概率论与数理统计复习资料要点总结

1《概率论与数理统计》复习资料一、复习提纲注：以下是考试的参考内容，不作为实际考试范围，仅作为复习参考之用。考试内容以教学大纲和实施计划为准；注明“了解”的内容一般不考。1、能很好地掌握写样本空间与事件方法，会事件关系的运算，了解概率的古典定义2、能较熟练地求解古典概率；了解概率的公理化定义3、掌握概率的基本性质和应用这些性质进行概率计算；理解条件概率的概念；掌握加法公式与乘法公式4、能准确地选择和运用全概率公式与贝叶斯公式解题；掌握事件独立性的概念及性质。5、理解随机变量的概念，了解(0—1)分布、二项分布、泊松分布的分布律。6、理解分布函数的概念及性质，理解连续型随机变量的概率密度及性质。7、掌握指数分布(参数)、均匀分布、正态分布，特别是正态分布概率计算8、会求一维随机变量函数分布的一般方法，求一维随机变量的分布律或概率密度。9、会求分布中的待定参数。10、会求边缘分布函数、边缘分布律、条件分布律、边缘密度函数、条件密度函数，会判别随机变量的独立性。11、掌握连续型随机变量的条件概率密度的概念及计算。12、理解二维随机变量的概念，理解二维随机变量的联合分布函数及其性质，理解二维离散型随机变量的联合分布律及其性质，理解二维连续型随机变量的联合概率密度及其性质，并会用它们计算有关事件的概率。13、了解求二维随机变量函数的分布的一般方法。14、会熟练地求随机变量及其函数的数学期望和方差。会熟练地默写出几种重要随机变量的数学期望及方差。15、较熟练地求协方差与相关系数.16、了解矩与协方差矩阵概念。会用独立正态随机变量线性组合性质解题。17、了解大数定理结论，会用中心极限定理解题。18、掌握总体、样本、简单随机样本、统计量及抽样分布概念，掌握样本均值与样本方差及样本矩概念，掌握2分布(及性质)、t分布、F分布及其分位点概念。19、理解正态总体样本均值与样本方差的抽样分布定理；会用矩估计方法来估计未知参数。20、掌握极大似然估计法，无偏性与有效性的判断方法。21、会求单正态总体均值与方差的置信区间。会求双正态总体均值与方差的置信区间。二、各章知识要点第一章随机事件与概率1．事件的关系ABABAABBABA2．运算规则（1）BAABABBA（2）)()()()(BCACABCBACBA（3）))(()()()()(CBCACABBCACCBA（4）BAABBABA3．概率)(AP满足的三条公理及性质：（1）1)(0AP（2）1)(P2（3）对互不相容的事件nAAA,,,21，有nkknkkAPAP11)()(（n可以取）（4）0)(P（5）)(1)(APAP（6）)()()(ABPAPBAP，若BA，则)()()(APBPABP，)()(BPAP（7）)()()()(ABPBPAPBAP（8）)()()()()()()()(ABCPBCPACPABPCPBPAPCBAP4．古典概型：基本事件有限且等可能5．几何概率6．条件概率（1）定义：若0)(BP，则)()()|(BPABPBAP（2）乘法公式：)|()()(BAPBPABP若nBBB,,21为完备事件组，0)(iBP，则有（3）全概率公式：niiiBAPBPAP1)|()()(（4）Bayes公式：niiikkkBAPBPBAPBPABP1)|()()|()()|(7．事件的独立性：BA,独立)()()(BPAPABP（注意独立性的应用）第二章随机变量与概率分布1．离散随机变量：取有限或可列个值，iipxXP)(满足（1）0ip，（2）iip=1（3）对任意RD，DxiiipDXP:)(2．连续随机变量：具有概率密度函数)(xf，满足（1）1)(,0)(-dxxfxf；（2）badxxfbXaP)()(；（3）对任意Ra，0)(aXP3．几个常用随机变量名称与记号分布列或密度数学期望方差两点分布),1(pBpXP)1(，pqXP1)0(ppq3二项式分布),(pnBnkqpCkXPknkkn,2,1,0,)(，npnpqPoisson分布)(P,2,1,0,!)(kkekXPk均匀分布),(baUbxaabxf,1)(，2ba12)(2ab指数分布)(E0,)(xexfx121正态分布),(2N222)(21)(xexf24．分布函数)()(xXPxF，具有以下性质（1）1)(,0)(FF；（2）单调非降；（3）右连续；（4）)()()(aFbFbXaP，特别)(1)(aFaXP；（5）对离散随机变量，xxiiipxF:)(；（6）对连续随机变量，xdttfxF)()(为连续函数，且在)(xf连续点上，)()('xfxF5．正态分布的概率计算以)(x记标准正态分布)1,0(N的分布函数，则有（1）5.0)0(；（2）)(1)(xx；（3）若),(~2NX，则)()(xxF；（4）以u记标准正态分布)1,0(N的上侧分位数，则)(1)(uuXP6．随机变量的函数)(XgY（1）离散时，求Y的值，将相同的概率相加；（2）X连续，)(xg在X的取值范围内严格单调，且有一阶连续导数，则|))((|))(()('11ygygfyfXY，若不单调，先求分布函数，再求导。第四章随机变量的数字特征1．期望(1)离散时iiipxXE)(，iiipxgXgE)())((；(2)连续时dxxxfXE)()(，dxxfxgXgE)()())((；(3)二维时jiijjipyxgYXgE,),()),((，dydxyxfyxgYXgE),(),()),((4(4)CCE)(；（5）)()(XCECXE；（6）)()()(YEXEYXE；（7）YX,独立时，)()()(YEXEXYE2．