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12009年福建省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）（2009•福建）函数f（x）=sinxcosx的最小值是（）A．﹣1B．﹣C．D．1【考点】三角函数的最值．菁优网版权所有【专题】计算题．【分析】利用倍角公式可把已知转化为f（x）=sin2x的形式，结合三角函数中正弦函数最小值取得的条件，求解该函数的最小值【解答】解：∵f（x）=sinxcosx=sin2x．∴当x=kπ﹣，k∈Z时，f（x）min=﹣．答案B【点评】本题主要考查二倍角的正弦公式在三角化简中的运用，利用该公式，把已知化简成y=Asin（wx+∅）的形式，进一步考查函数的相关性质．2．（5分）（2009•福建）已知全集U=R，集合A={x|x2﹣2x＞0}，则∁UA等于（）A．{x|0≤x≤2}B．{x|0＜x＜2}C．{x|x＜0或x＞2}D．{x|x≤0或x≥2}【考点】补集及其运算．菁优网版权所有【专题】计算题．【分析】求出集合A中不等式的解集，然后求出集合A在R上的补集即可．【解答】解：∵x2﹣2x＞0，∴x（x﹣2）＞0，∴x＞2或x＜0，∴A={x|x＞2或x＜0}，∁UA={x|0≤x≤2}．故选A【点评】本题考查学生理解补集的定义，会进行补集的运算，是一道基础题．3．（5分）（2009•福建）等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3=6，a3=4，则公差d等于（）A．1B．C．2D．3【考点】等差数列的前n项和．菁优网版权所有【专题】计算题．【分析】用等差数列的通项公式和前n项和公式，结合已知条件列出关于a1，d的方程组，解方程即可．【解答】解：设{an}的公差为d，首项为a1，由题意得2，解得，故选C．【点评】本题考查了等差数列的通项公式、前n项和公式，熟练应用公式是解题的关键．4．（5分）（2009•福建）（1+cosx）dx等于（）A．πB．2C．π﹣2D．π+2【考点】定积分．菁优网版权所有【专题】计算题．【分析】由于F（x）=x+sinx为f（x）=1+cosx的一个原函数即F′（x）=f（x），根据∫abf（x）dx=F（x）|ab公式即可求出值．【解答】解：∵（x+sinx）′=1+cosx，∴（1+cosx）dx=（x+sinx）=+sin﹣=π+2．故选D【点评】此题考查学生掌握函数的求导法则，会求函数的定积分运算，是一道中档题．5．（5分）（2009•福建）下列函数f（x）中，满足“对任意x1、x2∈（0，+∞），当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2）的是（）A．f（x）=B．f（x）=（x﹣1）2C．f（x）=exD．f（x）=ln（x+1）【考点】函数单调性的判断与证明．菁优网版权所有【专题】综合题．【分析】根据题意和函数单调性的定义，判断出函数在（0，+∞）上是减函数，再根据反比例函数、二次函数、指数函数和数函数的单调性进行判断．【解答】解：∵对任意x1、x2∈（0，+∞），当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），∴函数在（0，+∞）上是减函数；A、由反比例函数的性质知，此函数函数在（0，+∞）上是减函数，故A正确；B、由于f（x）=（x﹣1）2，由二次函数的性质知，在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数，故B不对；C、由于e＞1，则由指数函数的单调性知，在（0，+∞）上是增函数，故C不对；D、根据对数的整数大于零得，函数的定义域为（﹣1，+∞），由于e＞1，则由对数函数的单调性知，在（0，+∞）上是增函数，故D不对；故选A．【点评】本题考查了函数单调性的定义，以及基本初等函数的单调性，即反比例函数、二次函数、指数函数和数函数的单调性的应用．36．（5分）（2009•福建）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（）A．2B．4C．8D．16【考点】循环结构．菁优网版权所有【专题】阅读型；图表型．【分析】根据程序框图可知，程序运行时，列出数值S与n对应变化情况，从而求出当S=2时，输出的n即可．【解答】解：．由框图可知，程序运行时，数值S与n对应变化如下表：S﹣12n248故S=2时，输出n=8．故选C【点评】本题主要考查了直到型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题．7．（5分）（2009•福建）设m，n是平面α内的两条不同直线，l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是（）A．m∥β且l∥αB．m∥l1且n∥l2C．m∥β且n∥βD．m∥β且n∥l2【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面与平面之间的位置关系．菁优网版权所有【分析】本题考查的知识点是充要条件的判断，我们根据面面平行的判断及性质定理，对四个答案进行逐一的分析，即可得到答案．【解答】解：若m∥l1，n∥l2，m．n⊂α，l1．l2⊂β，l1，l2相交，则可得α∥β．即B答案是α∥β的充分条件，若α∥β则m∥l1，n∥l2不一定成立，即B答案是α∥β的不必要条件，故m∥l1，n∥l2是α∥β的一个充分不必要条件，故选B4【点评】判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．8．（5分）（2009•福建）已知某运动员每次投篮命中的概率低于40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：907966191925271932812458569683431257393027556488730113537989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（）A．