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12009年福建省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2009•福建）若集合A={x|x＞0}，B={x|x＜3}，则A∩B等于（）A．{x|x＜0}B．{x|0＜x＜3}C．{x|x＞4}D．R【考点】交集及其运算．菁优网版权所有【专题】计算题．【分析】根据题意，在数轴上表示出A、B，进而由交集的定义，可得答案．【解答】解：根据题意，在数轴上表示出A、B，可得：进而由交集的定义，取两个集合的公共部分，可得A∩B={x|0＜x＜3}，故选B．【点评】本题考查集合的交集的运算，解此类问题时，可以借助数轴．2．（5分）（2009•福建）下列函数中，与函数有相同定义域的是（）A．f（x）=log2xB．C．f（x）=|x|D．f（x）=2x【考点】函数的定义域及其求法；对数函数的定义域．菁优网版权所有【专题】函数的性质及应用．【分析】运用直接法解决，先求出函数定义域，再观察选项中各函数的定义域，相同的话即为答案．【解答】解：∵函数定义域为x＞0，又函数f（x）=log2x定义域x＞0，故选A．【点评】本题主要考查了函数的定义域及其求法，特别是对数函数的定义域，属于基础题．3．（5分）（2009•福建）一个容量100的样本，其数据的分组与各组的频数如下表组别（0，10]（10，20]（20，30]（30，40]（40，50]（50，60]（60，70]频数1213241516137则样本数据落在（10，40]上的频率为（）A．0.13B．0.39C．0.52D．0.64【考点】频率分布表．菁优网版权所有【专题】计算题．【分析】根据表格可以看出（10，20]的频数是13，（20，30]的频数是24，（30，40]的频数是15，把这三个数字相加，得到要求区间上的频数，用频数除以样本容量得到频率．【解答】解：由表格可以看出（10，20]的频数是13，（20，30]的频数是24，（30，40]的频数是15，2∴（10，40）上的频数是13+24+15=52，∴样本数据落在（10，40）上的频率为=0.52．故选C．【点评】本题考查频率分布表，解题时先做出这几个区间上的频数，再除以样本容量，本题也可以先做出几个区间上对应的频率，在把频率相加，得到要求的频率．4．（5分）（2009•福建）若双曲线﹣=1（a＞0）的离心率为2，则a=（）A．2B．C．D．1【考点】双曲线的简单性质．菁优网版权所有【专题】计算题．【分析】由题意知=2，（a＞0），由此可以求出a的值．【解答】解：=2，（a＞0），∴a=．故选B．【点评】本题考查双曲线的离心率，比较简单．会利用公式就能求出实数a．5．（5分）（2009•福建）如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为．则该几何体的俯视图可以是（）A．B．C．D．【考点】简单空间图形的三视图．菁优网版权所有【专题】压轴题；图表型．【分析】解法1：结合选项，正方体的体积否定A，推出正确选项C即可．解法2：对四个选项A求出体积判断正误；B求出体积判断正误；C求出几何体的体积判断正误；同理判断D的正误即可．3【解答】解：解法1：由题意可知当俯视图是A时，即每个视图是变边长为1的正方形，那么此几何体是立方体，显然体积是1，注意到题目体积是，知其是立方体的一半，可知选C．解法2：当俯视图是A时，正方体的体积是1；当俯视图是B时，该几何体是圆柱，底面积是，高为1，则体积是；当俯视是C时，该几何是直三棱柱，故体积是，当俯视图是D时，该几何是圆柱切割而成，其体积是．故选C．【点评】本题是基础题，考查几何体的三视图的识别能力，作图能力，依据数据计算能力；注意三视图的投影规则是主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等．6．（5分）（2009•福建）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（）A．2B．4C．8D．16【考点】循环结构．菁优网版权所有【专题】阅读型；图表型．【分析】根据程序框图可知，程序运行时，列出数值S与n对应变化情况，从而求出当S=2时，输出的n即可．【解答】解：．由框图可知，程序运行时，数值S与n对应变化如下表：4S﹣12n248故S=2时，输出n=8．故选C【点评】本题主要考查了直到型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题．7．（5分）（2009•福建）已知锐角△ABC的面积为，BC=4，CA=3，则角C的大小为（）A．75°B．60°C．45°D．30°【考点】解三角形．菁优网版权所有【专题】计算题．【分析】先利用三角形面积公式表示出三角形面积，根据面积为3和两边求得sinC的值，进而求得C．【解答】解：S=BC•AC•sinC=×4×3×sinC=3∴sinC=∵三角形为锐角三角形∴C=60°故选B【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．利用三角形的两边和夹角求三角形面积的问题，是三角形问题中常用的思路．8．（5分）（2009•福建）定义在R上的偶函数f（x）的部分图象如图所示，则在（﹣2，0）上，下列函数中与f（x）的单调性不同的是（）A．y=x2+1B．y=|x|+1C．y=D．y=【考点】奇偶函数图象的对称性；奇偶性与单调性的综合．菁优网版权所有【专题】常规题型；压轴题．【分析】首先利用偶函数的对称性，判断出f（x）在（﹣2，0）为减函数．然后分别分析选项中4个函数的单调性．最后判断答案即可．【解答】解：利用偶函数的对称性知f（x）在（﹣2，0）上为减函数．又y=x2+1在（﹣2，0）上为减函数；y=|x|+1在（﹣2，0）上为减函数；5y=在（﹣2，0）上为增函数．∴y=在（﹣2，0）上为减函数．故选C．【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的关系，涉及到二次函数，绝对值函数，一次函数，3次函数，以及指数函数的单调性．属于中档题．9．（5分）（2009•福建）在平面直角坐标系中，若不等式组（a为常数）所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为（）A．﹣5B．1C．2D．