工程测量技术_第4章信号分析

14测量信号分析理论及方法工程测试技术2信号分析的基本思路、方法一、工程中的动态信号：(1)确定性信号：1）周期信号：简谐周期信号、复杂周期信号2）非周期信号：准周期信号、瞬变信号(2)随机信号：1）平稳随机过程：各态历经过程非各态历经过程2）非平稳随机过程二、描述方法1、域及转换（1）幅值域：概率密度函数（2）时间域：时间历程、相关函数等（3）频率域：功率谱密度32、随机信号的统计描述1）随机过程2）数据处理（1）总体1）平均值、均方值、均方根值、方差（2）样本2）概率密度函数（3）随机变量3）自相关函数与功率谱密度函数（4）平稳过程（4）互相关函数与互功率谱密度函数（5）各态历经过程44.1基本概念信号的分类一般信号都是随时间变化的时间函数，因此，可以根据信号随时间变化的规律将信号分为确定性信号和随机信号。一、确定性信号确定性信号是指可以用精确的数学关系式来表达的信号。给定一个时间值就可以得到一个确定的相应函数值。确定性信号根据它的波形是否有规律地重复可分为周期性信号和非周期性信号。周期性信号是按一定周期T重复的信号。简谐信号是最简单的周期信号，任何周期信号都可以看作是简谐信号的合成。非周期信号没有重复周期。它包括准周期信号和瞬态信号两类。54.1基本概念严格数学意义上的周期信号，是无始无终地重复着某一变化规律的信号。实际应用中，周期信号只是指在较长时间内按照某一规律重复变化的信号。实际上周期信号与非周期信号之间没有绝对的差别，当周期信号fT(t)的周期T无限增大时，则此信号就转化为非周期信号f(t)。即lim()()TTftft64.1基本概念确定性信号也可以按照它的取值情况分为连续信号和离散信号。连续信号：在某一时间间隔内，信号的幅值可以取连续范围内的任意数值。这样的连续时间函数所表示的信号就是连续信号。常见的信号大都属于这一类。离散信号的离散性可以表现在时间或幅值上，例如每天中午测量一次室温，则测量记录的温度信号就是离散信号，而经过测试系统量化后在时间和幅值上都是离散的信号，称为数字信号。二、随机信号（非确定性信号）随机信号不能用精确的数学关系式来表达，也无法确切地预测未来任何瞬间的精确值的信号，称为随机信号。74.1基本概念对于随机信号虽然也可以建立某些数学模型进行分析和预测，但只能是在概率统计意义上的近似描述，这种数学模型称为统计模型。84.1基本概念94.1基本概念信号的描述任何一个信号都可以用时域和频域进行描述。信号的时域描述表征信号的幅值随时间的变化规律。信号的频域描述是研究信号的频率结构，即组成信号的各频率分量的幅值及相位的信息，例如周期性方波可以看成是由一系列频率不同的正弦波叠加而成。从时域图形中可以知道信号的周期、峰值和平均值等，可以反映信号变化的快慢和波动情况。用时域描述比较直观、形象，便于观察和记录。由频域描述的图形——频谱图中可以研究其频率结构。例如对振动信号进行频谱分析，可以从频谱图中看出该振动是由哪些不同的频率分量组成的，各频率分量所占的比例，以及哪些频率分量是主要的，从而找出振动源，以便排除或减小有害振动。104.2周期信号的谱分析周期信号的分解正弦信号是简谐信号，而锯齿波、三角波、方波等都是非简谐信号。简谐信号是最简单的和最重要的周期信号。任意一个周期信号可以用简谐信号来表达，两者之间联系的桥梁是付里叶级数，所以付里叶级数是周期信号分析的理论基础。简谐周期信号的时变函数表达式复杂周期信号的时变函数表达式A—最大振幅，f0—频率，T—周期，T=1/f0，ω0—圆频率，ω0=2πf0Φ—初始相角，n—任意整数（n=1，2，3···）。任何一个周期信号在满足狄里赫利条件时，都可以展开成付里叶级数。)