分式的运算技巧

分式概念形如（A、B是整式，B中含有字母）的式子叫做分式。其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。且当分式的分子的次数低于分母的次数时，我们把这个分式叫做真分式；当分式的分子的次数高于分母的次数时，我们把这个分式叫做假分式。注意：判断一个式子是否是分式，不要看式子是否是的形式，关键要满足：分式的分母中必须含有字母，分子分母均为整式。无需考虑该分式是否有意义，即分母是否为零。由于字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性。方法：数看结果，式看形。分式条件:1.分式有意义条件：分母不为0。2.分式值为0条件：分子为0且分母不为0。3.分式值为正(负)数条件：分子分母同号得正，异号得负。4.分式值为1的条件：分子=分母≠0。5.分式值为-1的条件：分子分母互为相反数，且都不为0。代数式分类整式和分式统称为有理式。带有根号且根号下含有字母的式子叫做无理式。无理式和有理式统称代数式。分式的基本性质分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。用式子表示为：（A,B,C为整式，且B、C≠0）运算法则约分根据分式基本性质，可以把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分。约分的关键是确定分式中分子与分母的公因式。约分步骤：1.如果分式的分子和分母都是单项式或者是几个因式乘积的形式，将它们的公因式约去。2.分式的分子和分母都是多项式，将分子和分母分别分解因式，再将公因式约去。公因式的提取方法：系数取分子和分母系数的最大公约数，字母取分子和分母共有的字母，指数取公共字母的最小指数，即为它们的公因式。最简分式：一个分式不能约分时，这个分式称为最简分式。约分时，一般将一个分式化为最简分式。通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分。分式的乘法法则：（1）两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。（2）两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。用字母表示为：分式的加减法法则：同分母分式的加减法法则:同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。用字母表示为：异分母分式的加减法法则：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算。分式的除法法则：两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。除以一个分式，等于乘以这个分式的倒数:乘方分子乘方做分子，分母乘方做分母，可以约分的约分，最后化成最简：分式方程的意义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。分式方程的解法：（1）去分母（方程两边同时乘以最简公分母，将分式方程化为整式方程）（2）按解整式方程的步骤求出未知数的值（3）验根（求出未知数的值后必须验根，因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根）。分式方程解法的归纳：解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母，这也是解分式方程的一般思路和做法。【基础精讲】一、分式的概念1、正确理解分式的概念：【例1】有理式（1）x1；（2）2x；（3）yxxy2；（4）33yx；（5）11－x；（6）1中，属于整式的有：；属于分式的有：。.2、判断分式有无意义关键是看分母是否为零.(1)例如，当x为时，分式322xxx有意义．错解：3x时原分式有意义．(2)不要随意用“或”与“且”。例如当x____时，分式有意义？错解：由分母，得3、注意分式的值为零必受分母不为零的限制．当x时，分式11－xx有意义．当x时，分式11－xx无意义．当x时，分式112－xx值为0．二、分式的基本性质：1、分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.(1)分式的基本性质是分式恒等变形的依据，它是分式的约分、通分、化简和解分式方程基础，因此，我们要正确理解分式的基本性质，并能熟练的运用它．理解分式的基本性质时，必须注意：①分式的基本性质中的A、B、M表示的都是整式．②在分式的基本性质中，M≠0．③分子、分母必须“同时”乘以M(M≠0)，不要只乘分子（或分母）．④性质中“分式的值不变”这句话的实质，是当字母取同一值（零除外）时，变形前后分式的值是相等的。但是变形前后分式中字母的取值范围是变化的．(2)注意：①根据分式的基本性质有：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变．②分式的基本性质是一切分式运算的基础,分子与分母只能同乘以(或除以)同一个不等于零的整式,而不能同时加上(或减去)同一个整式【例3】下列变形正确的是（）．A．ababcc;B．aabcbcC．ababababD．abababab【例4】如果把分式52xxy中的,xy都扩大3倍,那么分式的值一定()．A.扩大3倍B.扩大9倍C.扩大6倍D.不变2、约分约分是约去分式的分子与分母的最大公约式,约分过程实际是作除法,目的在于把分式化为最简分式或整式,根据是分式的基本性质.【例5】（1）化简的结果为（）A．B．C．D．222abaabbaabaabab（2）化简的结果（）A．B．C．D．（3）化简的结果是（）A．B．C．D．3、通分通分的依据是分式的基本性质，通分的关键是确定最简公分母.