3【考点】简单线性规划．菁优网版权所有【专题】计算题；数形结合．【分析】本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，根据已知条件中，表示的平面区域的面积等于2，构造关于a的方程，解方程即可得到答案．【解答】解：不等式组所围成的区域如图所示．∵其面积为2，∴|AC|=4，∴C的坐标为（1，4），代入ax﹣y+1=0，得a=3．故选D．6【点评】平面区域的面积问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，然后结合有关面积公式求解．10．（5分）（2009•福建）设m，n是平面α内的两条不同直线，l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是（）A．m∥β且l∥αB．m∥l1且n∥l2C．m∥β且n∥βD．m∥β且n∥l2【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面与平面之间的位置关系．菁优网版权所有【分析】本题考查的知识点是充要条件的判断，我们根据面面平行的判断及性质定理，对四个答案进行逐一的分析，即可得到答案．【解答】解：若m∥l1，n∥l2，m．n⊂α，l1．l2⊂β，l1，l2相交，则可得α∥β．即B答案是α∥β的充分条件，若α∥β则m∥l1，n∥l2不一定成立，即B答案是α∥β的不必要条件，故m∥l1，n∥l2是α∥β的一个充分不必要条件，故选B【点评】判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．11．（5分）（2009•福建）若函数f（x）的零点与g（x）=4x+2x﹣2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f（x）可以是（）A．f（x）=4x﹣1B．f（x）=（x﹣1）2C．f（x）=ex﹣1D．f（x）=ln（x﹣）【考点】函数的零点．菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题．【分析】先判断g（x）的零点所在的区间，再求出各个选项中函数的零点，看哪一个能满足与g（x）=4x+2x﹣2的零点之差的绝对值不超过0.25．【解答】解：∵g（x）=4x+2x﹣2在R上连续，且g（）=+﹣2=﹣＜0，g（）=2+1﹣2=1＞0．设g（x）=4x+2x﹣2的零点为x0，则＜x0＜，0＜x0﹣＜，∴|x0﹣|＜．又f（x）=4x﹣1零点为x=；f（x）=（x﹣1）2零点为x=1；f（x）=ex﹣1零点为x=0；f（x）=ln（x﹣）零点为x=，故选A．【点评】本题考查判断函数零点所在的区间以及求函数零点的方法，属于基础题．712．（5分）（2009•福建）设，，为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足与不共线，⊥，||=||，则|•|的值一定等于（）A．以，为邻边的平行四边形的面积B．以，为两边的三角形面积C．，为两边的三角形面积D．以，为邻边的平行四边形的面积【考点】平面向量数量积的运算．菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题．【分析】利用向量的数量积公式表示出，有已知得到的夹角与夹角的关系，利用三角函数的诱导公式和已知条件表示成的模及夹角形式，利用平行四边形的面积公式得到选项．【解答】解：假设与的夹角为θ，|•|=||•||•|cos＜，＞|=||•||•|cos（90°±θ）|=||•||•sinθ，即为以，为邻边的平行四边形的面积．故选A．【点评】本题考查向量的数量积公式、三角函数的诱导公式、平行四边形的面积公式．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）（2009•福建）复数i2（1﹣2i）的实部是﹣1【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．菁优网版权所有【专题】计算题．【分析】利用i的幂运算，直接化简，然后求出复数的实部．【解答】解：复数i2（1﹣2i）=﹣（1﹣2i）=﹣1+2i，所以复数的实部为﹣1故答案为：﹣1【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，复数的基本概念，考查计算能力，是基础题．14．（4分）（2009•福建）点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧的长度小于1的概率为．【考点】几何概型．菁优网版权所有8【专题】计算题．【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出事件：“劣弧的长度小于1”对应的弧长大小，然后将其代入几何概型的计算公式进行求解．【解答】解：如图所示，∵劣弧=1，∴劣弧=1，则劣弧的长度小于1的概率为P=故答案为：．【点评】本题考查的知识点是几何概型的意义，简单地说，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．15．（4分）（2009•福建）若曲线f（x）=ax2+lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是{a|a＜0}．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题．【分析】先求出函数的定义域，然后求出导函数，根据存在垂直于y轴的切线，得到此时斜率为0，问题转化为x＞0范围内导函数存在零点，再将之转化为g（x）=﹣2ax与存在交点，讨论a的正负进行判定即可．【解答】解：由题意该函数的定义域x＞0，由．因为存在垂直于y轴的切线，故此时斜率为0，问题转化为x＞0范围内导函数存在零点．再将之转化为g（x）=﹣2ax与存在交点．当a=0不符合题意，当a＞0时，如图1，数形结合可得显然没有交点，当a＜0如图2，此时正好有一个交点，故有a＜0．故答案为：{a|a＜0}9【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，函数零点等有关基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于基础题．16．