圆锥曲线的知识点、结论、易错点、真题

(一)椭圆及其标准方程1.椭圆的定义：椭圆的定义中，平面内动点与两定点1F、2F的距离的和大于|1F2F|这个条件不可忽视.若这个距离之和小于|1F2F|，则这样的点不存在；若距离之和等于|1F2F|，则动点的轨迹是线段1F2F.2.椭圆的标准方程：12222byax（a＞b＞0），12222bxay（a＞b＞0）.3.椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果2x项的分母大于2y项的分母，则椭圆的焦点在x轴上，反之，焦点在y轴上.4.求椭圆的标准方程的方法：⑴正确判断焦点的位置；⑵设出标准方程后，运用待定系数法求解.(二)椭圆的简单几何性质1.椭圆的几何性质：设椭圆方程为12222byax（a＞b＞0）.⑴范围：-a≤x≤a，-b≤x≤b，所以椭圆位于直线x=a和y=b所围成的矩形里.⑵对称性：分别关于x轴、y轴成轴对称，关于原点中心对称.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.⑶顶点：有四个1A（-a，0）、2A（a，0）1B（0，-b）、2B（0，b）.线段1A2A、1B2B分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长.所以椭圆和它的对称轴有四个交点，称为椭圆的顶点.⑷离心率：椭圆的焦距与长轴长的比ace叫做椭圆的离心率.它的值表示椭圆的扁平程度.0＜e＜1.e越接近于1时，椭圆越扁；反之，e越接近于0时，椭圆就越接近于圆.2.椭圆的第二定义⑴定义：平面内动点M与一个顶点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数ace（e＜1＝时，这个动点的轨迹是椭圆.⑵准线：根据椭圆的对称性，12222byax（a＞b＞0）的准线有两条，它们的方程为cax2.对于椭圆12222bxay（a＞b＞0）的准线方程，只要把x换成y就可以了，即cay2.3.椭圆的焦半径：由椭圆上任意一点与其焦点所连的线段叫做这点的焦半径.设1F（-c，0），2F（c，0）分别为椭圆12222byax（a＞b＞0）的左、右两焦点，M（x，y）是椭圆上任一点，则两条焦半径长分别为exaMF1，exaMF2.椭圆中涉及焦半径时运用焦半径知识解题往往比较简便.椭圆的四个主要元素a、b、c、e中有2a=2b+2c、ace两个关系，因此确定椭圆的标准方程只需两个独立条件.4.椭圆的参数方程椭圆12222byax（a＞b＞0）的参数方程为cossinxayb（θ为参数）.说明:⑴这里参数θ叫做椭圆的离心角.椭圆上点P的离心角θ与直线OP的倾斜角α不同：tantanab；⑵椭圆的参数方程可以由方程12222byax与三角恒等式1sincos22相比较而得到，所以椭圆的参数方程的实质是三角代换.椭圆22221(0)xyabab的参数方程是cossinxayb.5.椭圆的的内外部（1）点00(,)Pxy在椭圆22221(0)xyabab的内部2200221xyab.（2）点00(,)Pxy在椭圆22221(0)xyabab的外部2200221xyab.6.椭圆的切线方程(1)椭圆22221(0)xyabab上一点00(,)Pxy处的切线方程是00221xxyyab.（2）过椭圆22221(0)xyabab外一点00(,)Pxy所引两条切线的切点弦方程是00221xxyyab.（3）椭圆22221(0)xyabab与直线0AxByC相切的条件是22222AaBbc(三)双曲线及其标准方程1.双曲线的定义：平面内与两个定点1F、2F的距离的差的绝对值等于常数2a（小于|1F2F|）的动点M的轨迹叫做双曲线.在这个定义中，要注意条件2a＜|1F2F|，这一条件可以用“三角形的两边之差小于第三边”加以理解.若2a=|1F2F|，则动点的轨迹是两条射线；若2a＞|1F2F|，则无轨迹.若1MF＜2MF时，动点M的轨迹仅为双曲线的一个分支，又若1MF＞2MF时，轨迹为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为“差的绝对值”.2.双曲线的标准方程：12222byax和12222bxay（a＞0，b＞0）.这里222acb，其中|1F2F|=2c.要注意这里的a、b、c及它们之间的关系与椭圆中的异同.3.双曲线的标准方程判别方法是：如果2x项的系数是正数，则焦点在x轴上；如果2y项的系数是正数，则焦点在y轴上.对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.4.求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴正确判断焦点的位置；⑵设出标准方程后，运用待定系数法求解.(四)双曲线的简单几何性质1.双曲线12222byax的实轴长为2a，虚轴长为2b，离心率ace＞1，离心率e越大，双曲线的开口越大.2.双曲线12222byax的渐近线方程为xaby或表示为02222byax.若已知双曲线的渐近线方程是xnmy，即0nymx，那么双曲线的方程具有以下形式：kynxm2222，其中k是一个不为零的常数.3.双曲线的第二定义：平面内到定点（焦点）与到定直线（准线）距离的比是一个大于1的常数（离心率）的点的轨迹叫做双曲线.对于双曲线12222byax，它的焦点坐标是（-c，0）和（c，0），与它们对应的准线方程分别是cax2和cax2.双曲线22221(0,0)xyabab的焦半径公式21|()|aPFexc，22|()|aPFexc.4.双曲线的内外部(1)点00(,)Pxy在双曲线22221(0,0)xyabab的内部2200221xyab.