最简公分母由下面的方法确定：（1）最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；（2）最简公分母的字母，取各分母所有字母的最高次幂的积;三、分式的运算1、分式运算时注意：（1）注意运算顺序．例如，计算aaaa31)3(11，应按照同一级运算从左到存依次计算的法则进行．错解：原式2)1(1)1(11aaa（2）通分时不能丢掉分母．例如，计算11xxx，出现了这样的解题错误：原式=11xx．分式通分是等值变形，不能去分母,不要同解方程的去分母相混淆；（3）忽视“分数线具有括号的作用”:分式相减时，若分子是多项式，其括号不能省略．（4）最后的运算结果应化为最简分式．2、分式的乘除注意分式的乘除法应用关键是理解其法则.(1)先把除法变为乘法；(2)接着对每个相乘的分式的分子、分母进行因式分解，当然有乘方运算要先算乘方，然后同其它分式进行约分；(3)再把每个分式的分子与分子相乘、分母与分母相乘；(4)最后还应检查相乘后的分式是否为最简分式．3、加减的加减1)同分母分式加减法则：分母不变，分子相加减。2)异分母分式加减法则：运算步骤：①先确定最简公分母；②对每项通分,化为分母相同；③按同分母分式运算法则进行；④注意结果可否化简，化为最简．4、分式的混合运算注意分式的混合运算的顺序：先进行乘方运算，其次进行乘、除运算，再进行加、减运算，遇有括号，先算括号内的.如果分式的分子或分母中含有多项式，并且能分解因式，可先分解因式，能约分的先约分，再进行运算.【例6】计算：（1）212242aaaa；（2）222xxx；2244xyyxx2xx2xx2yx2yx62962xxx23x292x292x23x（3）xxxxxx2421212（4）已知，则代数式的值分式运算中的技巧与方法1在分式运算中，若能认真观察题目结构特征，灵活运用解题技巧，选择恰当的运算方法，常常收到事半功倍的效果。现就分式运算中的技巧与方法举例说明。一、整体通分法例1．化简：-a-1分析将后两项看作一个整体，则可以整体通分，简捷求解。解：-a-1=-(a+1)=-==二、逐项通分法例2．计算---分析：注意到各分母的特征，联想乘法公式，适合采用逐项通分法解：---=--=--=-=-=0三、先约分，后通分例3．计算：+分析：分子、分母先分解因式，约分后再通分求值计算113xy21422xxyyxxyy21aa21aa21aa21aa(1)(1)1aaa22(1)1aaa11a1ab1ab222bab3444bab1ab1ab222bab3444bab22()()ababab222bab3444bab222bab222bab3444bab2222442()2()babbabab3444bab3444bab3444bab2262aaaa22444aaa解：+=+=+==2四、整体代入法例4．已知+=5求的值解法1：∵+=5∴xy≠0,.所以====解法2：由+=5得，=5,x+y=5xy∴====五、运用公式变形法例5．已知a2-5a+1=0，计算a4+解：由已知条件可得a≠0,∴a+=5∴a4+=(a2+)2-2=[(a+)2-2]2-2=(52-2)2-2=527六、设辅助参数法例6．已知==，计算：解：设===k，则b+c=ak；a+c=bk；a+b=ck；把这3个等式相加得2(a+b+c)=(a+b+c)k若a+b+c=0，a+b=-c,则k=-1若a+b+c≠0，则k=2==k3当k=-1时，原式=-1当k=2时，原式=8七、应用倒数变换法2262aaaa22444aaa(6)(2)aaaa2(2)(2)(2)aaa62aa22aa242aa1x1y2522xxyyxxyy1x1y2522xxyyxxyy225112yxyx112()5112xyxy25552571x1yxyxy2522xxyyxxyy2()5()2xyxyxyxy25552xyxyxyxy57xyxy5741a1a41a21a1abcaacbabc()()()abbccaabcbcaacbabc()()()abbccaabcakbkckabc例7．已知=7，求的值解：由条件知a≠0,∴=,即a+=∴=a2++1=(a+)2-1=∴=八、取常数值法例8．已知：xyz≠0,x+y+z=0,计算++解：根据条件可设x=1,y=1,z=-2.则++=-3.当然本题也可以设为其他合适的常数。九、把未知数当成已知数法例9．已知3a-4b-c=0,2a+b-8c=0,计算:解：把c当作已知数，用c表示a,b得,a=3c,b=2c∴==.十、巧用因式分解法例10．已知a+b+c=0，计算++解:∵a+b+c=0,∴a=-b-c,b=-a-c,c=-a-b∴2a2+bc=a2+a2+bc=a2+a(-b-c)+bc=(a-b)(a-c)同理可得2b2+ac=(b-c)(b-a),2c2+ab=(c-a)(c-b)++=++=-+===21aaa2421aaa21aaa171a874221aaa21a1a15492421aaa4915yzxxzyxyzyzxxzyxyz222abcabbcac222abcabbcac221411cc1411222aabc222bbac222ccab222aabc222bbac222ccab2a(a-b)(a-c)2b(b-c)(b-a)2c(c-a)(c-b)2a(a-b)(a-c)2b(a-b)(b-c)2c(c-a)(c-b)222a()()()()()()bcbaccababacbc22222a()()()()bcbabccacbabacbc2a()()()()()()()bcabcbcbcbcabacbc===1分式运算的几种技巧(二）1、先约分后通分技巧例1计算2312xxx+4222xxx分析：不难发现，两个分式均能约分，故先约分后再计算解：原式=)2)(1(1xxx+)2)(2()2(xxxx=21x+2xx=21xx2、分离整数技巧例2计算233322xxxx-657522xxxx-3412xx分析：两个分式的分子、分母不能约分，如把分子突出分母，