工程电磁场导论课件

场标量场矢量场等值面方向导数梯度矢量线通量散度散度定理环流旋度斯托克斯定理亥姆霍兹定理第一章矢量分析知识脉络:§1.1标量场与矢量场标量:数学上：—实数域内任一代数量a(-,+)物理上：代数量+物理意义；或者说一个只用大小描述的物理量。如电压，电荷，质量，能量等矢量:数学上：一般的三维空间中既有大小又有方向的量物理上：矢量+物理意义；或者说一个既有大小又有方向的物理量。常用黑斜体字母或带箭头的字母如A或AAAA如速度、电磁场等.场：物理量在时空中的确定分布.标量场：物理量是一个标量，则所确定的场称为标量场，用标量函数表示为如物体的温度分布T(r,t)、电位分布(r,t)等矢量场：物理量是一个矢量，则所确定的场称为矢量场，用矢量函数表示既具有大小又具有方向的场。如电场(,,,)uxyzt(,)Ert(,,,)Fxyzt静态场：物理量不随时间变化，则所确定的场称为静态场。动态场（或时变场）：物理量随时间变化，则所确定的场称为动态场。1.1.1矢量的表示形式:一个矢量可以用一条有方向的线段来表示,线段的长度表示矢量的模,箭头指向表示矢量的方向.APAAAAAee矢量的模：表示矢量的大小AA矢量的方向；AAAe1.1.2矢量的运算（加法/减法）矢量加/减法遵循平行四边形法则,其运算满足:ABBA(交换律)ABCABC(结合律)()ABAB1.1.3矢量的运算（点积、叉积）①标量与矢量乘积kAAkAkAe模kA②矢量与矢量乘积点积（标积）叉积（矢积）点积：cos(0)ABAB（标量）叉积：sinAB﹛大小方向：垂直与包含的面A和B（矢量）右手法则矢量点积服从：ABBA（交换律）()ABCABAC（分配律）矢量叉积服从：ABBA()ABCABAC标量三重积()()()ABCBCACAB矢量三重积()()()ABCBACCAB（不服从交换律）（分配律）AB三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来确定。1.2三种常用的正交曲线坐标系在电磁场与波理论中，三种常用的正交曲线坐标系为：直角坐标系、圆柱坐标系和球面坐标系。三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为正交曲线坐标系；三条正交曲线称为坐标轴；描述坐标轴的量称为坐标变量。1、直角坐标系xyzrexeyez位置矢量面元矢量线元矢量ddddxyzlexeyezdddddxxyzxSelleyzdddddzzxyzSellexy体积元ddddVxyzdddddyyxzySellexz坐标变量,,xyz坐标单位矢量,,xyzeee点P(x0,y0,z0)0yy（平面）oxyz0xx（平面）0zz（平面）P直角坐标系xezeyexyz直角坐标系的长度元、面积元、体积元odzdydxzyeSxxdddyxeSzzdddzxeSyydddxyzyzxzxyeeeeeeeee直角坐标系中A矢量：xxyyzzAeAeAeAB矢量：xxyyzzBeBeBeB()()()xxxyyyzzzABeABeABeABxxyyzzABABABAB()()()xyyxyzzyyzxxzzxyyxxyzxyzeeeABeABABeABABeABABAAABBB（圆柱坐标系及球坐标系下相应知识）类似2、圆柱面坐标系dddddddddddddddzzzzzSellezSellezSelle,,z坐标变量,,zeee坐标单位矢量zreez位置矢量ddddzleeez线元矢量ddddVz体积元面元矢量132（1）（2）（3）zzzeeeeeeeee2dddsinddrrrSellerdddsinddrzSellerrdddddrSellerr3、球面坐标系球面坐标系球坐标系中的线元、面元和体积元,,r坐标变量,,reee坐标单位矢量rrer位置矢量dddsindrlererer线元矢量2dsindddVrr体积元面元矢量rrreeeeeeeee4、坐标单位矢量之间的关系xeyezeeezecossin0cossin0001直角坐标与圆柱坐标系eezereeesin0cossincos0001圆柱坐标与球坐标系zereeecossincossinsincos0直角坐标与球坐标系xeyesinsinsincoscossinoz单位圆柱坐标系与求坐标系之间坐标单位矢量的关系oxy单位圆直角坐标系与柱坐标系之间坐标单位矢量的关系xeyeeezeeree§1.3标量场的梯度等值面的概念：在标量场中，使标量函数),,(zyxu取得相同数值的点构成一个空间曲面称为等值面。等值面方程：Czyxu),,(C为任意给定的常数。等值面的特点：①常数C取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；②若),,(0000zyxM是标量场中的任一点，显然，曲面),,(),,(000zyxuzyxu是通过该点的等值面，因此标量场的等值面充满场所在的整个空间；等值面u=c2u=c3u=c1例题求二维标量场的等值面由于z不影响u,故在任意z=const的面上场的分布是相同的。