(2)点00(,)Pxy在双曲线22221(0,0)xyabab的外部2200221xyab.5.双曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为12222byax渐近线方程：22220xyabxaby.(2)若渐近线方程为xaby0byax双曲线可设为2222byax.(3)若双曲线与12222byax有公共渐近线，可设为2222byax（0，焦点在x轴上，0，焦点在y轴上）.6.双曲线的切线方程(1)双曲线22221(0,0)xyabab上一点00(,)Pxy处的切线方程是00221xxyyab.（2）过双曲线22221(0,0)xyabab外一点00(,)Pxy所引两条切线的切点弦方程是00221xxyyab.（3）双曲线22221(0,0)xyabab与直线0AxByC相切的条件是22222AaBbc.(五)抛物线的标准方程和几何性质1．抛物线的定义：平面内到一定点（F）和一条定直线（l）的距离相等的点的轨迹叫抛物线。这个定点F叫抛物线的焦点，这条定直线l叫抛物线的准线。需强调的是，点F不在直线l上，否则轨迹是过点F且与l垂直的直线，而不是抛物线。2．抛物线的方程有四种类型：pxy22、pxy22、pyx22、pyx22.对于以上四种方程：应注意掌握它们的规律：曲线的对称轴是哪个轴，方程中的该项即为一次项；一次项前面是正号则曲线的开口方向向x轴或y轴的正方向；一次项前面是负号则曲线的开口方向向x轴或y轴的负方向。3．抛物线的几何性质，以标准方程y2=2px为例（1）范围：x≥0；（2）对称轴：对称轴为y=0，由方程和图像均可以看出；（3）顶点：O（0，0），注：抛物线亦叫无心圆锥曲线（因为无中心）；（4）离心率：e=1，由于e是常数，所以抛物线的形状变化是由方程中的p决定的；（5）准线方程2px；（6）焦半径公式：抛物线上一点P（x1，y1），F为抛物线的焦点，对于四种抛物线的焦半径公式分别为（p＞0）：221122112:;2:222:;2:22ppypxPFxypxPFxppxpyPFyxpyPFy（7）焦点弦长公式：对于过抛物线焦点的弦长，可以用焦半径公式推导出弦长公式。设过抛物线y2=2px（p＞O）的焦点F的弦为AB，A（x1，y1），B（x2，y2），AB的倾斜角为α，则有①|AB|=x1+x2+p以上两公式只适合过焦点的弦长的求法，对于其它的弦，只能用“弦长公式”来求。（8）直线与抛物线的关系：直线与抛物线方程联立之后得到一元二次方程：x2+bx+c=0，当a≠0时，两者的位置关系的判定和椭圆、双曲线相同，用判别式法即可；但如果a=0，则直线是抛物线的对称轴或是和对称轴平行的直线，此时，直线和抛物线相交，但只有一个公共点。4.抛物线pxy22上的动点可设为P),2(2ypy或或)2,2(2ptptPP(,)xy，其中22ypx.5.二次函数2224()24bacbyaxbxcaxaa(0)a的图象是抛物线：（1）顶点坐标为24(,)24bacbaa；（2）焦点的坐标为241(,)24bacbaa；（3）准线方程是2414acbya.6.抛物线的内外部(1)点00(,)Pxy在抛物线22(0)ypxp的内部22(0)ypxp.点00(,)Pxy在抛物线22(0)ypxp的外部22(0)ypxp.(2)点00(,)Pxy在抛物线22(0)ypxp的内部22(0)ypxp.点00(,)Pxy在抛物线22(0)ypxp的外部22(0)ypxp.(3)点00(,)Pxy在抛物线22(0)xpyp的内部22(0)xpyp.点00(,)Pxy在抛物线22(0)xpyp的外部22(0)xpyp.(4)点00(,)Pxy在抛物线22(0)xpyp的内部22(0)xpyp.点00(,)Pxy在抛物线22(0)xpyp的外部22(0)xpyp.7.抛物线的切线方程(1)抛物线pxy22上一点00(,)Pxy处的切线方程是00()yypxx.（2）过抛物线pxy22外一点00(,)Pxy所引两条切线的切点弦方程是00()yypxx.（3）抛物线22(0)ypxp与直线0AxByC相切的条件是22pBAC.(六).两个常见的曲线系方程(1)过曲线1(,)0fxy,2(,)0fxy的交点的曲线系方程是12(,)(,)0fxyfxy(为参数).(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程22221xyakbk,其中22max{,}kab.当22min{,}kab时,表示椭圆;当2222min{,}max{,}abkab时,表示双曲线.(七)直线与圆锥曲线相交的弦长公式221212()()ABxxyy或2222211212(1)()||1tan||1tABkxxxxyyco（弦端点A),(),,(2211yxByx，由方程0)y,x(Fbkxy消去y得到02cbxax，0,为直线AB的倾斜角，k为直线的斜率）.(八).圆锥曲线的两类对称问题（1）曲线(,)0Fxy关于点00(,)Pxy成中心对称的曲线是00(2-,2)0Fxxyy.（2）曲线(,)0Fxy关于直线0AxByC成轴对称的曲线是22222()2()(,)0AAxByCBAxByCFxyABAB.四．基本方法和数学思想1.椭圆焦半径公式：设P（x0,y0）为椭圆12222byax（ab0）上任一点，焦点为F1(-c,0),F2(c,0),则0201,exaPFexaPF（e为离心率）；2.双曲线焦半径公式：设P（x0,y0）为双曲线12222byax（a0,b0）上任一点，焦点为F1(-c,0),F2(c,0),则:（1）当P点在右支上时，0201,exaPFexaPF；（2）当P点在左支上时