶体是原子、离子或分子按照一定的周期性，在结晶过程中，在空间排列形成具有一定规则的几何外形的固体，如铁；非晶体是其中的原子不按照一定空间顺序排列的固体，如玻璃。1.12什么是原胞？什么是晶胞？答：原胞是具有2维、3维或者其他维度平移对称性的简单点阵结构的最小重复单元，晶胞是为了反映晶体的周期性和对称性而选取的重复单元。1.13什么是布拉维原胞？什么是WS原胞？答：布拉维原胞就是晶胞，WS原胞是以晶格中某一格点为中心，作其与近邻的所有格点连线的垂直平分面，这些平面所围成的以改点为中心的凸多面体即为该点的WS原胞。1.14试计算面心立方和体心立方的堆垛因子答：设面心立方晶胞的边长为a，则堆垛成面心立方晶胞的原子半径最大为4/2a。由于面心立方体晶胞中有4216818个原子，所以面心立方的堆垛因子固体物理学·习题指导77405.0624423433aa设体心立方晶胞的边长为a，则堆垛成体心立方晶胞的原子半径最大为4/3a。由于体心立方晶胞中有21818个原子，所以体心立方的堆垛因子6802.0832433433aa1.15绘出面心立方的晶胞和原胞示意图。答：面心立方的晶胞和原胞如下图所示，黑色-晶胞，蓝色-原胞。1.16试绘出二维正方晶格的W－S原胞，设边长为a。答：1.17请列表给出简立方、体心立方、面心立方的最近邻（第一近邻）到第十近邻的原子数、原子间距。答：设简立方、体心立方、面心立方晶胞边长为a。第n近邻简立方体心立方面心立方原子数原子间距原子数原子间距原子数原子间距16a82