国科大-数字图像处理-王伟强-课程作业

1、完成课本习题3.2(a)(b),课本中文版《处理》第二版的113页。可以通过matlab帮助你分析理解。(a)S=T(r)=Ε(m/r)+112、一幅8灰度级图像具有如下所示的直方图，求直方图均衡后的灰度级和对应概率，并画出均衡后的直方图的示意图。（图中的8个不同灰度级对应的归一化直方图为[0.170.250.210.160.070.080.040.02]）由公式可知，变换函数的离散形式为k=0，1,2,3…L-1所以S0=0.17S1=S0+0.25=0.42S2=S1+0.21=0.63S3=S2+0.16=0.79S4=S3+0.07=0.86S5=S4+0.08=0.94S6=S5+0.04=0.98S7=S6+0.02=1因为输出图像的灰度级是等间隔的，同时该图像具有8个灰度级1/7,2/7,3/7,4/7,5/7,6/7,1对之前求得的Sk进行修正S0=1/7S1=3/7S2=4/7S3=6/7S4=6/7S5=1S6=1S7=1最后的灰度级仅有5个结果S0=1/7S1=3/7S2=4/7S3=6/7S4=1与此相对应的概率为PS(s0)=0.17PS(s1)=0.25PS(s2)=0.21PS(s3)=0.23PS(s4)=0.143.(选做题)课本习题3.6。对于离散的情况，用matlab进行一下实验。一样。直方图均衡化的结果一次到达极限。对于离散的情况，设n为图像中像素的总和，kn1为输入图像中灰度级为kr的像素的个数。所以，直方图均衡化的转换公式为：∑∑kjkkjkkknnnnrTs0=10=11=/=)(=由于输入图像中灰度级为kr的像素被映射到输出图像灰度级为ks的对应像素得到，所以kknn21=那么，在第二次均衡化的过程中，转换函数为∑kjkkknnsTv0=21=)(=所以，两次转换过程kkvn=，既结果相同。4.4完成课本数字图像处理第二版114页，习题3.10。对于作图，rrdwwdwwprTsrrr2)22-()()(2001对于右图，20022)()(zwdwdwwpzTvzzz所以，22rrz4.请围绕本周课堂讲授的内容编写至少一道习题，并给出自己的分析解答。题目形式可以是填空题、选择题、判断对错题、计算题、证明题。发挥你的创造力吧。利用matlab绘制幂次变换在不同γ下的曲线，并分析图像产生差异的原因和不同取值对变换结果产幂次曲线中的γ的部分之吧输入的窄带暗值映射到宽带输出值上，相反，输入高值也对应成立。随着γ取值的变化，我们能够得到一组变换曲线，c=γ=1时为正比变换，γ1时图像偏暗，γ1时图像偏亮。γ1时，从图中我们可以看到输出灰度级大部分被压缩在较低的水平上，γ1时，从图中我们可以看到输出灰度级大部分被压缩在较高的水平上。2、请计算如下两个向量与矩阵的卷积计算结果。（1）[123454321]*[20-2]设向量x1=[123454321],向量x2=[20-2]，添加下划线的元素设定为0位置x1123454321-x2-202—————————————————————————————————————2468108642-2-4-6-8-10-8-6-4-2——————————————————————————————————————————-2-4-4-4-4044442所以卷积结果为：244440-4-4-4-4-2（2）[−101−202−101]∗[1320410323041052321431042]=设题目给定的两个矩阵分别为d和e，大小分别为3x3和5x5，卷积结果为一个7x7的矩阵根据卷积公式，),(),(1),(*),(1010nymxhnmfMNyxhyxfMmNnF(-3,-3)=e(-2,-2)d(-1,-1)=-1F(-3,-2)=e(-2,-2)d(-1,0)+e(-2,-1)d(-1,-1)=1*0+3*(-1)=-3F(-3,-1)=e(-2,-2)d(-1,1)+e(-2,-1)d(-1,0)+e(-2,0)d(-1,-1)=-1……F(1,1)=1*1+2*2+1*0+(-1)*5+(-2)*4+(-1)*2=-10F(1,2)=1*2+2*0+1*1=3……最终求得F=2423313896465815610521171731084113154636731124446340231312.完成课本数字图像处理第二版116页，习题3.25，即拉普拉斯算子具有理论上的旋转不变性。式3.7.1已知拉普拉斯算子22222yfxff如果满足旋转不变，则222222222''yfxfyfxff，既(x,y)和(x’,y’)所求得的拉普拉斯算子相同。证明：根据题目给定条件，x是x’和y‘的函数，y是x’和y’的函数先求对(x’,y’)的一阶偏导：θyfθxfxyyfxxxfxfsincos'''再求二阶偏导，其中xf和yf同样也是x’和y’的函数θyfθθxyfθθyxfθxfxθyfθxfxf2222222222sincossinsincoscos/)sincos('同理，可以求得对y’的二阶偏导：θyfθθxyfθθyxfθxfyθyfθxfyf2222222222coscossinsincossin/)cossin('所以，22222''yfxff)sin(cos)cos(sin22222222θθyfθθxf2222yfxf综上所述，拉普拉斯变换满足旋转不变性。