(片状分布)取u为某一常量c时c=y2-x是一组抛物线立体抛物柱面③由于标量函数),,(zyxu为单一值，一个点只能在一个等值面上，因此标量场的等值面互不相交（两个等值面不能有相同的c值）2u(x,y)=y-x1.3.2标量场的方向导数方向导数的概念:l△lM0M方向导数lMuMululM)()(lim000方向导数的意义：方向导数是描述标量场沿L方向对距离的变化率。方向导数的计算公式coscoscoszuyuxulu0M是标量场中的一点，从该点出发引一条射线L,M是射线上的动点。到点的距离为0Mlu(M)（直角坐标系）式中：dldxcosdldycosdldzcos是L方向的方向余弦。方向导数的特点：1.3.3梯度问题的提出：标量场在什么方向上的变化率最大、其最大的变化率又是多少？(方向导数沿何方向取得最大值？）(grads)通过推导发现，当方向与矢量leGuuuxyzxyzGeee方向一致时，方向导数的值最大，由此可以得到梯度在三种不同的坐标系下的计算公式：为哈密顿算符，（读作del或Nabla)在直角坐标系中xyzeeexyz记住!!练习U=2x+y+z求其梯度自证（作业）31()RRR()RRR'()()fRfR在电磁场中，通常以表示源点的坐标，以表示场点的坐标，因此上述运算结果在电磁场中非常重要！'''(,,)xyz(,,)xyz1.4矢量场的通量散度1.4.1矢量场的矢量线矢量线r()FrdrrodrM形象地描述矢量场在空间的分布矢量线的概念：矢量线是场空间中的有向曲线，矢量线上任一点的切线方向都与该点的场矢量方向相同，如图所示。特点：矢量场中的每一点都有矢量线通过，矢量线充满矢量场所在的空间。dddxyzxyzFFF解此微分方程组，即可得到矢量线方程，从而绘制出矢量线。则既能根据矢量线确定矢量场中各点矢量的方向，又可根据各处矢量线的疏密程度，判别各处的矢量大小及变化趋势。如：电场线求此二维场的力线方程及场图KFdzFdyFdxzyx由力线方程有：22dxdyxdxydyyxxyc即：标准圆方程yeyeyxFig1.2.1例题有一二维矢量场:()(,))(()xyFrFxyexye因此求得的矢量线是一组同心圆。？思考哪种矢量线具有这种特点分析矢量穿过一个曲面的通量面元矢量法向矢量有两个要素：{右手螺旋法则（开面）闭合面外法线（鸡蛋壳外表面）面大小穿越方向dSndsn1.矢量场的通量矢量场的通量是描述矢量场性质的重要概念之一。通量的概念：矢量场在场中的曲面上的标量积（称为矢量场的通量，取一小面元ds为例cos,AdSAdSen通量其中（）为面元法向矢量与矢量A的夹角nA§1.4.2矢量的通量、散度SAds(点乘）点积曲面通量：0表示有净流出---正通量源例：静电场中的正电荷0表示有净流入---负通量源例：静电场中的负电荷＝0正通量源与负通量源代数和为0—无通量源cosssssAdSAndSAdSAdS闭合面：矢量流与穿越面积方向乘积的和通量的物理意义：手例穿出闭曲面的正通量与进入闭曲面的负通量的代数和。通量的特点：描述的是一定范围内总的净通量源，而不能反映场域内的每一点的具体分布情况2矢量场的散度矢量场的散度描述矢量场在一个点附近的通量特性。divFF或(a)divF＞0(b)divF＜0(c)divF＝0散度的意义散度的物理意义：通量源的密度。0F时，发出矢量线的正源；0F时，发出矢量线的负源；0F时，无通量源。ZZAXYYX设有如图的小立方体及矢量场xxzzAXxyzxAZxyzz类似的在方向有：在方向有：y()yyyyyyAAAdsAxzAyxzxyzyy左右在方向流出体积的总通量为：＋A散度的直角坐标表示()()yxzsAAAArdSrxyzxyz则体积的总流量为＝xyzdiveeexyz其中：为哈密顿算符!!记住1.4.4散度(高斯)定理11()()1,,iiisnniiSSviiArdSrAdvinAdSAdSAdVAdV将上面所有体积相加，并注意到相邻面的流出刚好是另一面的流入，最后成为体积的：表面即12dv,,......,vnSAddvvVAdSd证明：将闭合面包围的体积V切分为一系列的小体积对每个小体积均可利用散度定义0()()limsvArdSrAvS1S2例球体例1:已知'''3()()(),.0xyzRexxeyyezzRRRDR求矢量在R处的散度。解：根据散度的计算公式：'''333()()()yxzDDDDxyzxxyyzzxRyRzR＝'2'2'235353513()13()13()0xxyyzzRRRRRRMNM1.5.2矢量场的旋度FrotF或矢量场的旋度描述场域内的旋涡源分布情况的重要概念。nrotFrotFne123412340()()limxyzyzyzyzyzxSxAAAdlAyAyzAzyAzyzAAzyyzAdlAArotASyz，，，，，，采用类似于上节的方法，我们也可证明旋度的表示式：zyAz432z1Ayxy上式为旋度在方向的投影xe（面元矢量为）xxxeSeyz1234012340limlimyzxzySyyxzSzAdlAArotASzxAdlAArotASxy，，，，，，同理可证：xyzxxyyzzxyzeeeAerotAerotAerotAxyzAAA可记为：不同坐标系下旋度计算公式：()()()yyxxzzxyzFFFFFFyzzxxyFeeexyzxyzxyz