圆锥曲线中定点、定值问题

专题研究圆锥曲线中定点、定值问题专题要点1．圆锥曲线中的定点、定值问题的常用解题方法(1)直接推理、计算，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点或定值；(2)从特殊情况入手，求出定点或定值，再证明定点或定值与变量无关．2．求定点问题的解题策略与步骤(1)从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意；(2)假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求定点．其基本步骤为：①把直线或曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把常量当作未知数，将方程一端化为0，即化为kf(x，y)＋g(x，y)＝0的形式(这里把常量k当作未知数)．②既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数k都成立，这时参数的系数就要等于0，这样就得到一个关于x，y的方程组，即令f（x，y）＝0，g（x，y）＝0.③这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点，即满足f（x，y）＝0，g（x，y）＝0为直线或曲线所过的定点．3．求定值问题的基本思路与方法(1)求解定值问题的基本思路：①首先求出这个几何量或代数表达式；②对表达式进行化简，整理成y＝f(m，n，k)的最简形式；③根据已知条件列出必要的方程(或不等式)，消去参数，最后求出定值，一般是根据已知条件列出方程k＝g(m，n)，代入y＝f(m，n，k)，得到y＝h(m，n)＋c(c为常数)的形式．(2)求定值问题常见的方法：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．专题讲解题型一定点问题(2018·郑州一中模拟)已知直线l：y＝x＋1，圆O：x2＋y2＝32，直线l被圆截得的弦长与椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的短轴长相等，椭圆的离心率e＝22.(1)求椭圆C的方程；(2)过点M(0，－13)的动直线l交椭圆C于A，B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得无论l如何转动，以AB为直径的圆恒过定点T？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】(1)由题设可知b＝1，又e＝22，∴a2－1a2＝12，∴a2＝2，∴椭圆C的方程是x22＋y2＝1.(2)若直线l与y轴重合，则以AB为直径的圆是x2＋y2＝1.①若直线l垂直于y轴，则以AB为直径的圆是x2＋(y＋13)2＝169，②由①②式，解得x＝0，y＝1.由此可知所求点T如果存在，只能是(0，1)．事实上，点T(0，1)就是所求的定点．证明如下：当直线l的斜率不存在，即直线l与y轴重合时，以AB为直径的圆为x2＋y2＝1，过点T(0，1)．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx－13，代入椭圆方程，并整理，得(18k2＋9)x2－12kx－16＝0.设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1＋x2＝12k18k2＋9，x1x2＝－1618k2＋9.∵TA→＝(x1，y1－1)，TB→＝(x2，y2－1)，∴TA→·TB→＝x1x2＋(y1－1)(y2－1)＝(k2＋1)x1x2－43k(x1＋x2)＋169＝－16k2－16－16k2＋32k2＋1618k2＋9＝0.∴TA→⊥TB→，即以AB为直径的圆恒过定点T(0，1)．综上可知，在坐标平面上存在一个定点T(0，1)满足条件．【答案】(1)x22＋y2＝1(2)存在，理由略★状元笔记★定点问题的常见解法(1)假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；(2)从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意．