换底公式

对数的运算性质2、利用计算器计算和.二、换底公式1、利用计算器计算和；lg15lg2ln15ln2lg151.7,ln152.7,结果：1、2、说明：第1题中是两个常用对数，它们的底数都是10；第2题中是两个自然对数，它们的底数都是e.利用科学计算器可以直接计算常用对数和自然对数.lg20.3;ln20.7.问题1可否利用计算器求出的值呢？2log15我们可设，2log15x215x对上式两边同取以10为底的对数可得1010log2log15x，lg2lg15xlg2lg15xlg15lg2x，2lg15log15lg22lg15log15lg2x3.91.从而有即即2lg15log15lg2由抽象推广到一般情况可得重要的对数转换公式：换底公式loglog(010)logabaNNbababN其中，，，，说明：对数换底公式的证明方法并不唯一，前面对的求值过程实际上就是一种证明方法，可类似证明对数换底公式，现在请同学们写出证明过程，并思考如何将以为底的对数转换为以为底的对数的比值.2log15aNb换底公式:aNNccalogloglog)0),,1()1,0(,(Nca证明：设由对数的定义可以得：,paN即证得pNalog,loglogpccaN,loglogapNccaNpccloglogaNNccalogloglog这个公式叫做换底公式一个对数可以用同底数的两个对数的商来表示推论1:NmnNanamloglog证明：设,logpNnam由对数的定义可以得：,)(pmnaN∴即证得NmnNanamloglogmpnaNpnmNalogpnmaN推论二:abbalog1log),1()1,0(,ba证明:由换底公式取以b为底的对数得：还可以变形,得,1logbbaNNccalogloglogabbbbalogloglogabbalog1log1loglogabba例1:计算:解:27log1927log19333log23log233238log7log3log27328log7log3log27322lg2lg32lg3lg3lg7lg7lg8lg3解:例1:计算:27log198log7log3log27329103lg32lg52lg33lg227lg32lg8lg9lg:原式解(1);32log9log278练习248525125(2).(log125log25log5)(log2log4log8))125lg8lg25lg4lg5lg2lg()8lg5lg4lg25lg2lg125lg(:原式解)5lg32lg35lg22lg25lg2lg()2lg35lg2lg25lg22lg5lg3(135lg2lg32lg35lg13练习例题54lg2=lg3mn例若，，求log12的值.5lg12log12lg5解：21mnmlg4lg310lg22lg2lg31lg2lg4lg3lg10lg2.9log,,7log,5log:3539表示试用已知练习nmnm解:7log,5log215log5log33392nm7log,25log33nmnm227log5log235log23log29log33335351．设a、b、c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是()A．logab·logcb＝logcaB．logab·logca＝logcbC．loga(bc)＝logab·logacD．loga(b＋c)＝logab＋logac[答案]B2．log89·log32的值为()A．23B．1C．32D．2[答案]A[解析]原式＝lg9lg8·lg2lg3＝2lg33lg2·lg2lg3＝23.3．已知log72＝p，log75＝q，则lg5用p、q表示为()A．pqB．qp＋qC．1＋pqp＋qD．pq1＋pq[答案]B[解析]∵p＋q＝log72＋log75＝log710＝1lg7，q＝log75＝lg5lg7，∴qp＋q＝lg5lg7·lg7＝lg5.4．若log23·log325·log5m＝2，则m＝________.[答案]2[解析]∵log23·log325·log5m＝lg3lg2·lg25lg3·lgmlg5＝lg3lg2·2lg5lg3·lgmlg5＝2lgmlg2＝2，∴lgm＝lg2，∴m＝2.5．已知lg2＝a，lg3＝b，用a、b表示log125＝________.[答案]1－a2a＋b[解析]log125＝lg5lg12＝1－lg2lg3＋lg4＝1－lg2lg3＋2lg2＝1－ab＋2a.6．若logab·log3a＝4，求b的值．[解析]∵logab·log3a＝lgblga·lgalg3＝4，∴lgb＝4lg3＝lg34，∴b＝34＝81.(1)若3a＝7b＝21，求1a＋1b的值；(2)设4a＝5b＝m，且1a＋2b＝1，求m的值．[解析](1)∵3a＝7b＝21，∴a＝log321，b＝log721，∴1a＋1b＝1log321＋1log721＝1lg21lg3＋1lg21lg7＝lg3＋lg7lg21＝lg2112lg21＝2.小结:公式:NmnNanamloglogaNNccalogloglog)0),,1()1,0(,(Nca1loglogabba),1()1,0(,ba