2sin()(0tfAtx)()(nTtxtx114.2周期信号的谱分析一、三角付里叶级数周期信号x(t)的三角付里叶级数表达式为付里叶系数为上式正弦、余弦项合并，得式中220)(2TTdttxTa220cos)(2TTntdtωntxTa220sin)(2TTntdtωntxTb100)cos(2)(nnnφtωnCatxnnnnnnabtgφbaC122)1,2,3,(n)sincos(2)(1000nnntωnbtωnaatxnnnnnnφC,bφCasincos124.2周期信号的谱分析上式表明周期信号可以用一个常值分量和无穷多个谐波分量之和表示。一次谐波分量n=1称为基波。基波的频率与信号的频率相同，高次谐波的频率为基频的整数倍。高次谐波又可分为奇次谐波（n为奇数）和偶次谐波（n为偶数）。这种把一个周期信号分解为一个直流和无数个谐波分量之和的方法称为谐波分析法或付里叶分析法。100)cos(2)(nnnφtωnCatx134.2周期信号的谱分析二、复数付里叶级数付里叶级数也可以写成复指数函数形式。根据欧拉公式得付里叶级数的复数形式：该式表明：周期信号可分解成无数多个指数分量之和。由欧拉公式可知，简谐信号可以用两项分别具有正负指数的项相加表示。因此，在复指数函数表示法中周期信号就由一组具有正负指数的函数组成。tωjtωetωjsincos)(21costωjtωjeetω)(21sintωjtωjeejtω,2,1,0)()(0neωXtxtωjnn144.2周期信号的谱分析复数形式的付里叶系数它的模和相角表示n次谐波的振幅和相位，即由于以上公式中谐波次数n值可正可负，因此势必会有（-ω）出现，这是因为从实数形式的付里叶级数过渡到复数形式的付里叶级数，用复数表示正弦和余弦，所以（-ω）完全是由于用复数表示所引起的，无实际意义。2/2/0)()1()(TTtωjnndtetxTωXnnnnnnabarctgφbaωX2)(22154.2周期信号的谱分析周期信号的频谱由上述可知，利用付里叶级数能确切地表达信号分解的结果，但不直观。为了既简单又明了地表示一个信号中包含了哪些频率分量及各分量占的比例大小，通常用频谱图来表示。以频率（或圆频率）为横坐标，幅值A或相角为纵坐标所作的图称为频谱图。频谱图通常包括幅频谱图、相频谱图两部分。时域描述和频域描述是一个信号在不同域中的两种表示方法。164.2周期信号的谱分析例题：如图所示的周期方波的函数表达式为试将其分解为付里叶级数。2/4/4/4/4/2/)(TtTATtTATtTAtx174.2周期信号的谱分析解：因x(t)为偶函数，则bn=0，0)(4)(4)(2244020220TTTTTTdtAAdtTdttxTdttxTa)1,3,5,(n)2sin(4cos)(4cos4cos)(4cos)(2240400200220πnπnAtdtωnATtdtωnATtdtωntxTtdtωntxTaTTTTTTntωπAtωπAtωπAtx0005cos543cos34cos4)(184.2周期信号的谱分析由频谱图可以看出周期信号的频谱具有如下几个特点：频谱是由不连续的谱线组成，每条谱线代表一个谐波分量。这种频谱称为离散频谱。信号重复周期的倒数就是基波频率，即1/T=f0。谱线之间的间隔等于基波频率的整数倍。即频谱中的每一条谱线只能出现在基波频率的整数倍上，各谐波的频率都是基波频率的整数倍。工程中常见的周期信号，其谐波幅度总的趋势是随谐波次数的增高而减小的。相位谱由一组等高的谱线组成。此方波的各谐波相位角是零，所以相位谱由一组为零的谱线组成。194.2周期信号的谱分析从理论上讲，一个周期信号可以利用付里叶级数分解成无穷多个或有限个谐波分量。