利用导数解决恒成立问题

利用导数研究“恒成立”的问题不等式恒成立问题是近年高考的热点问题，常以压轴题形式出现，交汇函数、方程、不等式和数列等知识，有效地甄别考生的数学思维能力.由于不等式恒成立问题往往都可以转化为函数的最值问题，而导数，以其本身所具备的一般性和有效性，在求解函数最值中，起到无可替代的作用，【问题展示】【总结提升】解决恒成立问题的基本方法：1．分离参数法：其优点在于：有时可以避开繁琐的讨论．2．直接研究函数的形态．其缺点在于：有些问讨论比较复杂．当然，在解决问题时，要根据所给问题的特点，选择恰当的方法来解题．并在解题过程中，能够依据解题的进程合理地调整解题策略．.)()(),,0(),0(ln)()(12的取值范围恒成立，求对任意，：已知函数axgxfxaxaxgaxxf求a的取值范围.)恒成立，g(x)都有f(x),(0,x,x若对于0，其中a2lnx,xg(x),xax2：已知f(x)212122；，对恒成立都有，形如）（maxmin2121)()()()(,.2xgxfDxxgxfDxx；，对恒成立都有，形如minmax2121)()()()(,xgxfDxxgxfDxx【总结提升】0;g(x)f(x)D,x对恒成立0g(x)D，f(x)x对g(x)恒成立有f(x)D,x(1).对min0;g(x)f(x)D,x对恒成立0g(x)D，f(x)x对g(x)恒成立有f(x)D,x对max延伸学习.)()(],1,0[),,0(.22)(),0(ln)(21212的取值范围成立，求使得均存在若对已知函数axgxfxxxxxgaxaxxf已知函数()(1)e1.xfxx.（I）求函数()fx的最大值；（Ⅱ）设()(),fxgxx1,0xx且,证明:()gx＜1.（Ⅰ）f(x)＝－xex．当x∈(－∞，0)时，f(x)＞0，f(x)单调递增；当x∈(0，＋∞)时，f(x)＜0，f(x)单调递减．所以f(x)的最大值为f(0)＝0．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当x＞0时，f(x)＜0，g(x)＜0＜1．当－1＜x＜0时，g(x)＜1等价于设f(x)＞x．设h(x)＝f(x)－x，则h(x)＝－xex－1．当x∈(－1，－0)时，0＜－x＜1，0＜ex＜1，则0＜－xex＜1，从而当x∈(－1，0)时，h(x)＜0，h(x)在(－1，0]单调递减．当－1＜x＜0时，h(x)＞h(0)＝0，即g(x)＜1．综上，总有g(x)＜1．优化问题优化问题就是最值问题，导数是求函数最值的有力工具.例1：海报版面尺寸的设计学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图3.4-1所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2，上、下两边各空2dm，左、右两边各空1dm，如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？x图3.4-1分析：已知版心的面积，你能否设计出版心的高，求出版心的宽，从而列出海报四周的面积来？面积、容积的最值问题128:,,xdmdmx解设版心的高为则版心的宽为此时四周空白面积为'0,160xsx当时，；你还有其他解法吗？例如用基本不等式行不？128()(4)(2)128Sxxx51228,0xxx'2512 ()2Sxx求导数,得'2512()20Sxx令：1616xx解得：，（舍）128128816x于是宽为：'16,0.xsx当时，因此，x=16是函数S(x)的极小值，也是最小值点。所以，当版心高为16dm，宽为8dm时，能使四周空白面积最小。解法二：由解法(一)得512512()28228Sxxxxx232872512,16(0)xxxSx当且仅当2即时取最小值8128此时y=16816dmdm答：应使用版心宽为，长为，四周空白面积最小2、在实际应用题目中，若函数f(x)在定义域内只有一个极值点x0，则不需与端点比较，f(x0)即是所求的最大值或最小值.说明1、设出变量找出函数关系式；(所说区间的也适用于开区间或无穷区间)确定出定义域；所得结果符合问题的实际意义。1.解决面积，容积的最值问题，要正确引入变量，将面积或容积表示为变量的函数，结合实际问题的写出定义域，利用导数求解函数的最值．题后感悟2.步骤：问题2:饮料瓶大小对饮料公司利润有影响吗?•你是否注意过,市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些?你想从数学上知道它的道理吗?•是不是饮料瓶越大,饮料公司的利润越大?利润最大问题某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是0.8pr2分，其中r是瓶子的半径，单位是厘米，已知每出售1ml的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制造的瓶子的最大半径为6cm，(１)瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？(２）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？2()=0.8π-20=2()，f'rrrr令得r(0，2)2(2，6]f'(r)0f(r)-+减函数↘增函数↗-1.07p∴每瓶饮料的利润：324()0.20.83yfrrrpp32=0.8(-)3rπr)60(r解：由于瓶子的半径为r，所以每瓶饮料的利润是当半径r＞２时，f’(r)0它表示f(r)单调递增，即半径越大，利润越高；当半径r＜２时，f’(r)0它表示f(r)单调递减，即半径越大，利润越低．1.半径为２cm时，利润最小，这时(2)0f表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值２．半径为６cm时，利润最大