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1/524.1.2垂直于弦的直径课题垂直于弦的直径（第一课时）备课时间2015-11-25课型新授课授课教师刘春芳教学目标知识与技能1.研究圆的对称性,掌握垂径定理.2.学会运用垂径定理解决一些有关证明、计算和作图问题。过程与方法经历探索发现圆的对称性，证明垂径定理的过程，锻炼学生的思维品质，学习证明的方法。情感态度价值观在学生通过观察、操作、变换和研究的过程中进一步培养学生的思维能力，创新意识和良好的运用数学的习惯和意识。教学重点垂径定理及应用。教学难点垂径定理的证明。教具圆形纸张、圆规、直尺、多媒体课件教学过程问题与情境师生行为备注与修改创设情境导入新课你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，赵洲桥主桥拱的半径是多少？怎样求?学完本节课后就可以解决这个问题了。两个问题作为问题情境，激发学生学习兴趣，引导学生进一步的学习。合作交流探究新1.圆的对称性（探究）不借助任何工具，你能找到圆形纸片的圆心吗?由此你能得到圆的什么特性？2.垂径定理（思考）如图：AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足E。圆的对称性由学生发现并总结，教师进行板书。教师循序渐进地将一个个的问题抛出，引导学生一步步地进行思考和总结，师生一起总结垂径定理并板书。垂径定理的内容比较多，且为考察重点，非一课时所2/5知①这个图形是对称图形吗②你能发现图中有哪些相等的线段和弧？请说明理由。③你能用一句话概括这些结论吗？垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。④你能用几何方法证明这些结论吗？⑤你能用符号语言表达这个结论吗？学生小组讨论，发现垂径定理的证明方法，并由学生代表发言。学生尝试将文字转变为符号语言，用几何符号表达定理的逻辑关系。教师更正并板书。教师明确定理中的条件和结论，能解决，所以此内容最少需两课时来探究。本节课主要探讨垂径定理。推论和更深入的应用，放在下一节课进行研究。灵活应用提高能力简单应用设⊙O的半径为r，弦AB的长为a，弦心距OD=d且OC⊥AB于D，弓形高CD为h，已知：r、a、d、h中的任两个可求其他两个，这种说法对吗？说明理由。从中你可总结出利用垂径定理计算的什么技巧？生活中的应用如图，是赵州桥的几何示意图，若其中AB是桥的跨度为37.4米,桥拱高CD为7.2米,你能求出它所在的圆的主桥拱半径吗?提示：此中直角三角形AOD中只有AD是已知量，但可以通过弦心距、半径、拱高的关系来设未知数，利用勾股定理列出方程。利用垂径定理进行的几何证明教材第82练习第2题。简单应用由学生独立完成,教师可让学生自己进行评判.在典型应用中教师可通过问题设置,引导学生联系弦、半径、弦心距或者拱高等因素，从而构成直角三角形，利用勾股定理解决问题。这也是解决计算问题的主要方法，教师一定要重点重申。此题是垂径定理计算题中另一种题型，主要利用将垂径定理、勾股定理、方程的知识进行综合应用。教师在提示后让学生进行小组讨论，然后进行总结，得出结论，让学生做好笔记，养成良好的学习习惯。本节课的应用是基础应用，在下节课中再进行灵活运用和深入应用。小结小结升华（1）本节课你学到了哪些数学知识？教师提出问题，学生回顾本节课所学知识，自DCBOA3/5垂直于弦的直径教学设计初中数学白水县城关一中刘春芳垂直于弦的直径教学设计教学目标：1.使学生理解圆的轴对称性；2.掌握垂径定理3.学会运用垂径定理解决有关的证明、计算问题。过程与方法：通过观察、动手操作培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力2.锻炼学生的逻辑思维能力,体验数学来源于生活又用于生活。情感、态度与价值观：通过联系、发展、对立与统一的思考方法对学生进行辩证唯物主义观点及美育教育。教学重点：垂径定理及应用教学难点：垂径定理的理解及其应用升华与作业（2）在利用垂径定理解决问题时，你掌握了哪些数学方法？（3）这些方法中你又用到了哪些数学思想？作业布置（1）教材82页练习第1题88页第11题（2）分层作业思考：在直径为400mm的圆柱形油槽内，装入一部分油，油面宽320mm，求油的深度.（有几种情况）己进行小结，养成梳理知识的习惯。4/5学情分析：学生在生活中经常遇到圆方面的图形，对本节课会比较有兴趣,并且学过轴对称图形相关知识。同时九年级的同学仍然是比较好奇、好动、好表现的。但在合作交流、探索新知等方面发展的极不均衡。在学习的主动性、积极性等方面也有较大的差异。教学用具：圆形纸片，多媒体教学过程：一、创设情景：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，赵洲桥主桥拱的半径是多少？怎样求?学完本节课后就可以解决这个问题了二、引入新课---揭示课题：1、运用教具与学具（学生自制的圆形纸片）演示，让每个学生都动手实验，把圆形纸片沿直径对折，观察两部分是否重合，通过实验，引导学生得出结论：(1)圆是轴对称图形(2)经过圆心的每一条直线（注：不能说直径）都是它的对称轴(3)圆的对称轴有无数条(4)圆也是中心对称图形.（出示教具演示）。2、再请同学们在自己作的圆中作图：(1)任意作一条弦AB；(2)作直径CD垂直弦AB垂足为M。（出示教具演示）引导学生分析直径CD与弦AB此时的关系，说明直径CD垂直于弦AB的，并设问：垂直于弦的直径它除了上述性质外，是否还有其他性质呢？三、讲解新课---探求新知（1）实验--观察--猜想：让学生将上述作好的圆沿直径CD对折，观察重合部分后，发现有哪些线段相等、弧相等，并得出猜想：在圆O中，CD是直径，AB是弦，CD垂直AB于M.那么AM=BM，弧AC=弧BC，弧AD=弧BD.（2）证明：引导学生用“叠合法”证明此定理（3）对定理的结构进行分析（4）结合图形用几何语言表述（5）垂径定理的变式四、定理的应用：5/5简单应用例1：（2008哈尔滨中考）如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为5，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD=1,则弦AB的长是多少？从中你可总结出利用垂径定理计算的什么技巧？归纳：求圆中有关线段的长度时,常借助垂径定理转化为直角三角形,半径r、弦半a/2、弦心距d,三者构造出一个直角三角形，知道两个量可用勾股定理求出第三个量。生活中的应用例题2一千三百年前，我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形.已知桥拱的跨度（弧所对的弦的长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2米，求桥拱所在圆的半径长（精确到0.1米）.五、小结升华（4）本节课你学到了哪些数学知识？（5）在利用垂径定理解决问题时，你掌握了哪些数学方法？（6）这些方法中你又用到了哪些数学思想？六、作业布置（1）教材82页练习第1题88页第11题（2）分层作业思考：在直径为400mm的圆柱形油槽内，装入一部分油，油面宽320mm，求油的深度.（有几种情况）