方差（1）方差222)()())(()(EXXEXEXEXD，标准差)()(XDX；（2）)()(,0)(XDCXDCD；（3）)()(2XDCCXD；（4）YX,独立时，)()()(YDXDYXD3．协方差（1）)()()())]())(([(),(YEXEXYEYEYXEXEYXCov；（2）),(),(),,(),(YXabCovbYaXCovXYCovYXCov；（3）),(),(),(2121YXCovYXCovYXXCov；（4）0),(YXCov时，称YX,不相关，独立不相关，反之不成立，但正态时等价；（5）),(2)()()(YXCovYDXDYXD4．相关系数)()(),(YXYXCovXY；有1||XY，1)(,,1||baXYPbaXY5．k阶原点矩)(kkXE，k阶中心矩kkXEXE))((第五章大数定律与中心极限定理1．Chebyshev不等式2)(}|)({|XDXEXP或2)(1}|)({|XDXEXP2．大数定律3．中心极限定理（1）设随机变量nXXX,,,21独立同分布2)(,)(iiXDXE，则),(~21nnNXnii近似，或),(~121nNXnnii近似或)0,1(~1NnnXnii近似，5（2）设m是n次独立重复试验中A发生的次数，pAP)(，则对任意x，有)(}{limxxnpqnpmPn或理解为若),(~pnBX，则),(~npqnpNX近似第六章样本及抽样分布1．总体、样本（1）简单随机样本：即独立同分布于总体的分布（注意样本分布的求法）；（2）样本数字特征：样本均值niiXnX11（)(XE，nXD2)(）；样本方差niiXXnS122)(11（22)(SE）样本标准差niiXXnS12)(11样本k阶原点矩nikikXn11，样本k阶中心矩nikikXXn1)(12．统计量：样本的函数且不包含任何未知数3．三个常用分布（注意它们的密度函数形状及分位点定义）（1）2分布)(~2222212nXXXn，其中nXXX,,,21独立同分布于标准正态分布)1,0(N，若)(~),(~2212nYnX且独立，则)(~212nnYX；（2）t分布)(~/ntnYXt，其中)(~),1,0(~2nYNX且独立；（3）F分布),(~//2121nnFnYnXF，其中)(~),(~2212nYnX且独立，有下面的性质),(1),(),,(~11221112nnFnnFnnFF4．正态总体的抽样分布（1）)/,(~2nNX；（2）)(~)(11222nXnii；（3）)1(~)1(222nSn且与X独立；（4）)1(~/ntnSXt；（5）)2(~)()(21212121nntnnnnSYXt，2)1()1(212222112nnSnSnS6（6）)1,1(~//2122222121nnFSSF第七章参数估计1．矩估计：（1）根据参数个数求总体的矩；（2）令总体的矩等于样本的矩；（3）解方程求出矩估计2．极大似然估计：（1）写出极大似然函数；（2）求对数极大似然函数（3）求导数或偏导数；（4）令导数或偏导数为0，解出极大似然估计（如无解回到（1）直接求最大值，一般为min}{ix或max}{ix）3．估计量的评选原则(1)无偏性：若)ˆ(E，则为无偏；(2)有效性：两个无偏估计中方差小的有效；4．参数的区间估计（正态）参数条件估计函数置信区间2已知nxu/][2nux2未知nsxt/])1([2nsntx2未知222)1(sn])1()1(,)1()1([2212222nsnnsn三、概率论部分必须要掌握的内容以及题型1．概率的基本性质、条件概率、加法、乘法公式的应用；掌握事件独立性的概念及性质。如对于事件A，B，A或B，已知P(A)，P(B)，P(AB)，P(AB)，P(A|B)，P(B|A)以及换为A或B之中的几个，求另外几个。例：事件A与B相互独立，且P(A)=0.5，P(B)=0.6，求：P(AB)，P(A－B)，P(AB)例：若P(A)=0.4，P(B)=0.7，P(AB)=0.3，求：P(A－B)，P(AB)，)|(BAP，)|(BAP，)|(BAP课本上P19，例5；P26，第14，24题。2．准确地选择和运用全概率公式与贝叶斯公式。若已知导致事件A发生(或者是能与事件A同时发生)的几个互斥的事件Bi，i=1,2,…,n,…的概率P(Bi)，以及Bi发生的条件下事件A发生的条件概率P(A|Bi)，求事件A发生的概率P(A)以及A发生的条件下事件Bi发生的条件概率P(Bi|A)。例：玻璃杯成箱出售，每箱20只。假设各箱含0、1、2只残次品的概率相应为0.8、0.1和0.1，某顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机地察看4只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。试求：（1）顾客买下该箱的概率；（2）在顾客买下的该箱中，没有残次品的概率。课本上P26，第24题3．一维、二维离散型随机变量的分布律，连续型随机变量的密度函数性质的运用。分布中待定参数的确定，分布律、密度函数与分布函数的关系，联合分布与边缘分布、条件分布的关系，求数学期望、方差、协方差、相关系数，求函数的分布律、密度函数及期望和方差。(1)已知一维离散型随机变量X的分布律P(X=xi)=pi，i=1,2,…,n