但实际应用中不可能取无穷多项，只能取有限项近似地表示，这就不可避免地带来误差。例如，方波的付里叶展开式，图示为谐波项数的多少与方波近似程度示意图。图中阴影线部分为误差部分，可以看出谐波分量越多，叠加后的波形越接近实际信号的波形。204.2周期信号的谱分析周期信号的强度周期信号的强度用峰值、均值、有效值和平均功率来表述。峰值即信号的最大瞬时值。均值为信号的常值分量，表示信号的静态分量，反映了信号在一个周期内的平均值。有效值（或均方根值）为信号的有效值（均方根值），它反映了信号的功率大小。平均功率（或均方值）为信号的均方值，表示信号能量的大小。max)(txxFTxdttxTμ0)(1TrmsdttxTx02)(1TdttxTP02)(1214.3非周期信号的谱分析非周期信号包括准周期信号和瞬态信号两类。准周期信号是由有限个简谐信号合成的一种非周期信号。这些简谐信号的角频率的比值为无理数，它们之间没有一个共同的基本周期，所以信号是非周期的，但它又是由简谐信号合成的，故称为准周期信号。如函数表达式ωn在任何情况下都不等于有理数.准周期信号的幅值频谱为离散谱，其处理方法与处理复杂周期信号一样，差别只在于各分量的频率不再是有理数关系。除准周期信号以外的非周期信号都称为瞬态信号。下面讨论的非周期信号就是指瞬态信号。)3sin(2sin)(θtBtAtx1)sin()(nnnnφtωAtx224.3非周期信号的谱分析频谱密度函数当周期信号的周期趋于无限大时，周期信号将演变成非周期信号。因此，非周期信号的频谱也可由周期信号的频谱导出。如前所述，周期信号的指数函数表达式中当周期时，为无穷小量，即的取值间隔为无穷小，所以由离散量变成连续量，周期信号变为非周期信号。2/2/0)()1()(TTtωjnndtetxTωXT020T0ωn0ωn,2,1,0)()(0neωXtxtωjnn234.3非周期信号的谱分析现用ω代替，则周期信号的指数函数表达式可写成式中周期信号的频谱是离散的，谱线间的间隔为。当信号周期趋于无限大时，周期信号就演变为非周期信号，谱线间的间隔趋于无限小量dω，非连续变量变成连续变量ω，T用2π/dω代替，求和运算变成求积分运算。deXdedtetxedtetxtxtjtjtjtjnnTTtjn)(21)(21)()2()(0022dtetxωXtωj)()(0ωnTπω/200ωn244.3非周期信号的谱分析X(ω)为信号x(t)的付里叶变换，x(t)为X(ω)的付里叶反变换，二者合称为付里叶变换对。付里叶变换是将时域函数变换为频域函数。X(ω)表示角频率为ω处的单位频带宽度内频率分量的幅值与相位，称为函数x(t)的频谱密度函数（或简称频谱函数）。频谱密度函数为复数，即——幅频谱函数，——相频谱函数，Re(ω)和Im(ω)分别为频谱密度函数X(ω)的实部和虚部。)Im()Re()()()(ωjωeωXωXωφj)(Im)(Re)(22ωωωX)Re(/)Im()(ωωarctgωφ)(ωX)(ωφ254.3非周期信号的谱分析综上所述，非周期信号和周期信号虽然都可用无限个简谐信号之和来表示，但周期信号用付里叶级数来描述，各频率分量的频率取离散值，相邻分量的频率相差一个或几个基频数，而非周期信号用付里叶积分来描述，其频率分量的频率取连续值，非周期信号包含一切频率，故频谱为连续谱。4.3.2非周期函数的能量密度信号总能量可表示为Parseval它表明总能量是各个频率分量的能量之和。具有“单位频率中所具有的能量”的含义，故称为能量谱密度.dXdXdttx2022)(1)(21)(ωdωXπ2)()/1(2)(ωX2627信号的分类284