思考题1(2018·湖北枣阳一中一模)已知抛物线C的顶点在原点，焦点在坐标轴上，点A(1，2)是抛物线C上一点．(1)求C的方程；(2)若点B(1，－2)在C上，过点B作C的两弦BP与BQ，若kBP·kBQ＝－2，求证：直线PQ过定点．【解析】(1)由题得C的方程为y2＝4x或x2＝12y.(2)证明：∵点B(1，－2)在C上，∴曲线C的方程为y2＝4x.设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直线PQ：x＝my＋b，显然m存在，与方程y2＝4x联立，消去x得y2－4my－4b＝0，Δ＝16(m2＋b)0，∴y1＋y2＝4m，y1·y2＝－4b.∵kBP·kBQ＝－2，∴y1＋2x1－1·y2＋2x2－1＝－2，∴4y1－2·4y2－2＝－2，即y1y2－2(y1＋y2)＋12＝0.∴－4b－8m＋12＝0，即b＝3－2m.直线PQ：x＝my＋b＝my＋3－2m，即x－3＝m(y－2)．∴直线PQ过定点(3，2)．【答案】(1)y2＝4x或x2＝12y(2)定点(3，2)(2018·北京昌平一中期末)椭圆C的焦点为F1(－2，0)，F2(2，0)，且点M(2，1)在椭圆C上．过点P(0，1)的动直线l与椭圆相交于A，B两点，点B关于y轴的对称点为点D(不同于点A)．(1)求椭圆C的标准方程；(2)证明：直线AD恒过定点，并求出定点坐标．【解析】(1)设椭圆C的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)．由已知得c＝2，2a＝|MF1|＋|MF2|＝[2－（－2）]2＋1＋1＝4.所以a＝2，b2＝a2－c2＝2.所以椭圆C的标准方程为x24＋y22＝1.(2)证明：当直线l的斜率存在时(由题意k≠0)，设直线l的方程为y＝kx＋1.由x24＋y22＝1，y＝kx＋1，得(2k2＋1)x2＋4kx－2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(－x2，y2)，则Δ＝16k2＋8（2k2＋1）0，x1＋x2＝－4k2k2＋1，x1x2＝－22k2＋1.特殊地，当A为(2，0)时，k＝－12，所以2x2＝－43，x2＝－23，y2＝43，即B(－23，43)，所以点B关于y轴的对称点为D(23，43)，则直线AD的方程为y＝－x＋2.当直线l的斜率不存在时，直线AD的方程为x＝0.如果存在定点Q满足条件，则Q(0，2)．kQA＝y1－2x1＝y1－1－1x1＝k－1x1，kQD＝y2－2－x2＝－k＋1x2.又因为kQA－kQD＝2k－(1x1＋1x2)＝2k－x1＋x2x1x2＝2k－2k＝0，所以kQA＝kQD，即A，D，Q三点共线．故直线AD恒过定点，定点坐标为(0，2)．【答案】(1)x24＋y22＝1(2)定点为(0，2)思考题2如图，过椭圆Γ：x2a2＋y2b2＝1(ab0)内一点A(0，1)的动直线l与椭圆相交于M，N两点，当l平行于x轴和垂直于x轴时，l被椭圆Γ所截得的线段长均为22.(1)求椭圆Γ的方程；(2)在平面直角坐标系中，是否存在异于点A的定点B，使得对任意过点A(0，1)的动直线l都满足|BM→|·|AN→|＝|AM→|·|BN→|？若存在，求出定点B的坐标；若不存在，请说明理由．v【解析】(1)由已知得b＝2，点(2，1)在椭圆Γ上，所以2a2＋1b2＝1，解得a＝2.所以椭圆Γ的方程为x24＋y22＝1.(2)当直线l平行于x轴时，则存在y轴上的点B，使|BM→|·|AN→|＝|AM→|·|BN→|，设B(0，y0)．当直线l垂直于x轴时，M(0，2)，N(0，－2)．若使|BM→|·|AN→|＝|AM→|·|BN→|，则|BM→||BN→|＝|AM→||AN→|，有|y0－2||y0＋2|＝2－12＋1，解得y0＝1或y0＝2.所以，若存在异于点A的定点B满足条件，则点B的坐标只可能是(0，2)．下面证明：存在定点B(0，2)，对任意过点A(0，1)的直线l，都有|BM→|·|AN→|＝|AM→|·|BN→|，即|BM→||BN→|＝|AM→||AN→|.当直线l的斜率不存在时，由上面可知，结论成立；当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y＝kx＋1.