0.35B．0.25C．0.20D．0.15【考点】模拟方法估计概率．菁优网版权所有【专题】计算题．【分析】由题意知模拟三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有可以通过列举得到共5组随机数，根据概率公式，得到结果．【解答】解：由题意知模拟三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有：191、271、932、812、393．共5组随机数，∴所求概率为==0.25．故选B．【点评】本题考查模拟方法估计概率，是一个基础题，解这种题目的主要依据是等可能事件的概率，注意列举法在本题的应用．9．（5分）（2009•福建）设，，为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足与不共线，⊥，||=||，则|•|的值一定等于（）A．以，为邻边的平行四边形的面积B．以，为两边的三角形面积C．，为两边的三角形面积D．以，为邻边的平行四边形的面积【考点】平面向量数量积的运算．菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题．5【分析】利用向量的数量积公式表示出，有已知得到的夹角与夹角的关系，利用三角函数的诱导公式和已知条件表示成的模及夹角形式，利用平行四边形的面积公式得到选项．【解答】解：假设与的夹角为θ，|•|=||•||•|cos＜，＞|=||•||•|cos（90°±θ）|=||•||•sinθ，即为以，为邻边的平行四边形的面积．故选A．【点评】本题考查向量的数量积公式、三角函数的诱导公式、平行四边形的面积公式．10．（5分）（2009•福建）函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的图象关于直线对称．据此可推测，对任意的非零实数a，b，c，m，n，p，关于x的方程m[f（x）]2+nf（x）+p=0的解集都不可能是（）A．{1，2}B．{1，4}C．{1，2，3，4}D．{1，4，16，64}【考点】二次函数的性质．菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题．【分析】根据函数f（x）的对称性，因为m[f（x）]2+nf（x）+p=0的解应满足y1=ax2+bx+c，y2=ax2+bx+c，进而可得到方程m[f（x）]2+nf（x）+p=0的根，应关于对称轴x=对称，对于D中4个数无论如何组合都找不到满足条件的对称轴，故解集不可能是D．【解答】解：∵f（x）=ax2+bx+c的对称轴为直线x=令设方程m[f（x）]2+nf（x）+p=0的解为f1（x），f2（x）则必有f1（x）=y1=ax2+bx+c，f2（x）=y2=ax2+bx+c那么从图象上看，y=y1，y=y2是一条平行于x轴的直线它们与f（x）有交点由于对称性，则方程y1=ax2+bx+c的两个解x1，x2要关于直线x=对称也就是说x1+x2=同理方程y2=ax2+bx+c的两个解x3，x4也要关于直线x=对称那就得到x3+x4=，在C中，可以找到对称轴直线x=2.5，也就是1，4为一个方程的解，2，3为一个方程的解所以得到的解的集合可以是{1，2，3，4}而在D中，{1，4，16，64}6找不到这样的组合使得对称轴一致，也就是说无论怎么分组，都没办法使得其中两个的和等于另外两个的和故答案D不可能故选D．【点评】本题主要考查二次函数的性质﹣﹣对称性，二次函数在高中已经作为一个工具来解决有关问题，在解决不等式、求最值时用途很大．二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）11．（4分）（2009•福建）若=a+bi（i为虚数单位，a，b∈R），则a+b=2．【考点】复数代数形式的乘除运算；复数相等的充要条件．菁优网版权所有【专题】计算题．【分析】把所给的等式左边的式子，分子和分母同乘以分母的共轭复数，变形为复数的标准代数形式，根据两个复数相等的充要条件，得到a和b的值，得到结果．【解答】解：∵===1+i，∵=a+bi∴a+bi=1+i∴a=b=1∴a+b=2．故答案为：2【点评】本题考查复数的乘除运算，考查复数相等的充要条件，复数的加减乘除运算是比较简单的问题，在高考时有时会出现，若出现则是要我们一定要得分的题目．12．（4分）（2009•福建）某电视台举办青年歌手电视大奖赛，9位评委为参赛选手甲给出的分数如茎叶图所示．记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字（茎叶图中的a）无法看清，若记分员计算无误，则数字a=1．【考点】茎叶图．菁优网版权所有【分析】根据计分规则知记分员去掉一个最高分94和一个最低分88，余下7个数字的平均数是91，根据平均数的计算公式写出平均数的表示形式，得到关于a的方程，解方程即可．【解答】解：∵由题意知记分员在去掉一个最高分94和一个最低分88后，余下的7个数字的平均数是91，∴636+a=91×7=637，∴a=1故答案为：17【点评】本题通过茎叶图给出一组数据，对于一组数据，通常要求的是这组数据的众数，中位数，平均数，这样的问题可以出现在选择题或填空题，本题是逆用平均数公式，考查最基本的知识点．13．（4分）（2009•福建）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则p=2．【考点】抛物线的简单性质．菁优网版权所有【专题】计算题．【分析】抛物线的方程可求得焦点坐标，进而根据斜率表示出直线的方程，与抛物线的方程联立消去y，进而根据韦达定理表示出x1+x2和x1x2，进而利用配方法求得|x1﹣x2|，利用弦长公式表示出段AB的长求得p．【解答】解：由题意可知过焦点的直线方程为，联立有，∴x1+x2=3p，x1x2=∴|x1﹣x2|==又求得p=2故答案为2【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质．涉及直线与抛物线的关系时，往往是利用韦达定理设而不求．14．（4分）（20