1、高斯型低通滤波器在频域中的传递函数是𝐇(𝐮,𝐯)=𝐀𝐞−(𝐮𝟐+𝐯𝟐)𝟐𝛔𝟐⁄根据二维傅里叶性质，证明空间域的相应滤波器形式为𝐡(𝐱,𝐲)=𝐀𝟐𝛑𝛔𝟐𝐞−𝟐𝛑𝟐𝛔𝟐(𝐱𝟐+𝐲𝟐)（这些闭合形式只适用于连续变量情况。）在证明中假设已经知道如下结论：函数𝐞−𝛑(𝐱𝟐+𝐲𝟐)的傅立叶变换为𝐞−𝛑(𝐮𝟐+𝐯𝟐)已知：)()(2222vuπyxπee高斯低通滤波器的传递函数为：2222/)(),(σvuAevuH对齐做傅里叶逆变换：h(x,y)=dudveAevyuxπjuvσvu)(22/)(222dudveAeuvvyjσπvπuxjσπuπ)2)2(()2)2((22dudveAeuvyπσyπσvyjσπvπxπσxπσuxjσπuπ)222)2(()222)2((2222222222dudveAeuvyπσyσπjσπvπxπσxσπjσπuπ)2)22(()2)22((222222做变量替换，令xσπjσπut22yσπjσπvr22带入上式dtdreAetryπσrπxπσtπ)2()2(222222dtdreAetryσπrπxσπtπ2222222222上式是以t和r为积分变量的积分式，对上式进行处理dtdreeeAetryσπxσπrπtπ2222222222dtdreeAetrrπtπyxσπ222222)(2通过查积分公式，可以求得上式中的二重积分结果为22πσ所以，上式)(2222222yxσπeπσA，题目得证。4.请围绕本周课堂讲授的内容编写至少一道习题，并给出自己的分析解答。题目形式可以是填空题、选择题、判断对错题、计算题、证明题。发挥你的创造力吧。试写出卷积和相关的公式，并说明卷积和相关之间的联系1010),(),(1),(*),(MmNnnymxhnmfMNyxhyxf1010),(),(1),(),(MmNnnymxhnmfMNyxhyxf二维相关相当于旋转180度的滤波器矩阵的二维卷积，相关除了求解中的复共轭和第二项对掩膜的翻转，其余都和卷积有着相同的形式。考虑到一般处理的图像都是是函数，所以复共轭和原有形式是相同的1、第二版课本习题4.6证明公式：)2/,2/(])1)(,([NvMuFyxfyx根据二维傅里叶变换的性质可知：)2/,2/(])1)(,([NvMuFyxfyxyx)1(的结果具有如下性质：当x+y为奇数时，结果为-1；当x+y为偶数时，结果为+1；根据欧拉公式，可知：)(sin)(cos)(yxπjyxπeyxπj当x+y为奇数时，结果为-1，当x+y为偶数时，结果为+1；所以：yx)1(=)(yxπje]),([])1)(,([)(yxπjyxeyxfyxf1010)//(2)(1010)//(2)(),(1),(1MxNyNvyMuxπjyxπjMxNyNvyMuxπjyxπjeyxfMNeeyxfMN1010)//(2)2/2/(2),(1MxNyNvyMuxπjyxπjeyxfMN1010)//2/2/(2),(1MxNyNvyMuxyxπjeyxfMN1010)//22(2),(1MxNyNvyMuxNNyMMxπjeyxfMN1010)22(2),(1MxNyNvyNyMuxMxπjeyxfMN1010))2/()2/((2),(1MxNyNyNvMxMuπjeyxfMN),2/(NvMuF2、观察如下所示图像。右边的图像这样得到：(a)在原始图像左边乘以(−1)x+y；(b)计算离散傅里叶变换(DFT);(c)对变换取复共轭;(d)计算傅里叶反变换;(d)结果的实部再乘以(−1)x+y。(用数学方法解释为什么会产生右图的效果。)根据二维傅里叶变换的共轭对称性可知：).,(),(vuFvuF，).,(),(vuFvuF在步骤c中，对变换取复共轭为：).,(),(vuFvuF在步骤a中，得到：),()1(yxfyx在步骤b中，得到)],()1[(),(yxfDFTvuFyx经过步骤c，取共轭得到),().,(vuFvuF在所IDFT得到),()1(yxfyx在经过步骤e得到),()1)(,()1(yxfyxfyxyx既得到一副关于原点中心对称的图像，如右图所示。3、第二版课本习题4.21没有区别。对所处理的图像进行补0延拓的目的是在DFT周期之间建议一个缓冲的区域，从而避免发生数据信号的混叠。将左侧的图像在空间域上做周期延拓，得到的结果均为中心图片和黑色的补0区域。同理，对右侧的图像做空间域上的周期延拓，也会得到结果为中心图片和黑色补0区域。同时考虑到两种处理方式下，0的数量是相同的，因此，左右两种的延拓方式不会有区别。3、假设我们有一个[0，1]上的均匀分布随机数发生器U(0,1),请基于它构造指数分布的随机数发生器，推导出随机数生成方程。若我们有一个标准正态分布的随机数发生器N(0,1)，请推导出对数正态分布的随机数生成方程。(1)利用给定的随机数发生器产生一个目标的随机数发生器，可以使用下述原理和方法实现：假定给定的变量X服从某一种分布（例如高斯分布，均匀分布等），目标实现的随机数发生器服从分布Y，设两种分布的的概率密度函数为g(x)和h(y)，需要满足G(x)=H(y)，即：dtthdttgyaxa)()(。并且在前式中，给出的x和y是一一对应的。通过第一步求得G(x)=