设M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．联立x24＋y22＝1，y＝kx＋1，得(2k2＋1)x2＋4kx－2＝0，其判别式Δ＝(4k)2＋8(2k2＋1)0，所以x1＋x2＝－4k2k2＋1，x1x2＝－22k2＋1，因此1x1＋1x2＝x1＋x2x1x2＝2k.易知点N关于y轴对称的点N′的坐标为(－x2，y2)，又kBM＝y1－2x1＝kx1－1x1＝k－1x1，kBN′＝y2－2－x2＝kx2－1－x2＝－k＋1x2＝k－1x1，所以kBM＝kBN′，即B，M，N′三点共线，所以|BM→||BN→|＝|BM→||BN′→|＝|x1||x2|＝|AM→||AN→|.故存在异于点A的定点B(0，2)，使得|BM→|·|AN→|＝|AM→|·|BN→|.【答案】(1)x24＋y22＝1(2)存在异于点A的定点B(0，2)，使得|BM→|·|AN→|＝|AM→|·|BN→|.题型二定值问题(2018·广州市高三综合测试)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率为32，且过点A(2，1)．(1)求椭圆C的方程；(2)若P，Q是椭圆C上的两个动点，且使∠PAQ的角平分线总垂直于x轴，试判断直线PQ的斜率是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．【解析】(1)因为椭圆C的离心率为32，且过点A(2，1)，所以4a2＋1b2＝1，ca＝32，又a2＝b2＋c2，所以a2＝8，b2＝2，所以椭圆C的方程为x28＋y22＝1.(2)方法一：因为∠PAQ的角平分线总垂直于x轴，所以PA与AQ所在的直线关于x＝2对称．设直线PA的斜率为k，则直线AQ的斜率为－k.所以直线PA的方程为y－1＝k(x－2)，直线AQ的方程为y－1＝－k(x－2)．设点P(xP，yP)，Q(xQ，yQ)，由y－1＝k（x－2），x28＋y22＝1，得(1＋4k2)x2－(16k2－8k)x＋16k2－16－4＝0.①因为点A(2，1)在椭圆C上，所以x＝2是方程①的一个根，则2xP＝16k2－16k－41＋4k2，所以xP＝8k2－8k－21＋4k2.同理xQ＝8k2＋8k－21＋4k2.所以xP－xQ＝－16k1＋4k2，xP＋xQ＝16k2－41＋4k2.又yP－yQ＝k(xP＋xQ－4)＝－8k1＋4k2.所以直线PQ的斜率kPQ＝yP－yQxP－xQ＝12，所以直线PQ的斜率为定值，该值为12.方法二：设直线PQ的方程为y＝kx＋b，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1＝kx1＋b，y2＝kx2＋b，直线PA的斜率kPA＝y1－1x1－2，直线QA的斜率kQA＝y2－1x2－2.因为∠PAQ的角平分线总垂直于x轴，所以PA与AQ所在的直线关于直线x＝2对称，所以kPA＝－kQA，即y1－1x1－2＝－y2－1x2－2，化简得x1y2＋x2y1－(x1＋x2)－2(y1＋y2)＋4＝0.把y1＝kx1＋b，y2＝kx2＋b代入上式，化简得2kx1x2＋(b－1－2k)(x1＋x2)－4b＋4＝0.①由y＝kx＋b，x28＋y22＝1，得(4k2＋1)x2＋8kbx＋4b2－8＝0，②则x1＋x2＝－8kb4k2＋1，x1x2＝4b2－84k2＋1，代入①，得2k（4b2－8）4k2＋1－8kb（b－1－2k）4k2＋1－4b＋4＝0，整理得(2k－1)(b＋2k－1)＝0，所以k＝12或b＝1－2k.若b＝1－2k，可得方程②的一个根为2，不符合题意．所以直线PQ的斜率为定值，该值为12.【答案】(1)x28＋y22＝1(2)略★状元笔记★解决圆锥曲线中的定值问题的基本思路定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，其不受变量影响的一个值就是要求的定值．求解这类问题的关键就是引进参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．思考题3(2018·山东烟台一中期末)已知椭圆C：x